北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第7讲 待定系数法求二次函数的解析式(提高)含答案

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）

【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．
【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.
【答案与解析】
本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：
解得　　
∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.
【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0).
举一反三：
【变式】（2019秋?岳池县期末）已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．
【答案与解析】
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得
解得，
∴抛物线解析式为y=2x2+x；
∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．
2．（2019?巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
【答案与解析】
解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣2=3，即a=5，
∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．
【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.
举一反三：
【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.
【答案】（1）．
（2）令，得，解方程，得，．
∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．
∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.
3．（2019?丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　 　．当x　 　时，y＞0．
【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y＞0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值．
【答案】y=x2﹣4x+3．x＜1，或x＞3
【解析】
解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），
由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），
将（0，3）代入，
3=a（0﹣1）（0﹣3），
解得a=1．
故函数表达式为y=x2﹣4x+3．
由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0．
【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
类型二、用待定系数法解题
4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)求△ABC的面积．
【答案与解析】
(1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得，
∴ ．
∴ ．
即．
(2)由(1)知C(0，8)，
∴ ．
【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．
待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题1. （2019?厦门校级模拟）已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G
2．二次函数有( )
A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-6
3．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ）
A. y=3(x－3)2+2 B.y=3(x+3)2+2 C.y=3(x－3)2－2 D. y=3(x+3)2－2
4．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )
A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3)
5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
Y
-27
-13
-3
3
5
3
则当x＝1时，y的值为 ( )
A．5 B．-3 C．-13 D．-27
二、填空题
7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为____ ____．

第7题 第10题
8．（2019?河南）已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 　．
9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；
10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是____ ____．
11．已知二次函数 (a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
…
-1
0
1
…
…
-2
-2
0
…
则该二次函数的解析式为_____ ___．
12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的解析式为___ _____．
三、解答题
13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．
(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；
(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；
(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．
14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
15．（2019?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．

【答案与解析】
一、选择题1.【答案】C．
【解析】∵F（2，2），G（4，2），
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
∴H（3，1）点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2+1，
把E（0，10）代入得9a+1=10，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x﹣3）2+1．

2.【答案】C；
【解析】首先将一般式通过配方化成顶点式，即，
∵ a＝1＞0，∴ x＝-1时，．
3.【答案】A；
4.【答案】D；
【解析】∵ 点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，
∴ 点A与点B关于对称轴x＝2对称，
又∵ A(0，3)，
∴ AB＝4，yB＝yA＝3，
∴ 点B的坐标为(4，3)．
5.【答案】B；
【解析】抛物线的平移可看成顶点坐标的平移，的顶点坐标是，的顶点坐标是，∴ 移动的距离．
6.【答案】D；
【解析】此题如果先用待定系数法求出二次函数解析式，再将x＝1代入求函数值，显然太繁，
而由二次函数的对称性可迅速地解决此问题．
观察表格中的函数值，可发现，当x＝-4和x＝-2时，函数值均为3，由此可知对称轴
为x＝-3，再由对称性可知x＝1的函数值必和x＝-7的函数值相等，而x＝-7时y＝-27．
∴ x＝1时，y＝-27．
二、填空题
7．【答案】；
【解析】由图象知抛物线与x轴两交点为(3，0)，(-1，0)，则．
8.【答案】（1，4）．
【解析】∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，
∴代入得：，
解得：b=2，c=3，
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣（x﹣1）2+4，
顶点坐标为（1，4），
故答案为：（1，4）．
9．【答案】(1)x＝1；(1，3)；
【解析】代入对称轴公式和顶点公式即可.
10．【答案】；
【解析】将(-1，0)，(1，-2)代入中得b＝-1，
∴ 对称轴为，在对称轴的右侧，即时，y随x的增大而增大.
11．【答案】；
【解析】此题以表格的形式给出x、y的一些对应值．要认真分析表格中的每一对x、y值，
从中选出较简单的三对x、y的值即为(-1，-2)，(0，-2)，(1，0)，再设一般式，
用待定系数法求解．
设二次函数解析式为(a≠0)，
由表知 解得
∴ 二次函数解析式为．
12．【答案】；
【解析】由题意知抛物线过点(1，0)和(5，0)．
三、解答题
13.【答案与解析】
(1)∵ 顶点是(1，2)，
∴ 设(a≠0)．
又∵ 过点(2，3)，∴ ，∴ a＝1．
∴ ，即．
(2)设二次函数解析式为(a≠0)．
由函数图象过三点(1，-1)，(0，1)，(-1，13)得 解得
故所求的函数解析式为．
(3)由抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，
∴ 设y＝a(x-1)(x-3)(a≠0)，又∵ 过点(0，-3)，
∴ a(0-1)(0-3)＝-3，∴ a＝-1，
∴ y＝-(x-1)(x-3)，即．
14.【答案与解析】
过C点作CD⊥x轴于D．
在y＝-2x+2中，分别令y＝0，x＝0，得点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，2)．
由AB＝AC，∠BAC＝90°，得△BAO≌△ACD，
∴ AD＝OB＝2，CD＝AO＝1，
∴ C点的坐标为(3，1)．
设所求抛物线的解析式为，
则有，解得，
∴ 所求抛物线的解析式为．


15.【答案与解析】
解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x2+2x+4；
（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．