北师大版九年级上册数学第一讲特殊平行四边形（学案）

特殊的平四边形
适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 1四边形以及特殊四边形的概念、性质、判定 三角形、梯形中位线定理及其运用 梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，掌握等腰梯形的性质和判定，运用相关知识进行证明和计算
学习目标 掌握平行四边形及几种特殊四边形的性质与判定 灵活运用有关性质及判定解决问题 经历四边形基本性质，使学生学会“合乎逻辑地思考”，建立知识体系，获得一定的技能基础 4.让学生理解平面几何观念的基本途径是多种多样的，感知和体验几何图形的现实意义，体验二维空间相互转换关系
学习重点 理解和掌握几种常见特殊四边形的性质、判定
学习难点 发展合情推理和初步的演绎推理能力
学习过程
复习预习
上节课我们复习了勾股定理的内容，接下来请同学们回忆一下
1．勾股定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即．
勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：


（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：
　　
（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形。


3. 勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
4. 常用勾股数：3、4、5； 5、12、13； 6、8、10；
7、24、25； 8、15、17； 9、40、41。（牢记）
勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．

知识讲解
1、平行四边形性质及判定，列表归纳
平行四边形 矩形 菱形 正方形
性 质 边 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等
角 对角相等 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角
对角线 互相平分 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定 1.两组对边分别平行； 2.两组对边分别相等； 3.一组对边平行且相等; 4.两组对角分别相等； 5.两条对角线互相平分. 1有三个角是直角的四边形; 2有一个角是直角的平行四边形; 3对角线相等的平行四边形. 1.四边相等的四边形； 2.对角线互相垂直的平行四边形； 3.有一组邻边相等的平行四边形。 4.每条对角线平分一组对角的四边形。 1.有一个角是直角的菱形； 2.对角线相等的菱形； 3有一组邻边相等的矩形； 4.对角线互相垂直的矩形；
对 称性 只是中心对称图形 既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积 S=（a为边，h为a上的高） S= S=(对角线积) S=

2.直角梯形定义：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。
3.中位线
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（有三条）
三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。（有且只有一条）
梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
4.平行线之间的距离及特征
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等。
平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等。
5.梯形辅助线的添法口诀
　梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。　上述方法不奏效，过腰中点全等造。　　
作法 图形
平移腰，转化为三角形、平行四边形
平移对角线。转化为三角形、平行四边形
延长两腰，转化为三角形
作高，转化为直角三角形和矩形
中位线与腰中点连线

6.图解知识点联系


考点/易错点1
平行四边形的性质和判定，恰当地应用.
考点/易错点2
平行四边形的概念和面积的求法, 注意与三角形面积求法的区分.
考点/易错点3
运用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分.
考点/易错点4
平行四边形中运用全等三角形和相似三角形的知识解题，突出转化思想的渗透.
考点/易错点5
矩形、菱形、正方形的概念、性质、判定及它们之间的关系，主要考查边长、对角线长、面积等的计算
考点/易错点6
四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等动手操作性问题.
三、例题精析
【例题1】
【题干】下列说法中，正确的是（　　）
A.同位角相等 B.对角线相等的四边形是平行四边形
C.四条边相等的四边形是菱形 D.矩形的对角线一定互相垂直
【答案】C
解：A、如果两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；
C、四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
【解析】根据平行线的性质判断A即可；根据平行四边形的判定判断B即可；根据菱形的判定判断C即可；根据矩形的性质判断D即可．
【例题2】
【题干】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD平分AC，若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为 .（结果保留根号）

【答案】
【解析】BD平分AC，所以OA=OC=3，
因为∠BOC=120°，所以∠DOC=∠A0B=60°，
过C作CH⊥BD于H，过A作AG⊥BD于G，在△CHO中，∠C0H=60°，OC=3，
所以CH=，
同理：AG=，
所以四边形ABCD的面积=。
【例题3】
【题干】如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC是，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则等于 （ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】矩形的性质应用较为常见的就是转化成直角三角形来解决问题，菱形的性质应用较常见的是四条边相等或者对角线的性质应用。此题中求的是线段的比值，所以在解决过程中取特殊值法较为简单。设AB=1，则AD=2，因为四边形MBND是菱形，所以MB=MD，又因为矩形ABCD，所以A=90°，设AM=x,则MB=2-x，由勾股定理得：AB2+AM2=MB2，所以x2+12=(2-x)2解得：，所以MD=，
【例题4】
【题干】如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（　　）

　 A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 梯形
【答案】A
解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC=BC，点D是边AB的中点，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF矩形．
【解析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
【例题5】
【题干】如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，
∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是 （ ）
A.12 B. 24 C. 12 D. 16

【答案】D
【解析】由两直线平行内错角相等，知∠DEF＝∠EFB=60°，又∠AEF=∠EF＝120°，所以，∠E=60°，E＝AE＝2，求得，所以，AB＝2，矩形ABCD的面积为S＝2×8＝16，选D。
【例题6】
【题干】如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（　　）

　 A． 梯形 B． 矩形 C． 菱形 D． 正方形

【答案】C
四边形AECF是菱形，
∵在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∴在△AFO和△CEO中
，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【解析】首先利用平行四边形的性质得出AO=CO，∠AFO=∠CEO，进而得出△AFO≌△CEO，再利用平行四边形和菱形的判定得出即可．



【例题7】
【题干】如图菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　）

　 A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=4，
∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，
【解析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．　
【例题8】
【题干】如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（　　）

　 A． 48 B． 60 C． 76 D． 80

【答案】C
解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE
=100﹣×6×8
=76．
【解析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，
用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．
【例题9】
【题干】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（　　）个．

　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，①正确．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°②正确，
∵BC=CD，
∴BC﹣BE=CD﹣DF，
即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．③正确．
设EC=x，由勾股定理，得
EF=x，CG=x，AG=x，
∴AC=，
∴AB=，
∴BE=﹣x=，
∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，
∵S△CEF=，
S△ABE==，
∴2S△ABE==S△CEF，⑤正确．
综上所述，正确的有4个，故选C．

【解析】通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，由勾股定理就可以表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论.
【例题10】
【题干】如图小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" 的度数是（ ）
A．60° B．55°
C．50° D．45°

【答案】A
【解析】本题考查等腰梯形的性质及镶嵌知识.以三个等腰梯形形成镶嵌的某个顶点处分析，三个相等的底角和为360度，所以每个上底角等于120度，下底角为60度.
【例题11】
【题干】已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（ ）
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm



【答案】C
【解析】本题考查菱形的有关性质及相似三角形的判定及应用.解题关键：线段OE的一个端点O为对角线的中点，要求OE长，只需证明OE是中位线.菱形ABCD中，AD=CD=6，因为OE∥DC，所以△BEO∽△BCD，所以BO︰BD=OE︰CD，又因为O是BD中点，所以 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" 。
【例题12】
【题干】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交于点P。已知A(2, 3)，
B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为（ ， ）。

【答案】 (3, )
【解析】如图，由对称性可知P的横坐标为3，
，即，所以，PE＝，＋1＝
故P的坐标为（3，）。

四、课堂运用
【基础】
1.矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
　A．两组对边分别平行 B．对角线相等
　C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　）

　 A． S1＞S2 B． S1=S2 C． S1＜S2 D． 3S1=2S2
3.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（　　）

　 A． 24 B． 16 C． 4 D． 2
4. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）

　 A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°


5. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）

　 A．16 B．17 C．18 D．19

【巩固】
1.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（　　）



　 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2

2.已知：线段AB，BC，∠ABC = 90°. 求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对








3. 如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（　　）

　 A． 甲正确，乙错误 B． 乙正确，甲错误 C． 甲、乙均正确 D． 甲、乙均错误

4. 如图，四边形ABCD、AEFG均为正方形，其中E在BC上，且B、E两点不重合，并连接BG．根据图中标示的角判断下列∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系何者正确？（　　）

　 A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4





如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（　　）
A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6


【拔高】
1.如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则=　 　用含k的代数式表示）．

2.已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

课程小结
准确掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和判定，这些都是应考的重要前提。
中位线定理
梯形辅助线添加方法
用转化思想求解数形结合题、方案设计题，以及一些综合题。


课后作业
【基础】
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长=　 　cm．









2. 如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，则图中阴影部分的面积为 ．

【巩固】
将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，旋转角为 (0<<90)。若1=110，则= 。

如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）

3.如图，菱形ABCD中，AB＝4，,,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF的面积是 .

4. 如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm， A=120，则EF= cm。


若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是　 　．
【拔高】
1.如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P与正方形的边碰撞的次数为　　，小球P所经过的路程为　 　．







2. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　　．



3. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？



错题总结

错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业



B

C

D

A



M

N





x

y

A

B

C

D

P

O

A

B

C

D

B’

1

C’

D’









1