北师大版九年级上册数学第六讲一元二次方程与解法（一）（学案）

一元二次方程与解法（一）
适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 一元二次方程及根的概念 一元二次方程一般式及有关概念直接开平方法解一元二次方程配方法解一元二次方程
学习目标 了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）及根的概念 掌握用直接开平方法解形如x2=a (a≥0)的一元二次方程掌握配方法即通过变形运用开平方法降次解方程4.在学习与探究中使学生体会“化归”、“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法5.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情
学习重点 一元二次方程的概念及其一般形式，并运用于简单实际问题 使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解
学习难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 探究( x－m)2=a的解的情况,培养分类讨论的意识“直接开方法”化为“配方法”的转化方法与技巧
学习过程
一、复习预习
学生活动：列方程
问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．
问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．
整理得：_________．
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．
整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
二、知识讲解
1．一元二次方程的概念：
方程的两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
一元二次方程的四个特点：(1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程；（4）将方程化为一般形式：时，应满足（a≠0）.
一元二次方程的根：
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根．
3.直接开方法解一元二次方程： 适用于形式的一元二次方程的求解。这里的既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。换言之：经过变形可以转化为形式的一元二次方程都可以用直接开平方法求解。
4.配方法解一元二次方程：
配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的看做未知数，并用代替，则有。
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；
(2)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(3)变形为的形式，当 时，， ， 当时，方程没有实数根


考点/易错点1
在一元二次方程化成一般形式后，要注意二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
考点/易错点2
判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
考点/易错点 3
用直接开平方的方法时要记得取正、负.
考点/易错点4
用配方法解一元二次方程时，一定要使二次项系数为1后，再配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）。
三、例题精析
【例题1】
【题干】在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项。
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）、（2）、（3）都是一元二次方程。
（1）的其二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-1.
（2）的其二次项系数是1，一次项系数是-5，常数项是0.
（3）的其二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是-12.
【解析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数都是2的整式方程）去判断，在确定一元二次方程每一项时，一定要先把方程化为一般形式，再去判断。

【例题2】
【题干】已知关于的方程,当m为何值时方程为一元二次方程。
【答案】-2
【解析】因为方程为一元二次方程，所以，解得。而当时，二次项系数为0，所以m应取-2.
【例题3】
【题干】用直接开方法解方程
【答案】；
【解析】解：原方程可化为 解：
，或 ，或
∴ ∴
【例题4】
【题干】用配方法解方程
【答案】
【解析】解：
∴
∴ ，或
∴
【变式练习1】
【题干】配方法解方程
【答案】：
【解析】解：移项，得
方程两边都加上得

即，
两边开平方，得
，或
所以 ， ，
【变式练习2】
【题干】用配方法解一元二次方程：
【答案】解：配方，得 即

【解析】 二次项系数不为1时，用配方法解一元二次方程，先用提公因式的方法把二次项系数化为1，然后再用直接开平方法求解。
【例题5】
【题干】 把方程化为的形式
【答案】：
【解析】


【例题6】
【题干】求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【答案】证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
【解析】要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
【变式练习】
【题干】方程(m－1)xm2＋1＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值.
【答案】由题意可得，m2＋1＝2，且m－1≠0，∴m＝±1且m≠1，∴m的值是－1．
【解析】一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．方程经整理可转化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
【例题7】
【题干】你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0
【答案】 （1）移项得x2=64
根据平方根的意义，得：x=±8
即x1=8，x2=-8
（2）移项、整理，得x2=2
根据平方根的意义，得x=± HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn"
即x1=，x2=-
【解析】要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
【例题8】
【题干】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面积增长率．
【答案】解：设每年人均住房面积增长率为x,有题意得：
10（1+x）2=14.4
（1+x）2=1.44
直接开平方，得1+x=±1.2
即1+x=1.2，1+x=-1.2
所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%．
【解析】把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．这种思想称为“降次转化思想”． 由x2=p（p≥0），那么x=±,转化为应用直接开平方法解形如（m x+n）2=p（p≥0），那么m x+n=± HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn" ，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解.
【例题9】
【题干】某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
【答案】 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+ HYPERLINK "http://www.1230.org/" ）2=2.56，即（x+ HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn" ）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
【解析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
【例题10】
【题干】如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的部分作为耕地，要使得耕地的面积为504m2，道路的宽为多少？

【答案】
解：设道路的宽为x，则可列方程：（20-x）（32-2x）=504
整理，得：x2-36x+68=0,即(x-18)2=256，解得x-18=16或x-18= -16,
所以x1=34,x2=2，根据题意，x1=34不合题意舍去，所以道路的宽为2m
【解析】通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.
【例题11】
【题干】 （1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0
【答案】 （1）x2-2x=35
x2-2x+12=35+1
（x-1）2=36
x-1=±6
x-1=6，x-1=-6
x1=7， x2=-5
（2）x2-2x-=0
x2-2x=
x2-2x+12=+1
（x-1）2=
x-1=±
即x-1=，x-1=- HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn"
x1=1+，x2=1-
可以验证：x1=1+，x2=1-都是方程的根．
【解析】化成x2=p或（m x+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得
x=± HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn" 或m x+n=±（p≥0）．
四、课堂运用
【基础】
1.判断下列方程，是一元二次方程的有____________.
（1） （2） （3）
（4） （5）； （6）
2. 下列方程中不含一次项的是（ ）
A． B． C． D．
3. 方程的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.
4. 下列各数是方程解的是（ ）
　A、6 B、2 C、4 D、0

5.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.



6.将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
7.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
【巩固】
1. 若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？

2. 是关于x的一元二次方程，则m的值应为（ ）
A.＝2 B. C. D.无法确定
3. 若是关于的方程的根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
4. 若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2-1=0的一根是0，则a= .
5. 配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2= HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn"

【拔高】
1. 已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
2. 方程的解为( )
　　A、 B、 C、 D、
3. 用配方法证明的值恒小于0.
课程小结
一元二次方程的概念.判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
2.直接开方法：适用于x2=a (a≥0)形式的一元二次方程的求解。
这里的x既可以是字母，单项式，也可以是含有未知数的多项式。
3.配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）将方程化为一般形式；
（2）二次项系数化为1；
（3）常数项移到右边；
（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
（5）变形为的形式，如果q ≥ 0，方程的根是x=-p±；
如果q ＜ 0, 方程无实根．


课后作业
【基础】
1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B C D
2.解方程
3. 用配方法解一元二次方程：．
4.配方法解方程(1)x2=196； (2)4x2-3=0； (3)(x-2)2=5．

5.直接开方法解方程
⑴2y2=8 ⑵2(x-8)2=50 ⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0 　　

6.方程的解是（ ）
A．，　 B．，
C．， D．，
【巩固】
当m取何值时，方程是关于x的一元二次方程？



解方程（3x-4）2=（3-4x）2






【拔高】
已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为（　　）
　A.0 B.1 C.2 D.不确定

2.m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2009的值为 .










错题总结

错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业











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