北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第10讲 二次函数与一元二次方程(提高)含答案
文档属性
| 名称 | 北师大版初中数学九年级下册知识讲解，巩固练习（教学资料，补习资料）：第10讲 二次函数与一元二次方程(提高)含答案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 416.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-10-20 14:51:04 | ||
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文档简介
用函数观点看一元二次方程—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点诠释： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： (1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； (2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
（或）
无解
△＜0
全体实数
无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【典型例题】
类型一、二次函数图象与坐标轴交点
1. 已知抛物线．求：(1)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点．
【答案与解析】
．
(1)当，且，即当k＞-3且k≠-1时，抛物线与x轴有两个交点．
(2)当，且2(k+1)≠0．即当k＝-3时，抛物线与x轴有唯一交点．
(3)当b2-4ac＝8k+24＜0，且2(k+1)≠0．即当k＜-3时，抛物线与x轴不相交．
【总结升华】根据抛物线与x轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与x轴的交点个数，推出△值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．
特别提醒：易忽视二次项系数2(k+1)≠0这一隐含条件．
举一反三：
【变式】（2019秋?越秀区期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）求y的取值范围．
【答案】
解：（1）如图所示：方程ax2+bx+c=0的两个根为：﹣5和1；
（2）如图所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集为：﹣5＜x＜1；
（3）∵抛物线与坐标轴分别交于点A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：y=a（x+5）（x﹣1），
∵抛物线过点C（0，5），
∴5=a×5×（﹣1），
解得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为：y=﹣（x+5）（x﹣1）=﹣x2﹣4x+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=﹣=﹣2时，
y最大=﹣（﹣2+5）（﹣2﹣1）=9，
∴y的取值范围为：y≤9．
类型二、利用图象法求一元二次方程的解
2. 利用函数的图象，求方程组的解. 【答案与解析】
在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)，
则方程组的解为.
【总结升华】可以通过画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.
类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用
3. 已知关于x的二次函数．
(1)探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数为2，1，0．
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(，0)，B(，0)，且与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．
【答案与解析】
(1)令y＝0，得：，△＝，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴有两个交点．
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴只有一个交点．
当△＜0时，方程没有实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴没有交点．
∴ 当时，y的图象与x轴的交点的个数为2；
当时，y的图象与x轴的交点的个数为1；
当时，y的图象与x轴的交点的个数为0．
(2)由根与系数的关系得，．
．
∵ ，∴ ，∴ ，
解得：，．
∵ ，∴ m＝-1．∴ ．
令x＝0，得，∴ 二次函数y的图象与y轴的交点C的坐标为(0，2)．
又，∴ 顶点M的坐标为．
设过C(0，2)与M的直线解析式为，
则 解得
∴ 直线CM的解析式为．
【总结升华】根据二次函数与一元二次方程的关系，将函数转化为一元二次方程，再利用判别式，讨论二次函数的图象与x轴的交点个数，利用根与系数关系建立关于m的方程，求出m值，得二次函数解析式，分别求出C点、M点坐标，进而求出直线方程．
举一反三：
【变式】已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
【答案】
（1）依题意，得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）∵抛物线与轴交于整数点，
∴的根是整数．
∴．
∵，∴是整数．
∴是完全平方数．
∵， ∴，∴取1，4，9，
．
当时，； 当时，；
当时，． ∴的值为2或或．
∴抛物线的解析式为或或．
4.（2019?中山模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．
【答案与解析】
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜﹣2或x＞1．
（3）∵对称轴：x=﹣1．∴D（﹣2，3）；
设直线BD：y=mx+n 代入B（1，0），D（﹣2，3）：
，
解得：，
故直线BD的解析式为：y=﹣x+1，
把x=0代入求得E（0，1）
∴OE=1，
又∵AB=4
∴S△ADE=×4×3﹣×4×1=4．
【总结升华】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．
用函数观点看一元二次方程—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1. 若二次函数的最大值为2，则a的值是（ ）
A.4 B.-1 C.3 D.4或-1
2．已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
3．方程的实数根的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．如图所示的二次函数(a≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)；(2)；(3)；(4)．你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
5．方程的正根的个数为( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．（2019?济宁）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D． m＜a＜n＜b
二、填空题
7． 已知二次函数的图象的顶点在x轴上，则m的值为 ．
8．如图所示，函数y＝(k-8)x2-6x+k的图象与x轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为 ．
第8题 第9题
9．已知二次函数(a≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别为和________．
10．已知二次函数的图象关于y轴对称，则此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B、C构成的△ABC的面积是________．
11．抛物线（a ≠ 0）满足条件：（1）；（2）；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；②；③；④，
其中所有正确结论的序号是 ．
12．（2019?大庆校级三模）如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是 ．
三、解答题
13．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求k的取值范围；
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABC是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．
14．如图所示，已知直线与抛物线交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
15．（2019?南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】B；
【解析】∵ 的最大值为2，
∴ 且，解得（舍去）．故选B．
2.【答案】B；
【解析】当时是一次函数，即k=3函数图象与x轴有一个交点；
当k-3≠0时此函数为二次函数，当△＝≥0，即k≤4且k≠3时，函数图象与x轴有交点．
综上所述，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B．
3.【答案】A；
【解析】将判断这个方程的根的情况转化为判断函数与的图
象（如图）的公共点的情况.
4.【答案】D；
【解析】由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故(1)正确；又抛物线与y轴的交点在(0，1)下方，
∴ c＜1，故(2)不正确；抛物线的对称轴在-1与0之间，即，
又，∴ ，即，故(3)正确；
当，函数值小于0，∴ a+b+c＜0，故(4)正确．
5.【答案】B；
【解析】不妨把方程化为抛物线与双曲线，分别画出函数图象草图如图所示．
根据题意知，两函数图象交点的横坐标即是方程的解，方程有正根，即交点横坐标为正数．因在x＞0的范围内，两函数的图象有两个交点，即方程正根有两个，故应选B．
6.【答案】A；
【解析】依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0
转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，
方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x 增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：A．
二、填空题
7．【答案】；
【解析】即抛物线与x轴有唯一公共点，由△＝0可求.
8．【答案】；
【解析】∵ 函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴ 方程有两个相等的实数根．
∴ △＝．解得k＝9或k＝-1．
又∵ 图象开口向下，∴ k-8＜0，即k＜8．
∴ k＝-1．即(-1-8)x2-6x-1＝0． 解得．
所以函数的图象与x轴的交点坐标为．
9．【答案】-3.3；
【解析】观察图象可知，抛物线的对称轴是，到对称轴的距离为，又因为到对称轴的距离为2.3，所以．
10．【答案】1；
【解析】依题意有2(m-1)＝0，即m＝1，所以二次函数为，令y＝0，得x＝±1．
所以B(-1，0)，C(1，0)，BC＝2，A(0，1)，．
11．【答案】②④；
【解析】由条件（1）得到抛物线的对称轴为直线；
由条件（2）得到时的函数值为正；
由条件（3）“与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2
得到抛物线与x轴的两个交点位于点与 之间，
从而得到抛物线的示意图如右．
由此可知，，，，
所以①、③错误，②正确．
对于④，由“时的函数值为负”及可知；
由“时的函数值为正”及可知，所以④正确．
12．【答案】﹣1≤x≤2；
三、解答题
13.【答案与解析】
解： (1)由题意，得，
∴ ，即k的取值范围是．
(2)设，，则，．
∴ ．
∵ ，又△ABD是等腰直角三角形，
∴ ，即．
解得，．
又∵ ，∴ 舍去．
∴ 抛物线的解析式是．
14.【答案与解析】
解：（1）依题意得 解之 所以，．
（2）存在．因为AB所在直线的方程，若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上．设该直线分别与x轴、y轴交于G、H两点，
如图，联立 得，因为抛物线与直线只有一个交点，
所以，，所以
解得 所以．
15.【答案与解析】 证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，
把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
【学习目标】
1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；
2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；
3.经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．
【要点梳理】
要点一、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况 求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式
二次函数
一元二次方程
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
抛物线与x轴交于，两点，且，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程
在实数范围内无解（或称无实数根）
要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.
(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 2.抛物线与直线的交点问题
抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．
抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．
抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．
当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；
当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；
当方程组无解时两函数图象没有交点．
总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．
要点诠释：
求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．
要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤： 1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数； 2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线 与x轴交点的横坐标的大致范围； 3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值． 4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根． 要点诠释： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）： (1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根； (2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.
要点三、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线与x轴的两个交点为A(，0)，B(，0)，则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即 （△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系
二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：
判别式
抛物线与x轴的交点
不等式的解集
不等式的解集
△＞0
或
△＝0
（或）
无解
△＜0
全体实数
无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
要点诠释：
抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
【典型例题】
类型一、二次函数图象与坐标轴交点
1. 已知抛物线．求：(1)k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
(2)k为何值时，抛物线与x轴有唯一交点；(3)k为何值时，抛物线与x轴没有交点．
【答案与解析】
．
(1)当，且，即当k＞-3且k≠-1时，抛物线与x轴有两个交点．
(2)当，且2(k+1)≠0．即当k＝-3时，抛物线与x轴有唯一交点．
(3)当b2-4ac＝8k+24＜0，且2(k+1)≠0．即当k＜-3时，抛物线与x轴不相交．
【总结升华】根据抛物线与x轴的交点个数可确定字母系数的取值范围，其方法是根据抛物线与x轴的交点个数，推出△值的性质，即列出关于字母系数的方程(或不等式)，通过方程(或不等式)求解．
特别提醒：易忽视二次项系数2(k+1)≠0这一隐含条件．
举一反三：
【变式】（2019秋?越秀区期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）求y的取值范围．
【答案】
解：（1）如图所示：方程ax2+bx+c=0的两个根为：﹣5和1；
（2）如图所示：不等式ax2+bx+c＞0的解集为：﹣5＜x＜1；
（3）∵抛物线与坐标轴分别交于点A（﹣5，0），B（1，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：y=a（x+5）（x﹣1），
∵抛物线过点C（0，5），
∴5=a×5×（﹣1），
解得：a=﹣1，
∴抛物线解析式为：y=﹣（x+5）（x﹣1）=﹣x2﹣4x+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=﹣=﹣2时，
y最大=﹣（﹣2+5）（﹣2﹣1）=9，
∴y的取值范围为：y≤9．
类型二、利用图象法求一元二次方程的解
2. 利用函数的图象，求方程组的解. 【答案与解析】
在同一直角坐标系中画出函数和的图象， 如图，得到它们的交点坐标(-2，0)，(3，15)，
则方程组的解为.
【总结升华】可以通过画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解.
类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用
3. 已知关于x的二次函数．
(1)探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数为2，1，0．
(2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(，0)，B(，0)，且与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．
【答案与解析】
(1)令y＝0，得：，△＝，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴有两个交点．
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴只有一个交点．
当△＜0时，方程没有实数根，即，∴ ．
此时，y的图象与x轴没有交点．
∴ 当时，y的图象与x轴的交点的个数为2；
当时，y的图象与x轴的交点的个数为1；
当时，y的图象与x轴的交点的个数为0．
(2)由根与系数的关系得，．
．
∵ ，∴ ，∴ ，
解得：，．
∵ ，∴ m＝-1．∴ ．
令x＝0，得，∴ 二次函数y的图象与y轴的交点C的坐标为(0，2)．
又，∴ 顶点M的坐标为．
设过C(0，2)与M的直线解析式为，
则 解得
∴ 直线CM的解析式为．
【总结升华】根据二次函数与一元二次方程的关系，将函数转化为一元二次方程，再利用判别式，讨论二次函数的图象与x轴的交点个数，利用根与系数关系建立关于m的方程，求出m值，得二次函数解析式，分别求出C点、M点坐标，进而求出直线方程．
举一反三：
【变式】已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
【答案】
（1）依题意，得，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）∵抛物线与轴交于整数点，
∴的根是整数．
∴．
∵，∴是整数．
∴是完全平方数．
∵， ∴，∴取1，4，9，
．
当时，； 当时，；
当时，． ∴的值为2或或．
∴抛物线的解析式为或或．
4.（2019?中山模拟）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；
（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．
【答案与解析】
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），
根据题意得 ，
解得：，
所以二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是：x＜﹣2或x＞1．
（3）∵对称轴：x=﹣1．∴D（﹣2，3）；
设直线BD：y=mx+n 代入B（1，0），D（﹣2，3）：
，
解得：，
故直线BD的解析式为：y=﹣x+1，
把x=0代入求得E（0，1）
∴OE=1，
又∵AB=4
∴S△ADE=×4×3﹣×4×1=4．
【总结升华】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，利用数形结合得出是解题关键．
用函数观点看一元二次方程—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题 1. 若二次函数的最大值为2，则a的值是（ ）
A.4 B.-1 C.3 D.4或-1
2．已知函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3
3．方程的实数根的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．如图所示的二次函数(a≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)；(2)；(3)；(4)．你认为其中错误的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
5．方程的正根的个数为( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．（2019?济宁）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D． m＜a＜n＜b
二、填空题
7． 已知二次函数的图象的顶点在x轴上，则m的值为 ．
8．如图所示，函数y＝(k-8)x2-6x+k的图象与x轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为 ．
第8题 第9题
9．已知二次函数(a≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别为和________．
10．已知二次函数的图象关于y轴对称，则此图象的顶点A和图象与x轴的两个交点B、C构成的△ABC的面积是________．
11．抛物线（a ≠ 0）满足条件：（1）；（2）；（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；②；③；④，
其中所有正确结论的序号是 ．
12．（2019?大庆校级三模）如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是 ．
三、解答题
13．已知抛物线与x轴有两个不同的交点．
(1)求k的取值范围；
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，点D是抛物线的顶点，如果△ABC是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．
14．如图所示，已知直线与抛物线交于A、B两点．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
15．（2019?南京）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
【答案与解析】
一、选择题 1.【答案】B；
【解析】∵ 的最大值为2，
∴ 且，解得（舍去）．故选B．
2.【答案】B；
【解析】当时是一次函数，即k=3函数图象与x轴有一个交点；
当k-3≠0时此函数为二次函数，当△＝≥0，即k≤4且k≠3时，函数图象与x轴有交点．
综上所述，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B．
3.【答案】A；
【解析】将判断这个方程的根的情况转化为判断函数与的图
象（如图）的公共点的情况.
4.【答案】D；
【解析】由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故(1)正确；又抛物线与y轴的交点在(0，1)下方，
∴ c＜1，故(2)不正确；抛物线的对称轴在-1与0之间，即，
又，∴ ，即，故(3)正确；
当，函数值小于0，∴ a+b+c＜0，故(4)正确．
5.【答案】B；
【解析】不妨把方程化为抛物线与双曲线，分别画出函数图象草图如图所示．
根据题意知，两函数图象交点的横坐标即是方程的解，方程有正根，即交点横坐标为正数．因在x＞0的范围内，两函数的图象有两个交点，即方程正根有两个，故应选B．
6.【答案】A；
【解析】依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．
方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0
转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，
方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x 增大而增大，则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．故选：A．
二、填空题
7．【答案】；
【解析】即抛物线与x轴有唯一公共点，由△＝0可求.
8．【答案】；
【解析】∵ 函数的图象与x轴只有一个公共点，
∴ 方程有两个相等的实数根．
∴ △＝．解得k＝9或k＝-1．
又∵ 图象开口向下，∴ k-8＜0，即k＜8．
∴ k＝-1．即(-1-8)x2-6x-1＝0． 解得．
所以函数的图象与x轴的交点坐标为．
9．【答案】-3.3；
【解析】观察图象可知，抛物线的对称轴是，到对称轴的距离为，又因为到对称轴的距离为2.3，所以．
10．【答案】1；
【解析】依题意有2(m-1)＝0，即m＝1，所以二次函数为，令y＝0，得x＝±1．
所以B(-1，0)，C(1，0)，BC＝2，A(0，1)，．
11．【答案】②④；
【解析】由条件（1）得到抛物线的对称轴为直线；
由条件（2）得到时的函数值为正；
由条件（3）“与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2
得到抛物线与x轴的两个交点位于点与 之间，
从而得到抛物线的示意图如右．
由此可知，，，，
所以①、③错误，②正确．
对于④，由“时的函数值为负”及可知；
由“时的函数值为正”及可知，所以④正确．
12．【答案】﹣1≤x≤2；
三、解答题
13.【答案与解析】
解： (1)由题意，得，
∴ ，即k的取值范围是．
(2)设，，则，．
∴ ．
∵ ，又△ABD是等腰直角三角形，
∴ ，即．
解得，．
又∵ ，∴ 舍去．
∴ 抛物线的解析式是．
14.【答案与解析】
解：（1）依题意得 解之 所以，．
（2）存在．因为AB所在直线的方程，若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线上．设该直线分别与x轴、y轴交于G、H两点，
如图，联立 得，因为抛物线与直线只有一个交点，
所以，，所以
解得 所以．
15.【答案与解析】 证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，
∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，
把函数y=（x﹣m）2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．