北师大版八年级上册数学第五讲一次函数（学案）

第05讲 一次函数
适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 1掌握一次函数的概念及图像 2.掌握一次函数的性质，并能求解有关实际问题 3.会用待定系数法求一次函数的解析式
学习目标 通过对函数关系的分析，能描绘变量与自变量的函数图象 2.将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数模型）3.理解一次函数解析式中k、b的几何含义 4.在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心 5.体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣.
学习重点 理解一次函数的定义，能用待定系数法求一次函数的解析式 理解一次函数的图象和性质 能运用一次函数进行几何变换的探究
学习难点 利用图象探索方案的决策过程中，体会“数形结合”思想在数学应用中的重要地位； 经历一般规律的探索过程，解决与一次函数相关的动点问题、与三角形的综合问题
学习过程
复习预习
上节课我们复习了四边形的内容，接下来请同学们回忆一下
平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和判定，这些都是应考的重要前提。
中位线定理
梯形辅助线添加方法
本节课我们继续来复习一次函数知识点.
二、知识讲解
1） 、一次函数的相关定义
1．一次函数的定义：函数y= (k、b为常数，k_____，自变量x的次数是 次)叫做一次函数.
2．正比例函数的定义：当b_____时，函数y= (k______，比例系数____)叫做正比例函数.
3．一次函数与正比例函数的异同：
（1）一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜ 0时，向下平移）.
（2）正比例函数是特殊的一次函数，当一次函数中y=kx+b的b=0时，一次函数就变成正比例函数y=kx.
2） 、一次函数的图象
1．正比例函数y=k x (k≠0)的图象是过原点和（1，___）两点的_____________.
2．一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是过点(0，_____)、(______，0)的__________.
3．一次函数y=kx+b的k、b的值对一次函数图象的影响.
Y y y y

o x o x o x o x



k﹥0，b﹥0， y＝kx +b的图象在一、二、三象限；
k﹥0， b﹤0， y＝kx +b的图象在一、三、四象限；
k﹤0，b﹥0， y＝kx +b的 图象在一、二、四象限；
k﹤0， b﹤0， y＝kx +b的图象在二、三、四象限.
、一次函数的性质
1．正比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过______象限，y随x的增大而______；当k<0时，图象过_______象限；y随x的增大而______.
2．一次函数y=kx＋b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ，可由它平移而得，当k>0时，y随x的增大而______；当k<0时，y随x的增大而______.
3．三个“一次”的关系：
⑴在一次函数y=kx＋b中，令y=0，得一元一次方程kx＋b=0，它的根就是一次函数y=kx＋b的图象与x轴交点的 .
⑵一元一次不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集可以看作一次函数y=kx＋b当函数值大于或小于0时相应的自变量x值的 .
⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的______________的解.
4） 、一次函数图象的应用
若直线与直线 关于
（1）x轴对称，则直线l的解析式为
（2）y轴对称，则直线l的解析式为
（3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为
（4）直线 对称，则直线l的解析式为
（5）原点对称，则直线l的解析式为
5） 、直线与直线的位置关系．
①k1≠k2y1与y2相交；
②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；
③y1与y2平行； ④y1与y2重合.
考点/易错点1
忽视中的条件
考点/易错点2
忽视正比例函数是特殊的一次函数
考点/易错点3
忽视一次函数图像的性质而造成错误
考点/易错点4
忽视自变量的取值范围
考点/易错点5
对自变量或函数代表的实际意义理解不准确
三、例题精析
【例题1】
【题干】已知直线（≠0）与轴的交点在轴的正半轴上，下列结论：①＞0，＞0；②＞0，＜0；③＜0，＞0；④＜0，＜0，其中正确结论的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B
解：根据题意知，直线（≠0）的图像可以如图1，这时＞0，＜0；也可以如图2，这时＜0，＞0。故选B。

【解析】本题关键是掌握一次函数中的系数、与图像性质之间的关系。
【例题2】
【题干】已知直线与轴、轴分别交于点A、B，另一直线（≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分。
（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求经过C的直线解析式；
（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5，求经过C的直线解析式。

【答案】（1）如上图，过B（0，2），C（1，0）的直线解析式为；
（2）设与OB交于M（0，），分△AOB面积为1∶5得：
，则
解得，所以M（0，）
经过点M作直线MN∥OA交AB于N（，），则，因N（，）在直线上，所以，故N（，）
∴直线CM：，直线CN：

【解析】本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。
【例题3】
【题干】某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2小时血液中含药量最高，达每毫升6微克，（1微克＝10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量（微克）随时间（小时）的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后：
（1）分别求出≤2和≥2时与之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的时间是多长？

【答案】（1）设≤2时，，把坐标（2，6）代入得：；设≥2时，，把坐标（2，6），（10，3）代入得：。
（2）把代入与中得：，，则（小时），因此这个有效时间为6小时。
【解析】本题是一道一次函数与医药学综合的题目，解题的关键是要将函数图像抽象成解析式，然后结合函数的知识求解。本题趣味性强，能从中了解医药的一些知识。
【例题4】
【题干】如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　）.




A B C D
【答案】A
解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反应到图象上应选A．
【解析】主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系．
【例题5】
【题干】为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（千米）与时间x（天）的函数关系的大致图象是（　　）.




A B C D
【答案】D
解：∵y随x的增大而减小，∴选项A错误；
∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，∴选项B错误；
∵施工队随后加快了施工进度，∴y随x的增大而减小得比开始的快，∴选项C错误；
选项D正确；
【解析】根据y随x的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项B错误；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大而减小得比开始的快，即可判断选项C、D的正误．
【例题6】
【题干】 在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的
行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．
有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小
时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了
20千米．其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】（A）C
解：根据图象得：起跑后1小时内，甲在乙的前面；故①正确；在跑了1小时时，甲追上乙，此时都跑了10千米，故②正确；乙比甲先到达终点，故③错误；设乙跑的直线解析式为：y=kx，将点（1，10）代入得：k=10，∴解析式为：y=10x，∴当x=2时，y=20，
∴两人都跑了20千米，故④正确．所以①②④三项正确．故选C．
【解析】本题考查了一次函数图像的识别．解题的关键是看清楚x轴、y轴代表的含义．

【例题7】
【题干】已知，则函数是什么函数？当时，函数值是多少？
【答案】解：∵，∴，．
∴，即，
∴函数是一次函数，
当时，.
【解析】解题关键是掌握一次函数的定义条件.一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1.
【例题8】
【题干】已知：是一次函数，求m的值．
【答案】解；由一次函数的定义可知：m2-8=1，解得m=±3，
又m-3≠0，∴m≠3，故m=-3．
【解析】此题考查了一次函数的定义、解析式，解题中要注意未知数的最高次数是1，并且次数不等于0.
四、课堂运用
【基础】
1.如图，直线与轴交于点，
与轴交于点.
（1） 求，两点的坐标；
（2） 过点作直线与轴交于点，
且使，求△的面积．










2.（1）写出点A（﹣2，4）绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是　 　；
（2）写出直线y=﹣2x绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式是 ；
（3）写出直线y=﹣2x﹣2绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式 ．









3.如图，已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．设以A、P、R为顶点的三角形的面积为S，求时间t和面积的函数关系式.









4. 如图，在平面直角坐标系中，?OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为（6，4）．若直线l经过点（1，0），且将?OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是（　　）

　 A． y=x+1 B． C． y=3x﹣3 D． y=x﹣1
5. 把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　）
　 A． 1＜m＜7 B． 3＜m＜4 C． m＞1 D． m＜4


【巩固】
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（　　）

　 A． 24 B． 48 C． 96 D． 192
2. 如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（　　）

　 A． （0，0） B． C． D．




3.如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，点B的坐标为（﹣1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O，则过A1，B两点的直线解析式为　　．

4.如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的函数表达式分别为和．AB边与y轴交于点D．
（1）求A点的坐标；
（2）求正方形OABC的边长；
（3）求直线OC的函数表达式；
（4）求△AOD的面积．









【拔高】
1.如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：相交于点P（﹣1，0）．
（1）求直线l1、l2的解析式；
（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，…
①求点B1，B2，A1，A2的坐标；
②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标；并求当动点C到达An处时，运动的总路径的长？
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2.在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
（1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：
P从点O出发平移次数 可能到达的点的坐标
1次 （0，2），（1，0）
2次
3次
（2）观察发现：
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数
　 的图象上；平移2次后在函数　 　的图象上…由此我们知道，平移n次后在函数　 　的图象上．（请填写相应的解析式）
（3）探索运用：
点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，
且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．





3. 在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终达到C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示．若两船的距离为10km时，甲行驶了　　小时．


课程小结
一次函数的定义
一次函数的图像
①画图
②待定系数法求解析式
3.一次函数的性质
4．一次函数的应用
课后作业
【基础】
1. 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A（1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为（　　）

　 A． 3＜b＜6 B． 2＜b＜6 C． 3≤b≤6 D． 2＜b＜5
2. 已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x+1关于y轴对称，则这个一次函数的图象与x轴交点的坐标为　 　．
【巩固】
1.把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　）
　 A． 1＜m＜7 B． 3＜m＜4 C． m＞1 D． m＜4
2. 将直线y=2x﹣1向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的直线为（　　）
　 A． y=2x+3 B． y=2x+1 C． y=2x﹣1 D． y=2x﹣3

3. 如图，把直线y=﹣2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点（m，n），且2m+n=6，则直线AB的解析式是（　　）

　 A． y=﹣2x﹣3 B． y=﹣2x﹣6 C． y=﹣2x+3 D． y=﹣2x+6
4. 某二元方程的解是（m为实数），若把x看作平面直角坐标系中点的横坐标，y看作平面直角坐标系中点的纵坐标，下面说法正确的是（　　）
　 A． 点（x，y）一定不在第一象限 B． 点（x，y）一定不在第二象限
　 C． y随x的增大而增大 D． 点（x，y）一定不在第三象限
5. 在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象过点B（﹣1，），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA，
（1）求a+b的值．
（2）求k的值．
（3）D为PC上一点，DF⊥x轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标．









【拔高】
1.如图，一次函数的图象上有两点A、B，A点的横坐标为2，B点的横坐标为a（0＜a＜4且a≠2），过点A、B分别作x的垂线，垂足为C、D，△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2，则S1、S2的大小关系是（　　）

　 A． S1＞S2 B． S1=S2 C． S1＜S2 D． 无法确定

错题总结

错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业











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