北师大版八年级上册数学第三讲实数（学案）

第03讲实数
适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 平方根 算术平方根 非负数的性质：平方根 立方根 无理数的概念 实数的估算 无理数的整数部分与小数部分 实数的大小比较 实数的混合运算
学习目标 了解无理数的概念，能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围 了解开方与乘方互为逆运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算数平方根；会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根 了解立方根的概念，会用根号表示实数的立方根；会用立方运算的方法，求某些数的立方根 了解实数的概念，会进行简单的实数运算
学习重点 掌握平方根、算数平方根及立方根的相关概念和运算
学习难点 能利用非负数的性质解决相关的问题 根据要求用有理数估计无理数的范围

学习过程
一、复习预习
公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯修斯（Hippausus）发现了一个惊人的事实：若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，即对角线的长不能用两个整数的比值来表示。他的发现，第一次向人们揭示了有理数的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“空隙”。而这种“空隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。
这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，最后被毕氏弟子残忍地扔进了大海。这一发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机。
然而，真理毕竟是淹没不了的。毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希伯修斯这位为真理而献身的可敬的学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是无理数的由来。

二、知识讲解
1. 算术平方根
（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．
2．平方根
（1）定义：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：如果，那么x叫做a的平方根，。
（2）开平方的定义：求一个非负数数的平方根的运算，叫做开平方。
（3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3。
（4）符号：正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；正数a的负的平方根可用-表示．

3.平方根相关理论
（1）当被开方数扩大（或缩小）倍，它的算术平方根相应扩大（或缩小）倍（≥0）（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
①（≥0）；②
（3）若一个非负数介于另外两个非负数，之间，它的算术平方根介于，之间，即当0≤＜＜时，则0≤＜＜。利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围。
4.立方根
（1）定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根，。
（2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
（3）开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。
5.立方根相关理论
（1）当被开方数扩大（或缩小）倍，它的算术平方根相应扩大（或缩小）倍（≥0）（2），
（3）若一个数介于另外两个数，之间，它的立方根介于，之间，即当＜＜时，则0≤＜＜。利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围。
6.实数
（1）有理数的定义：任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
（2）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
（3）实数的定义：有理数和无理数统称为实数

（4）像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是正无理数，，，是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，实数也可以这样分类：

（5）实数与数轴上点的关系：
实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
考点/易错点1
算术平方根具有双重非负性，即≥0，a≥0。
考点/易错点2
的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有限数；当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。不要一看到，就认为它是一个无理数。
考点/易错点3
开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。0的平方根是0；一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。
平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
考点/易错点4
一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
考点/易错点5
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，但并不是数轴上的每一个点都能表示无理数。数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数。
三、例题精析
【例题1】
【题干】（2013·安顺）下列各数中，3.14159，，0.131131113……，－π，，，无理数的个数有（）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

【答案】B．由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．
【解析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

【变式1】(2013·湖州）实数π，，0，－1中，无理数是（）
　 A． π B． C． 0 D． －1

【答案】A。A是无理数；B是分数，是有理数，故选项错误；C是整数，是有理数，选项错误；D是整数，是有理数，选项错误。
【解析】无理数就是无限不循环小数．有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【变式2】把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
﹣2.4，π，2.008，，，，0，﹣（﹣2.28），﹣1.1010010001…，3.14
正数集合： { …}
无理数集合：{ …}．
【答案】正数集合： {π，2.008，，﹣（﹣2.28），3.14…}；
无理数集合：{π，﹣1.1010010001…，…}．
【解析】先根据化简符号的法则去掉多重符号，再根据正数、无理数的定义求解即可．正数是大于0的数，包括正有理数和正无理数，而无理数是无限不循环小数．
【例题2】
【题干】若，则（a+2）2的平方根是（　　）
　 A． 16 B． ±16 C． 2 D． ±2

【答案】B．解：∵，∴a+2=42=16，∴（a+2）2=162，∴（a+2）2的平方根±16．
【解析】解题注意：平方根和算术平方根的区别：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正数为算术平方根．

【变式1】若2-m与2m+1是同一个数的平方根，则这个数可能是。
【答案】①当时，解得：m=-3，则2-m=2-（-3）=5，则这个数为．
②当2-m=2m+1时，解得m=，则2-m==，则这个数为
【解析】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

【变式2】填写下表：
0.0004 0.04 4 400 40000


（1）观察上表，并且说明当被开方数a的小数点向右（或向左）每移动两位时，的小数点移动规律是怎样的？
（2）已知，，请用你观察到的结论直接写出结果：
①=　　； =　　；=　　；
②如果=0.1859，那么x=　　．
【答案】（1）解：∵0.022=0.0004，∴=0.02，∵0.22=0.04，∴=0.2，
∵22=4，∴=2，∵202=400，∴=20，∵2002=40000，∴=200，
被开方数a的小数点向右（或向左）每移动两位，的小数点向右（或向左）移动1位；
（2）①∵，∴=185.9，∵，∴=18.59，∵，∴=58.79；
②∵，=0.1859，∴x=0.03456．
【解析】（1）根据算术平方根的定义进行规律判断，先求出每一个数的算术平方根，然后再根据小数点的变化进行解答；（2）根据（1）中的规律对小数点移动进行求解即可．

【例题3】
【题干】（2013·永州）已知，则x+y的值为（）
　 A． 0 B． －1 C． 1 D． 5

【答案】C.∵，，而，所以，,解得，，所以.
【解析】初中阶段学习了三个非负数，1.；2.；3.。题目一般是其中的两个的和（少数有三个的和）为零，让你得出一个方程组，解方程组，再代入求值。

【变式1】（2013?攀枝花）已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（　　）
　 A． m＞6 B． m＜6 C． m＞﹣6 D． m＜﹣6

【答案】A．根据题意得：，解得：，
则6﹣m＜0，解得：m＞6．故选A．
【解析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．

【变式2】已知，则ab=　　．
【答案】根据题意得，a﹣1=0，a+b+1=0，解得a=1，b=2，所以，ab=1．
【解析】根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．
【例题4】
【题干】（2013?宁波）实数﹣8的立方根是　　。
【答案】∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．
【解析】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．

【变式1】一个数的立方根是它本身，则这个数是（　　）
　 A． 0 B． 1，0 C． 1，﹣1 D． 1，﹣1或0

【答案】D．立方根是它本身有3个，分别是±1，0．
【解析】立方根是它本身有3个，分别是±1，0．如立方根的性质：（1）正数的立方根是正数；（2）负数的立方根是负数；（3）0的立方根是0．

【变式2】已知等式在实数范围内成立，那么x的值为　　．
【答案】1或2．原式可化为，两边6次方得，（x﹣1）3=（x﹣1）2，
即（x﹣1）2（x﹣2）=0，∴x﹣1=0，x﹣2=0，解得x=1或x=2．
【解析】移项并整理后进行6次方去掉根号得到关于x的方程是解题的关键．拓展性质


【例题5】
【题干】估计的值在（　　）之间．
　 A． 1与2之间 B． 2与3之间 C． 3与4之间 D． 4与5之间

【答案】C．解：∵9＜11＜16，∴3＜＜4，即的值在3与4之间．
【解析】此题主要考查了估算无理数的大小，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

【变式1】已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【答案】根据题意，可得2a﹣1=9，3a+b﹣9=8；故a=5，b=2；又有7＜＜8，可得c=7；则a+2b+c=16；则16的算术平方根为4．
【解析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a﹣1与3a+b﹣9的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a+2b+c，根据算术平方根的求法可得答案．

【变式2】我们规定：用表示实数的整数部分，如[3.14]=3，[]=2，在此规定下解决下列问题：
（1）填空：[]+[]+[]+……+[]=　　；
（2）求[]+[]+[]+[]+……+[]的值．
【答案】（1）9；（2）210。
（1）∵；；。
∴当≤＜时，=1；当≤＜时，=2
∴[]+[]+[]+……+[]=1+1+1+2+2+2=9．
（2）[]+[]+[]+[]+……+[]=1+1+1+2+2+2+2+…7
=1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7=210．
【解析】根据表示实数x的整数部分，判断求出的整数部分，再相加计算即可．本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．

【例题6】
【题干】数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（　　）

　 A． a+b＞0 B． ab＞0 C． a-b＞0 D． |a|-|b|＞0

【答案】C．A、∵b＜-1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；B、∵b＜-1＜0＜a＜1，∴ab＜0，故选项错误；C、∵b＜-1＜0＜a＜1，∴a-b＞0，故选项正确；D、∵b＜-1＜0＜a＜1，∴|a|-|b|＜0，故选项错误．
【解析】先观察a，b在数轴上的位置，得b＜-1＜0＜a＜1，然后对四个选项逐一分析．

【变式1】如图数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点位置，判断下列各式何者正确（　　）

　 A． B． C． D．

【答案】D。根据数轴可知c＜﹣1＜0＜a＜1＜b，A、∵a﹣1＜0，b﹣1＞0，∴（a﹣1）（b﹣1）＜0，故选项错误；B、∵b﹣1＞0，c﹣1＜0，∴（b﹣1）（c﹣1）＜0，故选项错误；
C、a+1＞0，b+1＞0，∴（a+1）（b+1）＞0，故选项错误；D、b+1＞0，c+1＜0，∴（b+1）（c+1）＜0，故选项正确．
【解析】先根据数轴得到a，b，c，0之间的大小关系，再根据“两数相乘，同号得正，异号得负”的原则依次判断下列选项是否正确．

【变式2】如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，若点A关于点B的对称点为点C，则点C所对应的实数为（　　）

　 A． -1 B． 1+ C． 2+ D． +1

【答案】A．设点C所对应的实数是x．则有x﹣=﹣1，x=2﹣1．
【解析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的计算方法（数轴上两点间的距离等于数轴上表示两个点的数的差的绝对值，即较大的数减去较小的数）以及中心对称的性质（对称点到对称中心的距离相等），关键利用对称的性质及数轴上两点间的距离解决问题．

【例题7】
【题干】试比较与的大小，并写出推理过程．
【答案】∵（）2=6﹣2＜2，（）2=2，∴＜．
【解析】考查了实数的大小比较，涉及无理数经常用平方后再比较的方法，同学们注意掌握．

【变式1】通过计算，比较与的大小．
【答案】∵﹣=＜0，∴＜．
【解析】比较两个实数的大小，通过求与的差，得出与0的大小关系是常用方法。

【变式2】比较2和的大小，并写出推理过程．
【答案】∵＜，∴＜，∴＜，即＞2．
【解析】先求的取值范围，再得出的取值范围，再比较出该数与2的大小即可．

【例题8】
【题干】（2013?义乌市）计算：（π﹣3.14）0++|﹣|﹣．
【答案】原式=1+2+﹣=3．
【解析】本题考查了实数的运算：先算乘方或开方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了零指数幂与负整数指数幂．
【变式1】若a、b是实数，a＜b且|a﹣1|≥|b﹣1|，则等于（　　）
　 A． ﹣1 B． ﹣2a+b C． 0 D． ﹣6a+4b+1

【答案】A．∵a＜b且|a﹣1|≥|b﹣1|，∴a＜0一定成立，而b＜0或a+b=2，
∴①当a＜0，b＜0时，
原式=﹣5（1﹣a）﹣3a+2b﹣2（a+b﹣2）=﹣5+5a﹣3a+2b﹣2a﹣2b+4=﹣1．
②当a＜0，a+b=2时，
原式=﹣5（1﹣a）﹣3a+2b﹣2（2﹣2）=﹣5+5a﹣3a+2b=﹣5+2（a+b）=﹣5+4=﹣1，
综上，原式=﹣1．
【解析】由a＜b且|a﹣1|≥|b﹣1|，得a＜0，b＜0，或a+b=2，再对原式化简比较简单．本题考查了求一个数的平方根立方根运算，要熟练掌握实数的这些运算．

【变式2】里克特提出每两级地震所释放的能量相差巨大，每一级地震释放的能量都是次一级地震的倍．这意味着，里氏震级每高出0.1级，就会多释放出0.4125倍的能量（如7.8级比7.7级会多释放出0.4125倍的能量）．那么5月12日下午2时28分四川汶川地区发生的8.0级大地震与5月25日下午4时21分四川青川一带发生的6.4级余震相比，前次所释放的能量约是后次的（　　）
　 A． 22倍 B． 34倍 C． 40倍 D． 251倍

【答案】D．依题意得=≈251．
【解析】本题主要考查了实数的运算，要清楚。





四、课堂运用
【基础】
1.（2013?南充）0.49的算术平方根的相反数是（　　）
　 A． 0.7 B． ﹣0.7 C． ±0.7 D． 0


2.（2009?荆门）|﹣9|的平方根是（　　）
　 A． 81 B． ±3 C． 3 D． ﹣3


3.下列判断中，错误的是（　　）
　 A． ﹣1的平方根是±1 B． ﹣1的倒数是﹣1
　 C． ﹣1的绝对值是1 D． ﹣1的平方的相反数是﹣1


4.一个正方形的面积扩大为原来的n倍，则它的边长扩大为原来的（）
　 A． n倍 B． 2n倍 C． 倍 D． 倍


5.若，那么= ( )
　 A． 22.91 B． 72.46 C． 229.1 D． 724.6

6.-与之间的整数个数是（　　）
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4


7.把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为。

8. 若和互为相反数，求的值。



9.（2013·黔西南州）的平方根是．

10.（2013·重庆）计算：．


【巩固】
1.（2011?茂名）对于实数a、b，给出以下三个判断：①若|a|=|b|，则．②若|a|＜|b|，则a＜b．③若a=﹣b，则（﹣a）2=b2．其中正确的判断的个数是（　　）
　 A． 3 B． 2 C． 1 D． 0


2.一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（）
　 A． x+1 B． x2+1 C． +1 D．


3.观察各式：49=72，4489=672，444889=6672，
猜测：，的算术平方根是。

4.已知的整数部分为a，小数部分为b，代数式a2﹣a﹣b=．
5．若实数、满足，则以、的值为边长的等腰三角形的周长为。

【拔高】
1.m、n是正数x的两个平方根，且2011n+2010m=5，求m、n、x的值．




2.已知a、b是有理数，且（+）a+（﹣）b﹣﹣=0，求a、b的值．



3.设x为实数，[x]表示不大于x的最大整数，求满足[﹣77.66x]=[﹣77.66]x+1的整数x的值．




课程小结
实数的概念及分类
平方根与算术平方根
非负数的性质：平方根
立方根
估算无理数的大小及求无理数的整数部分与小数部分
实数在数轴上的表示
比较两个实数的大小
实数的混合运算

课后作业
【基础】
1.（2013·广西钦州）在下列实数中，无理数是（　　）
　 A． 0 B． C． D． 6



2.（2013·珠海）实数4的算术平方根是（　　）
　 A． ﹣2 B． 2 C． ±2 D． ±4




3.（2013·湖北宜昌）实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　）

　 A． a+b=0 B． b＜a C． ab＞0 D． |b|＜|a|


4.（2013·贵州黔东南州）下列运算正确的是（　　）
　 A． （a2）3=a6 B． a2+a=a5 C． D．


5.下列命题中，假命题是（　　）
　 A． 9的算术平方根是3 B． 的平方根是±2
　 C． 27的立方根是±3 D． 立方根等于﹣1的实数是﹣1



6.若= 2.449，= 7.746，=244.9，= 0.7746，则x、y的值分别为( )
　 A． x=60000，y=0.6 B． x=600，y=0.6 C． x=6000，y=0.06 D． x=60000，y=0.06


7.（2013?南京）设边长为3的正方形的对角线长为．下列关于的四种说法：①是无理数；②可以用数轴上的一个点来表示；③3＜＜4；④是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（　　）
　 A． ①④ B． ②③ C． ①②④ D． ①③④




8．下列说法正确的是（　　）
　 A． 立方根是它本身的数只能是0和1
　 B． 立方根与平方根相等的数只能是0和1
　 C． 算术平方根是它本身的数只能是0和1
　 D． 平方根是它本身的数只能是0和1



9.已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根．


10.计算：．

【巩固】
1.（2013·广东）若实数a、b满足，则=．

2.某数的平方根为a+3和3a+5，求这个数的立方根．


3.已知x为整数，且x＜+2＜x+1，求x的值．



4.已知（x﹣1）的算术平方根是3，（x﹣2y+1）的立方根是3，求x2﹣y2的平方根．


5.（1）填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
1

（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．（填空））
被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向　　移动　　位；
（3）根据你发现的规律填空：
①已知=1.442，则=　　；
②已知=0.07696，则 =　　．


【拔高】
1.已知x=表示x是a+b+2的平方根，y=表示y是a+2b的立方根，求a+3b与4x+y的和的平方根．


2. （2013?雅安）若(a－1)2 +＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_________．


3.阅读材料：
学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：∵＜＜，
设=3+k（0＜k＜1）．∴．
∴13=9+6k+k2．∴13≈9+6k．解得k ≈。
∴≈3+≈3.67．

问题：
（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、m，若a＜＜a+1，且m=a2+b，则≈　　（用含a、b的代数式表示）；
（3）请用（2）中的结论估算的近似值．










错题总结
错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业


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