北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第8讲 二次函数y=ax^2＋bx＋c(a≠0)的图像与性质(提高)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第8讲 二次函数y=ax^2＋bx＋c(a≠0)的图像与性质(提高)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 309.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-20 14:53:34 | ||
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文档简介
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【典型例题】
类型一、二次函数的图象与性质
1. 抛物线与y轴交于(0，3)点：
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？
(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案与解析】
(1)由抛物线与y轴交于(0，3)可得m＝3．
∴ 抛物线解析式为，如图所示．
(2)由得，．
∴ 抛物线与x轴的交点为(-1，0)、(3，0)．
∵ ，
∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．
(3)由图象可知：当-1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
(4)由图象可知：当x≥1时，y的值随x值的增大而减小．
【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．
(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线；
(2)令y＝0可求抛物线与x轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标；
(3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，
举一反三：
【变式】（2019?泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
-11 B. -2 C. 1 D. -5
【答案】D.
提示：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，故选：D．
类型二、二次函数的最值
2. 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
【答案与解析】
∵ ，
∴ 顶点坐标为(1，-4)．
(1)∵ x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴ 当x＝1时y有最小值，．
∵ x＝1是0＜x＜2范围的中点，在x＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1不在2≤x≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x≤3)的图象是
抛物线的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴ 当x＝3时，；当x＝2时，．
【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线部分，易看出x＝3时，；x＝2时，．
类型三、二次函数性质的综合应用
3.（2019?梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和
（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C.
【解析】
解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，①正确；
②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1，②错误；
③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，
故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确；
④∵a=﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），
∴当0＜x＜2时，y＞0，④正确．
故选：C．
【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．
4. 一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1．
（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【答案与解析】
(1)由已知可得抛物线的对称轴是．
∴ 最高点C的坐标为(4，1)．
则 解得
∴ 所求抛物线的解析式为．
列表：
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-3
0
1
0
-3
-8
描点、连线，如图所示：
（2）取点（-2，-8）为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，
观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C到直线y＝2的距离分别是5、10、2、1．
（3）抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y＝2的距离．
【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．
(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，
然后运用勾股定理求得．
举一反三：
【变式】已知二次函数（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1. （2019?南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.
A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴
C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧
2．已知抛物线过点，，，四点，则与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．不能确定
3．小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中信息正确的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
4
1
0
1
4
……
点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的
是( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
5．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )
A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
第5题 第6题
6．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值-1，有最大值0
C．有最小值-1，有最大值3 D．有最小值-1，无最大值
二、填空题
7．把抛物线的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是，则a+b+c＝________．
8．如图所示，是二次函数在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c＞0；
②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④中正确的是________（填写序号）．
9．（2019?长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 ．
10．抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是_____.
11．抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.
12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是___ __.
三、解答题
13．（2019?北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
14．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q. (1)求点B和点C的坐标；
(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，
并指出自变量x取值范围. (3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标， 若不存在，说明理由.
15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为. (1)求此抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】D；
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，
∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，
∴﹣2＜＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D．
2.【答案】A；
【解析】由于抛物线经过点A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为，
根据抛物线对称性知当和时，其函数值相等，
∵ ，开口向下，当时，y随x增大而减小，又，∴ ．
3.【答案】C；
【解析】由图象知，，，∴ ，当时，，
当时，，∴ ①②③④正确．
4.【答案】B ；
【解析】由表可知1＜x1＜2，∴ 0＜y1＜1，3＜x2＜4，∴ 1＜y2＜4，故y1＜y2.
5.【答案】A ；
【解析】由顶点(n，k)在(m，h)的上方，且对称轴相同，∴ m＝n，k＞h.
6.【答案】C ；
【解析】观察图象在0≤x≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3.
二、填空题
7．【答案】11 ；
【解析】将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得．
∴ a＝1，b＝3，c＝7.
8．【答案】②④；
【解析】观察图象知抛物线与y轴交于负半轴，则，故①是错误的；当时，，
即，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y轴右侧，则，
∵ ，∴ ，故，故③是错误的；∵ ，，
∴ ，故④是正确的．
9．【答案】1；
【解析】∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
10．【答案】-3；
【解析】设抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标是x1、x2，则x2- x1=1，△ABC的面积为1得c=2,
由根与系数关系化为，
即，由得，.
11．【答案】(2，4)；
【解析】若抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，则与k值无关，即整理y=x2+kx-2k得y=x2+k（x-2），
x-2=0，解得x=2,代入y=x2+k（x-2），y=4,所以过点(2，4).
12．【答案】 ；
【解析】
又因为函数图象经过，所以，代入即可求得.
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，
解得：x=3，
∴A（3，2），
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴B（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：
解得：
∴y=x2﹣2x﹣1．
顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，
代入A（3，2）则9a=2，
解得：a=，
代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，
解得：a=2，
∴
14.【答案与解析】
(1)把x=0代入得点C的坐标为C(0，2) 把y=0代入得点B的坐标为B(3，0)； (2)连结OP，设点P的坐标为P(x，y) = = ∵ 点M运动到B点上停止，∴， ∴()； (3)存在. BC== ① 若BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2 ∴ BM=1 ∴OM=3-1=2 ∴ ∴QM= 所以Q的坐标为Q(2，)； ② 若BQ=BD=2 ∵△BQM∽△BCO，∴ == ∴= ∴ QM= ∵= ∴ = ∴BM= ∴ OM= 所以Q的坐标为Q(，).
15.【答案与解析】
(1)直线与坐标轴的交点，. 则 解得 此抛物线的解析式. (2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点. 设，则. 化简得. 当，得或. 或 当时，即，此方程无解. 综上所述，满足条件的点的坐标为或.
【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
3.经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数与之间的相互关系
1.顶点式化成一般式 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2.一般式化成顶点式
．
对照，可知，．
∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．
要点诠释：
1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与坐标轴的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数的图象与性质
1.二次函数图象与性质
函数
二次函数（a、b、c为常数，a≠0）
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有最小值，
抛物线有最高点，当时，y有最大值，
2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
要点四、求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
【典型例题】
类型一、二次函数的图象与性质
1. 抛物线与y轴交于(0，3)点：
(1)求出m的值并画出这条抛物线；
(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？
(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【答案与解析】
(1)由抛物线与y轴交于(0，3)可得m＝3．
∴ 抛物线解析式为，如图所示．
(2)由得，．
∴ 抛物线与x轴的交点为(-1，0)、(3，0)．
∵ ，
∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．
(3)由图象可知：当-1＜x＜3时，抛物线在x轴上方．
(4)由图象可知：当x≥1时，y的值随x值的增大而减小．
【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．
(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线；
(2)令y＝0可求抛物线与x轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标；
(3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，
举一反三：
【变式】（2019?泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣11
﹣2
1
﹣2
﹣5
…
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
-11 B. -2 C. 1 D. -5
【答案】D.
提示：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得，
函数解析式为y=﹣3x2+1
x=2时y=﹣11，故选：D．
类型二、二次函数的最值
2. 分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
【答案与解析】
∵ ，
∴ 顶点坐标为(1，-4)．
(1)∵ x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴ 当x＝1时y有最小值，．
∵ x＝1是0＜x＜2范围的中点，在x＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1不在2≤x≤3范围内(如图所示)，又因为函数(2≤x≤3)的图象是
抛物线的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴ 当x＝3时，；当x＝2时，．
【总结升华】先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线部分，易看出x＝3时，；x＝2时，．
类型三、二次函数性质的综合应用
3.（2019?梅州）对于二次函数y=﹣x2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和
（2，0）；④当0＜x＜2时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C.
【解析】
解：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，①正确；
②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12+2x1，y2=﹣x22+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1，②错误；
③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，
故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确；
④∵a=﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（2，0），
∴当0＜x＜2时，y＞0，④正确．
故选：C．
【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．
4. 一条抛物线经过A（2，0）和B（6，0），最高点C的纵坐标是1．
（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C、E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【答案与解析】
(1)由已知可得抛物线的对称轴是．
∴ 最高点C的坐标为(4，1)．
则 解得
∴ 所求抛物线的解析式为．
列表：
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-3
0
1
0
-3
-8
描点、连线，如图所示：
（2）取点（-2，-8）为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，
观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C到直线y＝2的距离分别是5、10、2、1．
（3）抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y＝2的距离．
【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．
(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，
然后运用勾股定理求得．
举一反三：
【变式】已知二次函数（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个
在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1. （2019?南昌）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.
A．只能是x=﹣1 B．可能是y轴
C．在y轴右侧且在直线x=2的左侧 D．在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧
2．已知抛物线过点，，，四点，则与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．不能确定
3．小强从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中信息正确的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
4
1
0
1
4
……
点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的
是( )
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y2
5．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )
A．m＝n，k＞h B．m＝n，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h
第5题 第6题
6．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( )
A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值-1，有最大值0
C．有最小值-1，有最大值3 D．有最小值-1，无最大值
二、填空题
7．把抛物线的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是，则a+b+c＝________．
8．如图所示，是二次函数在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c＞0；
②a+b+c＜0；③2a-b＜0；④中正确的是________（填写序号）．
9．（2019?长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 ．
10．抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是_____.
11．抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.
12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是___ __.
三、解答题
13．（2019?北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
14．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q. (1)求点B和点C的坐标；
(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，
并指出自变量x取值范围. (3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标， 若不存在，说明理由.
15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为. (1)求此抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】D；
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，
∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，
∴﹣2＜＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D．
2.【答案】A；
【解析】由于抛物线经过点A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为，
根据抛物线对称性知当和时，其函数值相等，
∵ ，开口向下，当时，y随x增大而减小，又，∴ ．
3.【答案】C；
【解析】由图象知，，，∴ ，当时，，
当时，，∴ ①②③④正确．
4.【答案】B ；
【解析】由表可知1＜x1＜2，∴ 0＜y1＜1，3＜x2＜4，∴ 1＜y2＜4，故y1＜y2.
5.【答案】A ；
【解析】由顶点(n，k)在(m，h)的上方，且对称轴相同，∴ m＝n，k＞h.
6.【答案】C ；
【解析】观察图象在0≤x≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3.
二、填空题
7．【答案】11 ；
【解析】将向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得．
∴ a＝1，b＝3，c＝7.
8．【答案】②④；
【解析】观察图象知抛物线与y轴交于负半轴，则，故①是错误的；当时，，
即，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y轴右侧，则，
∵ ，∴ ，故，故③是错误的；∵ ，，
∴ ，故④是正确的．
9．【答案】1；
【解析】∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
10．【答案】-3；
【解析】设抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的坐标是x1、x2，则x2- x1=1，△ABC的面积为1得c=2,
由根与系数关系化为，
即，由得，.
11．【答案】(2，4)；
【解析】若抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，则与k值无关，即整理y=x2+kx-2k得y=x2+k（x-2），
x-2=0，解得x=2,代入y=x2+k（x-2），y=4,所以过点(2，4).
12．【答案】 ；
【解析】
又因为函数图象经过，所以，代入即可求得.
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）当y=2时，则2=x﹣1，
解得：x=3，
∴A（3，2），
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴B（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C1：y=x2+bx+c得：
解得：
∴y=x2﹣2x﹣1．
顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，
代入A（3，2）则9a=2，
解得：a=，
代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，
解得：a=2，
∴
14.【答案与解析】
(1)把x=0代入得点C的坐标为C(0，2) 把y=0代入得点B的坐标为B(3，0)； (2)连结OP，设点P的坐标为P(x，y) = = ∵ 点M运动到B点上停止，∴， ∴()； (3)存在. BC== ① 若BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2 ∴ BM=1 ∴OM=3-1=2 ∴ ∴QM= 所以Q的坐标为Q(2，)； ② 若BQ=BD=2 ∵△BQM∽△BCO，∴ == ∴= ∴ QM= ∵= ∴ = ∴BM= ∴ OM= 所以Q的坐标为Q(，).
15.【答案与解析】
(1)直线与坐标轴的交点，. 则 解得 此抛物线的解析式. (2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点. 设，则. 化简得. 当，得或. 或 当时，即，此方程无解. 综上所述，满足条件的点的坐标为或.