北师大版九年级上册数学第七讲一元二次方程与解法（二）（学案）

一元二次方程与解法（二）
适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120分钟
知识点 公式法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数关系
学习目标 掌握公式法、因式分解法一元二次方程的方法熟练掌握一元二次方程的根与系数关系 体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法
学习重点 求根公式的推导，公式的正确使用 使学生能够熟练而准确的运用公式法，因式分解法求一元二次方程的解 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验
学习难点 公式法的准确运用 将整理成一般形式的方程左边因式分解 一元二次方程的根与系数关系
学习过程
一、复习预习
上节课我们学习了一元二次方程的定义及解法，接下来请同学们回忆一下：
一元二次方程： 只含有_____个未知数，未知数的最高次数是____，且二次项系数____，这样的方程叫一元二次方程；它的一般形式是_______________。
例如，（1） （2） （3）
2.一元二次方程的解法有_________法、_________法，
解方程 ．
解： 　，
，

∴， .
本节课还要学习的公式法，因式分解法。
知识讲解
1．公式法解一元二次方程：公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法.（推导过程教师板书）
的求根公式为
2.因式分解法解一元二次方程：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；
③令每个因式等于0，得到一元一次方程，解一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
3.一元二次方程根的判别式
根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“”来表示，即。
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根。
反之，
若方程有两个不相等的实数根，则；
若方程有两个相等的实数根，则；
若无实数根，则。
4.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
如果方程的两个实数根是，那么，。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
5. 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：
（1） （2）
（3）；
（4）││==
考点/易错点1
使用判别式之前一定要先把一元二次方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
考点/易错点2
根的判别式的使用条件是在一元二次方程中，而非别的方程中。因此，解题过程中要注意隐含条件。
考点/易错点3
对于一元二次方程而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。
考点/易错点4
根据一元二次方程的特点，如何灵活选用最合适的解方程的方法：首先考虑是否满足直接开平方法的条件，其次观察项数，考虑能否用因式分解法，用哪一种因式分解法，最后考虑公式法和配方法。
三、例题精析
【例题1】
【题干】利用公式法解方程
【答案】
【解析】解：∵
∴
∴
∴，
【变式练习】
【题干】用公式法解方程
【答案】 解：∵ ，
∴
代入求根公式，得

【例题2】
【题干】因式分解法解方程
【答案】
【解析】解：原方程可化为

∴ ，或
∴
【变式练习】
【题干】解方程
【答案】
【解析】解：原方程可化为

∴ ，或
∴

【例题3】
【题干】解一元二次方程：
【答案】解：设
原方程化为：，
解得：
即
所以
【解析】换元法解一元二次方程的能力。观察方程由方程特点设，然后整理原方程求解。换元法解方程可将方程化繁为简，化难为易，是解方程的常用方法之一。换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的方程的特点.
【例题4】
【题干】下列四个结论中，正确的是（ ）
A．方程有两个不相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程有两个不相等的实数根
D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】此题属于不解一元二次方程，判断（证明）根的情况类型的题目。
把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：
A、整理得：，△＝0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；
B、整理得：，△＜0，原方程没有实数根，选项错误；
C、整理得：，△＝0，原方程有2个相等的实数根，选项错误；
D、整理得：，当时， ，原方程有2个不相等的实数根，选项正确.

【例题5】
【题干】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤ k ＜ D．﹣≤ k ＜且k ≠0
【答案】D
【解析】解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知()2－4k＞0，三者缺一不可．同时，本题也是一道易错题，部分学生会忽视这一符号条件下的不等关系而错选为B．
由题意，得解得－≤ k＜且k ≠0．
【例题6】
【题干】已知m 、n是方程的两根，则代数式的值为
A． 9 B． C． 3 D．5
【答案】C
【解析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、的化简.根据一元二次方程根与系数的关系得：，.
==


【例题7】
【题干】如果是方程的两个根，那么的值为：
A．－1 B．2 C． D.
【答案】B
【解析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是， 两根之积是，易求出两根之和是2.
四、课堂运用
【基础】
1.方程的解是 （ ）
A. B. C.或 D. 或
2.解方程
3.解方程
4.解方程
5.若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知一元二次方程的两个根分别是、则的值为（ ）
A. B. C. D.

【巩固】
1.一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
2.用适当的方法解下列方程
（1）； （2）；


（3） （4）



【拔高】
1. 若，，则的值为 。

2. 如果，那么代数式的值。



3. 已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根。





课程小结
公式法解一元二次方程
因式分解法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根与系数的关系
根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系



课后作业
【基础】
1. 如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 。
2. 方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．
A． k≥1 B． k≤1
C． k>1 D． k<1
3. 已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是
A. a =–3,b =1 B. a =3,b =1 C. a = –,b = –1 D. a = –,b =1

已知的两根，则 .


【巩固】
1. 在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定

2.关于x的一元二次方程的两个实数根分别为.
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值.

3.设，是方程的两个不相等的实数根，的值 ．




【拔高】
1. 如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

设，且，则=________。

错题总结

错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结
课堂运用
课后作业











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