北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第9讲 实际问题与二次函数(提高)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第9讲 实际问题与二次函数(提高)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 320.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-20 14:53:09 | ||
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文档简介
实际问题与二次函数—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题；
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、何时获得最大利润
1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x (月)满足关系式，而其每千克成本(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．
(1)试确定b，c的值；
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x的取值范围)
(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?
【答案与解析】
（1）把(3，25)，(4，24)代入中，得
解方程组得
(2)根据题意，得
．
所以y与x的函数关系式为．
(3)由(2)得，，因为，所以当x＜6时，y随x的增大而增大，所以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5元．
【总结升华】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．
举一反三：
【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）
【答案】（1）设与的函数关系式为：，
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）
∴ 解得
∴
（2）
（50≤x≤70）
∵，＜0
∴函数图象开口向下，
对称轴是直线x=75
∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大,
∴当x=70时，.
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
2.（2019秋?涿州市校级月考）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后
的最大高度应是多少m？
【思路点拨】
因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．
【答案与解析】
解：建立如图平面直角坐标系：
设抛物线的解析式为y=ax2，
由题意得：点A的坐标为（2，﹣4.4），
∴﹣4.4=4a，
解得：a=﹣1.1，
∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2，
当x=1.2时，
y=﹣1.1×1.44=﹣1.584，
∴线段OB的长为1.584米，
∴BC=4.4﹣1.584=2.816米，
∴装货后的最大高度为2.816米，
故答案为：2.816米．
【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
3. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?
【答案与解析】
解：如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，
设C点的纵坐标为n，过点C、B、A所在的抛物线的解析式为，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴．
∵抛物线经过点A(1.5，3.05)，
∴3.05＝a·1.52+3.5，
∴．
∴抛物线解析式为．
∴，
∴n＝2.25．
∴球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．
【总结升华】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．
举一反三：
【变式】某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m。
（1）建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
【答案】（1）根据题意可知，抛物线经过（0，），顶点坐标为（4，4），则可设其解析式为
y＝a（x－4）2＋4，解得a＝－.
则所求抛物线的解析式为y＝－（x－4）2＋4.
又∵篮圈的坐标是（7，3），
代入解析式，y＝－（7－4）2＋4＝3.
所以能够投中.
（2）当x＝1时，y＝3，此时3.1＞3，故乙队员能够拦截成功.
类型四、最大面积是多少
4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．
(1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)
【思路点拨】
①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
【答案与解析】
(1)(米)；
(2)①∵AD＝2r，AD+CD＝8，∴CD＝8-AD＝8-2r，
∴．
②由①知，CD＝8-2r，又∵1.2米≤CD≤3米，
∴2≤8-2r≤3，∴2.5≤r≤3．
由①知，．
∵-2.43＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，
又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值．
(米)．
【总结升华】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
举一反三：
【变式】（2019?泗洪县校级模拟）如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是 ．
【答案】50≤S≤68．
【解析】解：设AF=x，则BF=10﹣x，由题意，得
S=x2+（10﹣x）2，
S=2x2﹣20x+100，
S=2（x﹣5）2+50．
∴a=2＞0，
∴x=5时，S最小=50．
∵2≤x≤8，
当x=2时，S=68，
当x=8时，S=68．
∴50≤S≤68．
故答案为：50≤S≤68．
实际问题与二次函数—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1（2019秋?龙口市校级期中）某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（ ）
A．5000元 B． 8000元 C． 9000元 D． 10000元
2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10
张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( ) A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元
3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x(单位：分)之间大致满足函数关系式：(0≤x≤30)，y的值越大，表示接受能力越强，那么学生的接受能力达到最强时，概念提出所用的时间是( )．
A．10分 B．30分 C．13分 D．15分
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
第4题 第6题
5．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式：h＝-5(t-1)2+6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
6．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分(如上图所示)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为________元.
8．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，则当x＝________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
9．（2019秋?绍兴期中）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
10．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是.请回答下列问题：柱子OA的高度为 米；喷出的水流距水平面的最大高度是 米；若不计其它因素，水池的半径至少要 米，才能使喷出的水流不至于落在池外.
?
11．如图所示，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．
第11题 第12题
12．如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB＝10m，BC＝2.4m，现把隧道横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道，问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道右壁至少___________米才不至于碰到隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)
三、解答题
13．（2019?安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
14. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求。若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y2＝170-2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出y2与x之间的函数关系式；
(2)求月产量x的范围；
(3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元)最大？最大利润是多少？
15．（2019?南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】C；
【解析】解：设单价定为x，总利润为W，
则可得销量为：500﹣10（x﹣100），单件利润为：（x﹣90），
由题意得，W=（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]=﹣10x2+2400x﹣135000
=﹣10（x﹣120）2+9000，
故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，
故选C．
2.【答案】C；
【解析】设旅行社获利为y(元)，若每床一次提高费用2元，设提高了x次，则每床提高费用为2x元，根据题意可列，因为x为整数，且为了投资少而获利大，所以当x=3即2x=6时，函数取最大值，故选C.
3.【答案】C；
【解析】分时，y最大．
4.【答案】A；
【解析】，当时，.
5.【答案】C；
【解析】t＝1时，；
6.【答案】A；
【解析】将A(4，0)，B(0，1)代入解析式中求得，.
二、填空题
7．【答案】5；
8．【答案】4；
【解析】，∴时W最大.
9．【答案】；0＜x≤25；
10．【答案】；；2.5.
【解析】（1）OA高度为米.
（2）当时，，即水流距水平面的最大高为米.
（3）
其中不合题意，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外.
11．【答案】0.5；
【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0，2.5)，B(0.5，1)，C(2，2.5)．
设抛物线解析式为．则
解得
∴，
∴顶点坐标为(1，0.5)，即绳子的最低点距地面0.5米．
12．【答案】2m；
【解析】由已知条件分析得，抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，C点的坐标为(10，0)，
设抛物线的解析式为y＝a(x-5)2+2.5．
把(10，0)代入解析式得25a+2.5＝0．
∴，即．
当y＝4-2.4＝1.6时，即，
∴ (x-5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2．
又∵x2＝2不合题意，舍去．
∴x＝8，OC-x＝10-8＝2(m)．
故汽车应离开隧道右壁至少2m才不至于碰到隧道顶部．
三、解答题
13.【答案与解析】
13.【答案与解析】
解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=，2a=,
∴y=()x+（）x=，
∵a=＞0，
∴x＜40，
则y=（0＜x＜40）；
（2）∵y==（0＜x＜40），且二次项系数为＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
14.【解析】
(1)y2＝500+30x．
(2)依题意得：
解之：25≤x≤40，且x为整数．
(3)∵
，
∴，而25＜35＜40．
∴当x＝35时，1 950．
即月产量为35套时，利润最大，最大利润是l 950万元．
15.【解析】
解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，
∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），
∴
∴，
∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴，
解得：，
∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，
∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，
由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题；
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型；
3.培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、何时获得最大利润
1. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x (月)满足关系式，而其每千克成本(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．
(1)试确定b，c的值；
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；(不要求指出x的取值范围)
(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?
【答案与解析】
（1）把(3，25)，(4，24)代入中，得
解方程组得
(2)根据题意，得
．
所以y与x的函数关系式为．
(3)由(2)得，，因为，所以当x＜6时，y随x的增大而增大，所以“五一”之前，四月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润为10.5元．
【总结升华】在用二次函数知识解决实际问题时，有的同学易忽略自变量的取值范围，有的题目结果中的值看上去有意义，但不一定符合题意，有的题目本身就隐含着对自变量的限制，常常考虑不周而造成错解．
举一反三：
【变式】某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？（总利润总销售额总成本）
【答案】（1）设与的函数关系式为：，
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）
∴ 解得
∴
（2）
（50≤x≤70）
∵，＜0
∴函数图象开口向下，
对称轴是直线x=75
∵50≤x≤70，此时y随x的增大而增大,
∴当x=70时，.
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
2.（2019秋?涿州市校级月考）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后
的最大高度应是多少m？
【思路点拨】
因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．
【答案与解析】
解：建立如图平面直角坐标系：
设抛物线的解析式为y=ax2，
由题意得：点A的坐标为（2，﹣4.4），
∴﹣4.4=4a，
解得：a=﹣1.1，
∴抛物线的解析式为y=﹣1.1x2，
当x=1.2时，
y=﹣1.1×1.44=﹣1.584，
∴线段OB的长为1.584米，
∴BC=4.4﹣1.584=2.816米，
∴装货后的最大高度为2.816米，
故答案为：2.816米．
【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
3. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?
【答案与解析】
解：如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C表示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，
设C点的纵坐标为n，过点C、B、A所在的抛物线的解析式为，由于抛物线开口向下，则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴．
∵抛物线经过点A(1.5，3.05)，
∴3.05＝a·1.52+3.5，
∴．
∴抛物线解析式为．
∴，
∴n＝2.25．
∴球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．
【总结升华】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得到实际问题的解．
举一反三：
【变式】某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m。
（1）建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？
【答案】（1）根据题意可知，抛物线经过（0，），顶点坐标为（4，4），则可设其解析式为
y＝a（x－4）2＋4，解得a＝－.
则所求抛物线的解析式为y＝－（x－4）2＋4.
又∵篮圈的坐标是（7，3），
代入解析式，y＝－（7－4）2＋4＝3.
所以能够投中.
（2）当x＝1时，y＝3，此时3.1＞3，故乙队员能够拦截成功.
类型四、最大面积是多少
4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．
(1)当AD＝4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；
(2)已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米．
①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；
②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．(π取3.14，结果精确到0.1米)
【思路点拨】
①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
【答案与解析】
(1)(米)；
(2)①∵AD＝2r，AD+CD＝8，∴CD＝8-AD＝8-2r，
∴．
②由①知，CD＝8-2r，又∵1.2米≤CD≤3米，
∴2≤8-2r≤3，∴2.5≤r≤3．
由①知，．
∵-2.43＜0，∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴，
又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大，故当r＝3时，S有最大值．
(米)．
【总结升华】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
举一反三：
【变式】（2019?泗洪县校级模拟）如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是 ．
【答案】50≤S≤68．
【解析】解：设AF=x，则BF=10﹣x，由题意，得
S=x2+（10﹣x）2，
S=2x2﹣20x+100，
S=2（x﹣5）2+50．
∴a=2＞0，
∴x=5时，S最小=50．
∵2≤x≤8，
当x=2时，S=68，
当x=8时，S=68．
∴50≤S≤68．
故答案为：50≤S≤68．
实际问题与二次函数—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1（2019秋?龙口市校级期中）某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（ ）
A．5000元 B． 8000元 C． 9000元 D． 10000元
2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10
张床位的租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( ) A.4元或6元 B.4元 C.6元 D.8元
3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y和提出概念所用的时间x(单位：分)之间大致满足函数关系式：(0≤x≤30)，y的值越大，表示接受能力越强，那么学生的接受能力达到最强时，概念提出所用的时间是( )．
A．10分 B．30分 C．13分 D．15分
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图所示，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
第4题 第6题
5．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数关系式：h＝-5(t-1)2+6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
6．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分(如上图所示)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为________元.
8．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，则当x＝________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．
9．（2019秋?绍兴期中）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．则y与x之间的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
10．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图所示，如图建立直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是.请回答下列问题：柱子OA的高度为 米；喷出的水流距水平面的最大高度是 米；若不计其它因素，水池的半径至少要 米，才能使喷出的水流不至于落在池外.
?
11．如图所示，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．
第11题 第12题
12．如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB＝10m，BC＝2.4m，现把隧道横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道，问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道右壁至少___________米才不至于碰到隧道顶部?(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)
三、解答题
13．（2019?安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
14. 国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求。若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y2＝170-2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出y2与x之间的函数关系式；
(2)求月产量x的范围；
(3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元)最大？最大利润是多少？
15．（2019?南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】C；
【解析】解：设单价定为x，总利润为W，
则可得销量为：500﹣10（x﹣100），单件利润为：（x﹣90），
由题意得，W=（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]=﹣10x2+2400x﹣135000
=﹣10（x﹣120）2+9000，
故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，
故选C．
2.【答案】C；
【解析】设旅行社获利为y(元)，若每床一次提高费用2元，设提高了x次，则每床提高费用为2x元，根据题意可列，因为x为整数，且为了投资少而获利大，所以当x=3即2x=6时，函数取最大值，故选C.
3.【答案】C；
【解析】分时，y最大．
4.【答案】A；
【解析】，当时，.
5.【答案】C；
【解析】t＝1时，；
6.【答案】A；
【解析】将A(4，0)，B(0，1)代入解析式中求得，.
二、填空题
7．【答案】5；
8．【答案】4；
【解析】，∴时W最大.
9．【答案】；0＜x≤25；
10．【答案】；；2.5.
【解析】（1）OA高度为米.
（2）当时，，即水流距水平面的最大高为米.
（3）
其中不合题意，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在池外.
11．【答案】0.5；
【解析】如图，建立平面直角坐标系，则A(0，2.5)，B(0.5，1)，C(2，2.5)．
设抛物线解析式为．则
解得
∴，
∴顶点坐标为(1，0.5)，即绳子的最低点距地面0.5米．
12．【答案】2m；
【解析】由已知条件分析得，抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，C点的坐标为(10，0)，
设抛物线的解析式为y＝a(x-5)2+2.5．
把(10，0)代入解析式得25a+2.5＝0．
∴，即．
当y＝4-2.4＝1.6时，即，
∴ (x-5)2＝9，解得x1＝8，x2＝2．
又∵x2＝2不合题意，舍去．
∴x＝8，OC-x＝10-8＝2(m)．
故汽车应离开隧道右壁至少2m才不至于碰到隧道顶部．
三、解答题
13.【答案与解析】
13.【答案与解析】
解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
∴AE=2BE，
设BE=a，则AE=2a，
∴8a+2x=80，
∴a=，2a=,
∴y=()x+（）x=，
∵a=＞0，
∴x＜40，
则y=（0＜x＜40）；
（2）∵y==（0＜x＜40），且二次项系数为＜0，
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．
14.【解析】
(1)y2＝500+30x．
(2)依题意得：
解之：25≤x≤40，且x为整数．
(3)∵
，
∴，而25＜35＜40．
∴当x＝35时，1 950．
即月产量为35套时，利润最大，最大利润是l 950万元．
15.【解析】
解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y=k1x+b1，
∵y=k1x+b1的图象过点（0，60）与（90，42），
∴
∴，
∴这个一次函数的表达式为；y=﹣0.2x+60（0≤x≤90）；
（3）设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2，
∵经过点（0，120）与（130，42），
∴，
解得：，
∴这个一次函数的表达式为y2=﹣0.6x+120（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣（﹣0.2x+60）]=﹣0.4（x﹣75）2+2250，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x≤130时，W=x[（﹣0.6x+120）﹣42]=﹣0.6（x﹣65）2+2535，
∴当x=90时，W=﹣0.6（90﹣65）2+2535=2160，
由﹣0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．