北师大版八年级下册数学第十一讲等腰三角形初步（学案）

第11讲等腰三角形初步
适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定 等边三角形的性质 等边三角形的判定 线段垂直平分线的判定与性质 等腰三角形的判定与性质 等边三角形的判定与性质 含30度角的直角三角形的性质
学习目标 了解等腰三角形、等边三角形的概念；理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定 熟悉等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质 能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题
学习重点 “三线合一”性质的转化。 利用等腰三角形轴对称的特性解题。
学习难点 方程思想和分类讨论思想在等腰三角形中的运用。

学习过程
一、复习预习
你一定见过美丽的雪花，你仔细观察过雪花的形状吗？你知道雪花的形状可以用我们即将学习的等边三角形进行模拟么？
瑞典人科赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线，这种曲线的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边。分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边。再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段。反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。这曲线叫做科赫曲线或雪花曲线。

在自然真实的景物中，蕴藏着丰富的数学知识。让我们一起研究等腰三角形、等边三角形的性质，进一步探索数学的美。
二、知识讲解
1．等腰三角形
（1）性质：①两底角相等。②顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（2）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）；②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2．等边三角形
（1）性质：①等边三角形各边都相等；②等边三角形各角都相等，并且都等于60°。
（2）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形。②三个角都相等的三角形是等边三角形。③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
3．特殊直角三角形
（1）含30°的直角三角形中，30°角所对的边等于斜边一半，且三边长度比为1：：2；
（2）等腰直角三角形各边长比为1：1：。
考点/易错点1
等腰三角形的边分腰和底边；角分顶角和底角；因此在已知等腰三角形的边或角在未指明腰和底边或顶角和底角的情况下，求其余未知量时，均须分两种情况进行讨论。
（1）已知等腰三角形的两边，在未指明底边和腰时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必检验每种情况是否满足三角形的三边关系。
（2）已知等腰三角形的一内角,在未指明顶角和底角时，求其余两角；须分两种情况进行讨论，最后务必检验是否满足三角形的内角和定理。
（3）已知等腰三角形的一个外角（未指明顶角还是底角的情况下），应分两种情况进行讨论。
（4）已知等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角，求其内角时；应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。
（5）已知等腰三角形一腰上垂直平分线与另一腰的夹角，求底角时，应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。
（6）以已知线段为腰作等腰三角形，常要分以该腰不同顶点为顶角顶点两种情况进行讨论。
（7）在等腰三角形中，若三边的长度中含有字母要分三种情况讨论。
三、例题精析
【例题1】
【题干】（2013?淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（　　）
　 A． 5 B． 7 C． 5或7 D． 6

【答案】B．
【解析】①当3为底时，其它两边都为1，∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去，
当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

【变式1】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则等腰三角形的顶角是（　　）
　 A． 30° B． 60° C． 150° D． 30°或150°

【答案】D．
【解析】①当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为30°，②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，∴三角形的顶角为150°。
【变式2】若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（　　）
　 A． 32.5° B． 57.5° C． 65°或57.5° D． 32.5°或57.5°

【答案】D．
【解析】当高在三角形内部时底角是57.5°，当高在三角形外部时底角是32.5度。

【例题2】
【题干】如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
【答案】△AFC是等腰三角形．理由如下：在△BAD与△BCE中，
∵∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE，∴△BAD≌△BCE（AAS），
∴BA=BC，∠BAD=∠BCE，∴∠BAC=∠BCA，∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA．∴AF=CF，∴△AFC是等腰三角形。
【解析】要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，△BDA和△BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么△AFC是等腰三角形．





【变式1】已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．

【答案】证明：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵AO平分∠BAC，∴OE=OF．
∵∠1=∠2，∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．
【解析】要证明三角形是等腰三角形，只需证明∠ABC=∠ACB即可，只要∠5=∠6，只要三角形全等即可，作出辅助线可证明三角形全等，于是答案可得．

【变式2】（2013?荆门模拟）如图，在四边形ABCD中，AE∥DC，CA是∠DCE的平分线，∠CEB=∠AEB，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
【答案】△ABC为等腰三角形．理由如下：∵AE∥DC，∴∠ACD=∠CAE，
∵CA是∠DCE的平分线，∴∠ACE=∠ACD，∴∠ACE=∠CAE，∴EA=EC，
在△BAE和△BEC中，，∴△BAE≌△BEC（SAS），∴BA=BC，
∴△ABC为等腰三角形．
【解析】由AE∥DC得到∠ACD=∠CAE，由CA是∠DCE的平分线得到∠ACE=∠ACD，则根据等量代换得∠ACE=∠CAE，根据等腰三角形的判定得到EA=EC，然后根据“SAS”可判断△BAE≌△BEC，所以BA=BC，由此可判断△ABC为等腰三角形．


【例题3】
【题干】△NKM与△ABC是两块完全相同的45°的三角尺，将△NKM的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，且MK经过点C，设AC=a．则两个三角尺的重叠部分△ACM的周长是　　．
【答案】∵∠CAM=45°，∠AMC=90°，∴△ACM是等腰直角三角形，∵AC=a，∴AM=CM=AC=a，∴重叠部分△ACM周长=a+a+a=（1+）a．
【解析】考查了等腰直角三角形，主要用到等腰直角三角形直角边等于斜边的倍，判断出阴影部分三角形是等腰直角三角形是解题的关键．

【变式1】如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BAD的度数．

【答案】（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∴△ACB≌△ACD．∴AB=AD．∴△ABD是等腰三角形．（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．∴∠B=∠D=45°．∴∠BAD=90°．
【解析】（1）根据已知利用SAS判定△ACB≌△ACD，从而得到AB=AD，即△ABD是等腰三角形；（2）由已知可得到△ACB、△ACD都是等腰直角三角形，即∠B=∠D=45°，从而求得∠BAD=90°．

【变式2】两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME，MC．判断△EMC的形状，说明理由．

【答案】△EMC是等腰直角三角形．理由如下：连接MA．
∵∠EAD=30°，∠BAC=60°，∴∠DAB=90°，∵△EDA≌△CAB，∴DA=AB，ED=AC，
∴△DAB是等腰直角三角形．又∵M为BD的中点，∴∠MDA=∠MBA=45°，AM⊥BD，
AM=BD=MD，∴∠EDM=∠MAC=105°，在△MDE和△CAM中，ED=AC，∠MDE=∠CAM，MD=AM，∴△MDE≌△MAC．∴∠DME=∠AMC，ME=MC，又∵∠DMA=90°，
∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°．∴△MEC是等腰直角三角形．
【解析】欲判断△EMC的形状，需知道其三边关系．根据题意需证EM=CM，由此证明△EMD≌△CMA即可．依据等腰直角三角形性质易证．

【例题4】
【题干】（2013?槐荫区二模）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论：①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO，正确的是　　．
【答案】①②
【解析】∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）=120°﹣60°=60°，∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，∴说∠BDO=∠CEO错误，∴③错误；

【变式1】如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是　　．

【答案】30．
【解析】如图，设第二小的等边三角形的边长为x，而中间的小等边三角形的边长是1，所以其它等边三角形的边长分别x+1，x+2，x+3，由图形得，x+3=2x，解得x=3，
所以这个六边形的周长=2x+2（x+1）+2（x+2）+x+3=7x+9=7×3+9=30．

【变式2】如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（　　）

　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5


【答案】C．
【解析】在等边△ABC中，∠A=∠C=60°，∵旋转角是60°，∴∠AOP+∠COD=120°，
在△AOP中，∠AOP+∠APO=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°，∴∠APO=∠COD，
在△AOP和△CDO中，，∴△AOP≌△CDO（AAS），∴AP=CO，
∵CO=AC﹣AO=6﹣2=4，∴AP=4．

【例题5】
【题干】如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE=60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是　　三角形．

【答案】等边．
【解析】过D作AC的平行线交AB于P，∴△BDP为等边三角形，BD=BP，
∴AP=CD，∵∠BPD为△ADP的外角，∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°。
而∠ADP+∠EDC=180°﹣∠BDP﹣∠ADE=60°，∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°
∴∠DAP=∠EDC，在△ADP和△DEC中，，∴△ADP≌△DEC（ASA），
∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形．

【变式1】a，b，c为△ABC三边，且（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）=0，则△ABC一定是　　三角形．
【答案】等腰三角形．
【解析】∵（a﹣b）（a﹣c）（b﹣c）=0，∴a﹣b=0，或a﹣c=0，或b﹣c=0．
即a=b或a=c或b=c．则△ABC一定是等腰三角形．

【变式2】一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB=1，BC=3，CD=3，DE=2，那么这个六边形ABCDEF的周长是（　　）

　 A． 12 B． 13 C． 14 D． 15

【答案】D．
【解析】如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．∴GC=BC=3，DH=DE=2．
∴GH=3+3+2=8，FA=PA=PG﹣AB﹣BG=8﹣1﹣3=4，EF=PH﹣PF﹣EH=8﹣4﹣2=2．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．


【例题6】
【题干】等边三角形ABC的边长是6cm，BD是中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则DE的长是　　cm．
【答案】．
【解析】含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的一半
∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°．
又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠CED．∴DB=DE．∵等边三角形ABC的边长是6cm，∴DE=BD=．
【变式1】△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（　　）
　 A． B．
C． 20+10 D． 20﹣10

【答案】D．
【解析】∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．

【变式2】如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2011次，依次得到点P1、P2、P3、…、P2011，则点P2011的坐标是　　．

【答案】（4021，）．
【解析】易得P1（1，），而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，），即Pn（2n﹣1，）；当n=2011时，P2011（4021，），
四、课堂运用
【基础】
1.已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
　 A． 40° B． 100° C． 40°或100° D． 70°或50°


2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC与D，交AB于E，下列论述错误的是（　　）
　 A． BD平分∠ABC
B． D是AC的中点
C． AD=BD=BC
D． △BDC的周长等于AB+BC


3.已知实数x，y满足，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长（　　）
　 A． 20或16 B． 20 C． 16 D． 以上答案均不对


4.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，则下列结论正确的是（　　）
　 A． 点F在BC边的垂直平分线上
　 B． 点F在∠BAC的平分线上
C． △BCF是等腰三角形
D． △BCF是直角三角形





5.如图，四边形ABCD中，BD＞AC，∠ACB=∠DBC，∠BAC+∠BDC=180°，E为BD上一点，BE=AC，判断△EDC的形状，并证明你的结论．


6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，沿DE所在直线折叠，使点B恰好与点A重合，若CD=2，则AB的值为（　　）
　 A． 2 B． 4 C． 4 D． 8


7.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（　　）
　 A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 等腰三角形 D． 等边三角形




8.如图所示，∠BAC=30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC，且交AB于点F．
（1）求证：△AFD为等腰三角形；
（2）若DF=10cm，求DE的长．



9.如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若AB=8cm，则阴影部分的面积是　　cm2．


10.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接CD．请找出图②中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得含有未标识的字母）．


【巩固】
1．如图，设在一个宽度为w的小巷内，一个梯子长为a，梯子的脚位于A点，将梯子的顶端放在一堵墙上Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45°；将该梯子的顶端放在另一堵墙上R点时，R点离开地面的高度为h，且此时梯子倾斜角为75°，则小巷宽度w=（　　）
　 A． h B． k C． a D．


2．如图，轴对称图形ABCDEFG的面积为56，∠A=90°，则点D的坐标是（　　）
　 A． （0，6） B． （0，6.5）
C． （0，7） D． （0，7.5）


3.已知Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边的中点，经过点C引一条直线l（不与AC、BC重合并且不经过点D）操作：经过点A作AE⊥l，经过点B作BF⊥l，连接DE、DF，猜想△DEF的形状并证明．



4.如图，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动；动点Q从点B出发，沿BC以1cm/s的速度向终点C匀速运动；两点同时出发多少秒时，△PBQ是等腰三角形？


5.如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．
（1）求证：PD=DQ；
（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．


【拔高】
1.如图，正三角形ABC的三边表示三面镜子，BP=AB=1，一束光线从点P发射至BC上R点，且∠BPR=60°．光线依次经BC反射，AC反射，AB反射……一直继续下去．当光线第一次回到点P时，这束光线所经过的路线的总长为（　　）
　 A． 6 B． 9 C． D． 27


2.在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，则∠CAD的度数为（　　）
　 A． 60° B． 66°
C． 72° D． 80°


课程小结
等腰三角形的性质与判定
等腰直角三角形的性质
等边三角形的性质与判定
含30°的直角三角形的性质
课后作业
【基础】
1.（2013?毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（　　）
　 A． 16 B． 20或16 C． 20 D． 12


2.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（　　）
　 A． 55°，55° B． 70°，40°
　 C． 55°，55°或70°，40° D． 以上都不对


3.已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是（　　）
　 A． 0＜x＜ B． x≥ C． x＞ D． 0＜x＜10


4.如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（　　）
　 A． AB和BC焊接点B
B． AB和AC焊接点A
C． AB和AD焊接点A
D． AD和BC焊接点D


5.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=2，则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于　　．


6.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，则∠EDC的度数为　　．


7.如图，△ABC、△ECD都是等腰直角三角形，且C在AD上，AE的延长线与BD交于P．
求证：△ACE≌△BCD．


8.（2012?房山区一模）如图，点F在线段AB上，AD∥BC，AC交DF于点E，∠BAC=∠ADF，AE=BC．求证：△ACD是等腰三角形．


9.如图，AB=AC，∠ABD=60°，∠BDC=30°，若AB=BD+CD，则∠ADB=　　．



【巩固】
1.如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE=30°，DE交线段AC于E．
（1）当DE∥BC时，△ACD的形状是　　三角形（填锐角、直角或钝角）；当∠BCD=15°时，∠EDA=　　；
（2）请添加一个条件，使得△ADE≌△BCD，并说明理由；
（3）在点D运动的过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．




2．（2013?贵港）如图，△ABC和△FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE．若AB=6，PB=1，则QE=　　．


3.画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，①线段OE与CD之间有怎样的数量关系：　　．
②求证：△CDF为等腰直角三角形．

4.在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
（1）求证：BM=MN=NC．
（2）求MN的长度．




5.如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AE是∠BAC的角平分线．CD⊥AE，与AE的延长线交于D点，与AB的延长线交于F点．求证：CD=AE．



【拔高】
1.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是线段BC上的一个动点（不与点B重合）．DE⊥BE于E，∠EBA=∠ACB，DE与AB相交于点F．
（1）当点D与点C重合时（如图1），探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当点D与点C不重合时（如图2），试判断（1）中的猜想是否仍然成立，请说明理由．


错题总结
错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业



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