通用版2020届高考物理总复习第一章第2讲匀变速直线运动规律（含答案解析）

2020高考一轮第一章第2讲匀变速直线运动规律（通用版）
物 理
　
[基础知识·填一填]
[知识点1]　匀变速直线运动及其公式　
1．定义和分类
(1)匀变速直线运动：物体在一条直线上运动，且　加速度　不变．
(2)分类
2．三个基本公式
(1)速度公式：　v＝v0＋at　.
(2)位移公式：　x＝v0t＋at2　.
(3)位移速度关系式：　v2－v＝2ax　.
3．两个重要推论
(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间　中间时刻　的瞬时速度，还等于初末时刻速度矢量和的　一半　，即：＝v＝.
(2)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝　aT2　.可以推广到xm－xn＝(m－n)aT2.
4．初速度为零的匀变速直线运动的四个推论
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度的比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝　1∶2∶3∶…∶n　.
(2)1T内、2T内、3T内……位移的比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝　12∶22∶32∶…∶n2　.
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移的比为：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝　1∶3∶5∶…∶(2n－1)　.
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为：
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝　1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)　.

判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．
(1)做匀变速直线运动的物体的速度均匀变化．(√)
(2)一物体做匀变速直线运动，某时刻速度为6 m/s,1 s后速度为反向10 m/s，加速度的大小一定为4 m/s2.(×)
(3)一个做初速度为零的匀加速直线运动的物体，它在第1 s末、第2 s末、第3 s末的瞬时速度之比为1∶3∶5.(×)
(4)某物体从静止开始做匀加速直线运动，速度由0到v运动距离是由v到2v运动距离的2倍．(×)
(5)对任意直线运动，其中间时刻的瞬时速度一定等于其平均速度．(×)
(6)不计空气阻力，物体从某高度由静止下落，任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差恒定．(√)
[知识点2]　自由落体运动和竖直上抛运动　
1．自由落体运动
(1)条件：物体只受　重力　，从　静止　开始下落．
(2)运动性质：初速度v0＝0，加速度为重力加速度g的　匀加速直线　运动．
(3)基本规律
①速度公式v＝　gt　.
②位移公式h＝　gt2　.
③速度位移关系式：v2＝　2gh　.
2．竖直上抛运动规律
运动特点：加速度为g，上升阶段做　匀减速直线　运动，下降阶段做　自由落体　运动．
[教材挖掘·做一做]
1．(人教版必修1 P43第3题改编)我国第一艘航空母舰“辽宁号”已有能力同时起飞3架歼15战机，如图为辽宁舰上3个起飞点示意图，1、2号位置为短距起飞点，起飞线长105 米；3号位置为远距起飞点，起飞线长195米．如果歼15战机起飞速度为50 m/s，起飞时航母静止不动，且不使用弹射系统，则战机由3号起飞点起飞的加速度至少是多少？(设跑道水平)
解析：根据v＝v0＋at①
x＝v0t＋at2②
由①得t＝③
把③代入②得
x＝v0＋a2
整理得v2－v＝2ax
将v0＝0，v＝50 m/s，x＝195 m代入上式
得a≈6.41 m/s2.
答案：6.41 m/s2
2.(人教必修1 P36第3题改编)质点做匀变速直线运动的v－t图象，如图所示．

(1)1 s末、2 s末、3 s末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3为多少？
(2)前1 s内、前2 s内、前3 s内的位移大小之比x1∶x2∶x3为多少？
(3)第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移大小之比xⅠ∶xⅡ∶xⅢ为多少？
解析：(1)匀变速直线运动的速度时间关系式为v＝at，
所以v1∶v2∶v3＝1∶2∶3.
(2)位移时间关系式为x＝at2，
所以x1∶x2∶x3＝1∶22∶32＝1∶4∶9.
(3)因为xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，
所以xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶(22－1)∶(32－22)＝1∶3∶5.
答案：(1)1∶2∶3　(2)1∶4∶9　(3)1∶3∶5
3.(人教版必修1 P45第3题改编)一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰好拍到了它下落的一段轨迹AB.该爱好者用直尺量出轨迹的长度，如图所示．已知g取10 m/s2，曝光时间为 s，则小石子出发点离A点约为(　　)

A．6.5 m　　　　　　　　　 B．10 m
C．20 m D．45 m
答案：C
4．(人教版必修1 P45第5题)频闪摄影是研究变速运动常用的实验手段．在暗室中，照相机的快门处于常开状态，频闪仪每隔一定时间发出一次短暂的强烈闪光，照亮运动的物体，于是胶片上记录了物体在几个闪光时刻的位置．如图是小球自由下落时的频闪照片示意图，频闪仪每隔0.04 s闪光一次．如果通过这幅照片测量自由落体加速度，可以采用哪几种方法？试一试．照片中的数字是小球落下的距离，单位是cm.

解析：方法一：根据公式x＝gt2
x＝19.6 cm＝0.196 m.
t＝5T＝0.2 s
g＝＝ m/s2＝9.8 m/s2
方法二：根据公式Δx＝gT2
g＝＝×10－2 m/s2
＝10.6 m/s2.
方法三：根据v＝gt和＝＝＝v
＝ m/s＝1.56 m/s
g＝＝ m/s2＝9.75 m/s2.
答案：见解析

考点一　匀变速直线运动的基本规律
[考点解读]
1．公式的矢量性：匀变速直线运动的基本公式均是矢量式，应用时要注意各物理量的符号，一般情况下，规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值．当v0＝0时，一般以a的方向为正方向．
2．两类特殊的匀减速直线运动
(1)刹车类问题：指匀减速到速度为零后停止运动，求解时要注意确定其实际运动时间．如果问题涉及最后阶段的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动．
(2)双向可逆类：如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑，全过程加速度大小、方向均不变，求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义．
[典例赏析]
[典例1]　一旅客在站台8号车厢候车线处候车，若动车一节车厢长25 m，动车进站时可以看做匀减速直线运动．他发现第6节车厢经过他用了4 s，动车停下时旅客刚好在8号车厢门口，如图所示．则该动车的加速度大小约为(　　)

A．2 m/s2　　　　　 B．1 m/s2
C．0.5 m/s2 D．0.2 m/s2
[审题指导]　(1)本题考查x＝v0t＋at2和v2－v＝2ax列式求解问题．
(2)注意匀减速直线运动中加速度为负．
[解析]　C　[设第6节车厢刚到达旅客处时，车的速度为v0，加速度为a，
则有L＝v0t＋at2
从第8节车厢刚到达旅客处到列车停下来，有
0－v＝2a·2L，
解得a≈－0.5 m/s2或a≈－18 m/s2(舍去)，则加速度大小约为0.5 m/s2，故C项正确．]
　恰当选用公式
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量) 没有涉及的物理量 适宜选用公式
v0、v、a、t x v＝v0＋at
v0、a、t、x v x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t v2－v＝2ax
v0、v、t、x a x＝t

除时间t外，x、v0、v、a均为矢量，所以需要确定正方向，一般以v0的方向为正方向．
[母题探究]
母题 典例1 探究1.多过程问题
探究2.刹车类问题
探究3.双向可逆类问题

[探究1]　多过程问题　
(多选)2017年8月8日21时19分，四川阿坝藏族羌族自治州九寨沟县发生7.0级地震，在救灾活动中，一辆救灾汽车由静止开始做匀变速直线运动，刚运动了8 s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以又紧急刹车，匀减速运动经4 s停在巨石前．则关于汽车的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A．加速、减速中的加速度大小之比为a1∶a2等于2∶1
B．加速、减速中的平均速度大小之比1∶2 等于1∶1
C．加速、减速中的位移大小之比x1∶x2等于2∶1
D．加速、减速中的加速度大小之比a1∶a2等于1∶2
解析：BCD　[汽车由静止运动8 s，又经4 s停止，加速阶段的末速度与减速阶段的初速度相等，由v＝at，知a1t1＝a2t2，＝，A错，D对；又由v2＝2ax知a1x1＝a2x2，＝＝，C对；由＝知，1∶2＝1∶1，B对．]
[探究2]　刹车类问题　
(2019·山西四校联考)以36 km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为4 m/s2的加速度，刹车后第3 s内汽车的位移大小为(　　)
A．12.5 m B．2 m
C．10 m D．0.5 m
解析：D　[由v＝at可得刹车到静止所需的时间t＝2.5 s，则第3 s内的位移，实际上就是2～2.5 s内的位移，x＝at′2＝0.5 m．]
[探究3]　双向可逆类问题　
(多选)在光滑足够长的斜面上，有一物体以10 m/s的初速度沿斜面向上运动，物体的加速度始终为5 m/s2，方向沿斜面向下，当物体的位移大小为7.5 m时，下列说法正确的是(　　)
A．物体运动时间可能为1 s
B．物体运动时间可能为3 s
C．物体运动时间可能为(2＋) s
D．此时的速度大小一定为5 m/s
解析：ABC　[(1)物体在出发点上方时，由x＝v0t＋at2得：7.5＝10t＋×(－5)t2，解得t＝1 s或t＝3 s，由v＝v0＋at得，v＝5 m/s或－5 m/s.
(2)物体在出发点下方时，由x＝v0t＋at2得：－7.5＝10t＋×(－5)t2，解得t＝(2＋) s，由v＝v0＋at得：v＝－5 m/s，故A、B、C正确，D错误．]
考点二　解决匀变速直线运动的常用方法
[考点解读]

[典例赏析]
[典例2]　一个做匀加速直线运动的质点，在最初的连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每个时间间隔为4 s，求质点的初速度和加速度．
[审题指导]　(1)本题具有连续相等时间间隔的特点，求初速度和加速度时应有多种求解方法．
(2)画出运动过程的示意图，来描述运动过程和运动性质．
[解析]　方法一：用基本公式法求解
画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移时间公式，即

x1＝vAt＋at2，
x2＝vA(2t)＋a(2t)2－(vAt＋at2)
将x1＝24 m，x2＝64 m，t＝4 s代入上式解得
a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s
方法二：用中间时刻速度公式求解
连续的两段时间t内的平均速度分别为
1＝＝6 m/s，2＝＝16 m/s
即1＝＝6 m/s，2＝＝16 m/s
由于点B是AC段的中间时刻，则
vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
可得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
则a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2
方法三：用Δx＝aT2求解
由Δx＝aT2得a＝＝m/s2＝2.5 m/s2
再由x1＝vAt＋at2解得vA＝1 m/s.
[答案]　1 m/s　2.5 m/s2

解决匀变速直线运动问题的基本思路

[题组巩固]
1．(比例法的应用)(2019·佛山模拟)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与第2 s内的位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2.以下说法正确的是(　　)
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶
解析：B　[对于初速度为零的匀加速直线运动，由xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)知x1∶x2＝1∶3；由x＝at2知t1∶t2＝1∶，又因为v＝at可得v1∶v2＝1∶，B正确．]
2．(逆向思维法的应用)沿直线运动的汽车刹车后匀减速运动，经3.5 s停止，它在最后一秒的位移为1 m，以下说法中不正确的是(　　)
A．汽车刹车的加速度为2 m/s2
B．汽车刹车时的速度为7 m/s
C．汽车刹车后共滑行8 m
D．汽车刹车停止全程的平均速度为3.5 m/s
解析：C　[采用逆向思维，根据x＝at2得刹车的加速度大小为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，故A正确；采用逆向思维，汽车刹车时的速度为v＝at＝2×3.5 m/s＝7 m/s，故B正确；汽车刹车后共滑行的距离为x＝t＝×3.5 m＝12.25 m，故C错误；汽车刹车后的平均速度为＝＝ m/s＝3.5 m/s，故D正确．]
3．(图象法的应用)(2019·怀化模拟)如图所示，甲、乙两车同时由静止从A点出发，沿直线AC运动．甲以加速度a3做初速度为零的匀加速运动，到达C点时的速度为v.乙以加速度a1做初速度为零的匀加速运动，到达B点后做加速度为a2的匀加速运动，到达C点时的速度也为v.若a1≠a2≠a3，则(　　)

A．甲、乙不可能同时由A到达C
B．甲一定先由A到达C
C．乙一定先由A到达C
D．若a1＞a3，则甲一定先由A到达C
解析：A　[根据速度－时间图线得，若a1＞a3，如图1，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙＜t甲．

若a3＞a1，如图2，因为末速度相等，位移相等，即图线与时间轴所围成的面积相等，则t乙＞t甲．由于a1≠a2≠a3，作不出位移相等，速度相等，时间也相等的图线，所以甲、乙不能同时到达．故A正确，B、C、D错误．]
4．(推论Δx＝aT2的应用)(多选)某质点做匀减速直线运动，依次经过A、B、C三点，最后停在D点．已知AB＝6 m，BC＝4 m，从A点运动到B点，从B点运动到C点两个过程速度变化量都为－2 m/s，则下列说法正确的是(　　)

A．质点到达B点速度大小为2.55 m/s
B．质点的加速度大小为2 m/s2
C．质点从A点运动到C点的时间为4 s
D．A、D两点间的距离为12.25 m
解析：BD　[根据题设条件得Δv＝at＝2 m/s，AB、BC为连续相等时间内的位移，由匀变速直线运动规律的推论Δx＝at2，解得t＝＝ s＝1 s，a＝2 m/s2，选项B正确；质点从A点到C点的时间为2t＝2 s，选项C错误；根据匀变速直线运动的平均速度公式可得vB＝＝5 m/s，选项A错误；由速度与位移公式可得xAD＝6 m＋＝12.25 m，选项D正确．]
考点三　自由落体运动和竖直上抛运动
[考点解读]
1．自由落体运动的特点
(1)自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动．
(2)一切匀加速直线运动的公式均适用于自由落体运动，特别是初速度为零的匀加速直线运动的比例关系式，在自由落体运动中应用更频繁．
2．竖直上抛运动的两种研究方法
(1)分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段．
(2)全程法：将全过程视为初速度为v0，加速度a＝－g的匀变速直线运动，必须注意物理量的矢量性．习惯上取v0的方向为正方向，则v＞0时，物体正在上升；v＜0时，物体正在下降；h＞0时，物体在抛出点上方；h＜0时，物体在抛出点下方．
[典例赏析]
[典例3]　(2019·赣中模拟)(多选)自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g，下面说法正确的是(　　)
A．若v0＞，两物体相遇时，B正在下降途中
B．若v0＝，两物体在地面相遇
C．若 ＜v0＜，两物体相遇时B物体正在空中下落
D．若v0＝ ，则两物体在地面相遇
[破题关键点]　(1)A、B两物体相遇的可能位置中，最高、最低点在什么位置？
提示：B物体速度减为零时，A、B恰好相遇是两物体相遇的最高临界点；A、B恰好落地时相遇是两物体相遇的最低临界点．
(2)A、B两物体相遇时满足什么关系？
提示：A、B两物体相遇时，两物体在空中运动的时间相同，位移大小之和等于H.
[解析]　CD　[假设B物体在上升到最高点时与A相遇，则t＝，H＝gt2＋，v0＝，则当v0＞时，两物体在B上升中相遇，选项A错误；当v0＝时，两物体在B上升到最高点时相遇，选项B错误；如果两物体在B下落到地面时相遇，则t＝，H＝gt2，v0＝ ，则当 ＜v0＜时，两物体相遇时，B物体正在空中下落，选项C、D正确．]
　
竖直上抛运动的研究方法
分段法 上升段：a＝－g的匀减速直线运动 下降段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(向上方向为正方向) 若v>0，物体上升，若v<0，物体下落 若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方

[母题探究]
母题 典例3 探究1.多物体的自由落体运动
探究2.大物体的自由落体运动
探究3.竖直上抛运动的多解问题

[探究1]　多物体的自由落体运动　
在离地面7.2 m处，手提2.2 m长的绳子的上端，在绳子的上下两端各拴一小球，如图所示．放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g＝10 m/s2)求：

(1)两小球落地时间相差多少？
(2)B球落地时A球的速度多大？
解析：(1)因为hB＝gt，
所以tB＝ ＝ s＝1 s，
由hA＝gt，
得tA＝ ＝ s＝1.2 s
所以两小球落地的时间差为Δt＝tA－tB＝0.2 s.
(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等．
即vA＝vB＝gtB＝10×1 m/s＝10 m/s.
答案：(1)0.2 s　(2)10 m/s
[探究2]　大物体的自由落体运动　
如图所示，木杆长5 m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20 m处圆筒AB，圆筒AB长为5 m，取g＝10 m/s2，求：

(1)木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？
(2)木杆通过圆筒A、B所用的时间t2是多少？
解析：(1)木杆由静止开始做自由落体运动，木杆的下端到达圆筒上端A用时 t下A＝ ＝ s＝ s
木杆的上端到达圆筒上端A用时
t上A＝ ＝ s＝2 s
则通过圆筒上端A所用的时间
t1＝t上A－t下A＝(2－) s
(2)木杆的上端离开圆筒下端B用时
t上B＝ ＝ s＝ s
则木杆通过圆筒所用的时间t2＝t上B－t下A＝(－) s
答案：(1)(2－) s　(2)(－) s
[探究3]　竖直上抛运动的多解问题　
(多选)(2019·郑州模拟)在塔顶上将一物体竖直向上抛出，抛出点为A，物体上升的最大高度为20 m，不计空气阻力，设塔足够高，则物体位移大小为10 m时，物体通过的路程可能为(　　)
A．10 m　　　　　　　　 B．20 m
C．30 m D．50 m
解析：ACD　[物体在塔顶上的A点抛出，位移大小为10 m的位置有两处，如图所示，一处在A点之上，另一处在A点之下，在A点之上时，通过位移大小为10 m处又有上升和下降两种过程，上升通过时，物体的路程s1等于位移的大小x1，即s1＝x1＝10 m；下降通过时，路程s2＝2h－x1＝2×20 m－10 m＝30 m．在A点之下时，通过的路程s3＝2h＋x2＝2×20 m＋10 m＝50 m．故A、C、D正确，B错误．]


思想方法(二)　利用转换研究对象法巧解多物体的匀变速直线运动
方 法 阐 述 在运动学问题的解题过程中，若多个物体所参与的运动规律完全相同，可将多个物体的运动转换为一个物体的连续运动，解答过程将变得简单明了.

[典例赏析]
[典例]　从斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一个小球，在连续释放几颗小球后，对在斜面上滚动的小球拍下照片，如图所示，测得xAB＝15 cm，xBC＝20 cm，求：

(1)小球的加速度；
(2)拍摄时B球的速度；
(3)拍摄时xCD的大小．
[审题指导]　(1)审关键词：每隔0.1 s释放一个小球．
(2)思路分析：每隔0.1 s释放一个小球?小球间的时间间隔相等看成单个物体运动在相同时间间隔内的痕迹迁移,打点计时器打下的纸带的处理方法．
[解析]　将A、B、C、D球的位置等效为一个小球在不同时刻的位置．
(1)由Δx＝at2得小球的加速度a＝＝5 m/s2.
(2)B点的速度等于AC段上的平均速度，即
vB＝＝1.75 m/s.
(3)由相邻相等时间内的位移差恒定，知xCD－xBC＝xBC－xAB，所以xCD＝2xBC－xAB＝0.25 m.
[答案]　(1)5 m/s2　(2)1.75 m/s　(3)0.25 m
[题组巩固]
1.如图所示为一杂技演员用一只手抛球、接球的简意图，他每隔0.4 s 抛出一球，接到球便立即把球抛出．已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个球，将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，取g＝10 m/s2)(　　)

A．1.6 m　　　　　　　 B．2.4 m
C．3.2 m D．4.0 m
解析：C　[将空中运动的4个球看做一个球的竖直上抛运动，由题意知，球从抛出到落回手中用时t＝0.4 s×4＝1.6 s，则球从最高点落回手中的时间为0.8 s，则H＝gt2＝×10×0.82 m＝3.2 m，故C正确．]
2.科技馆中的一个展品如图所示，在较暗处有一个不断均匀滴水的水龙头，在一种特殊的间歇闪光灯的照射下，若调节间歇闪光间隔时间正好与水滴从A下落到B的时间相同，可以看到一种奇特的现象，水滴似乎不再下落，而是像固定在图中的A、B、C、D四个位置不动，对出现的这种现象，下列描述正确的是(取g＝10 m/s2)(　　)

A．水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间满足tAB＜tBC＜tCD
B．闪光的间隔时间是 s
C．水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶4∶9
D．水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶3∶5
解析：B　[由题图可知∶∶＝1∶3∶5，水滴做初速度为零的匀加速直线运动，由题意知水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间相等，A错误；由h＝gt2可得水滴在下落过程中通过相邻两点之间的时间为 s，即闪光的间隔时间是 s，B正确；由＝知水滴在相邻两点间的平均速度满足AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，C错误；由v＝gt知水滴在各点的速度之比满足vB∶vC∶vD＝1∶2∶3，D错误．]
链接高考1　运动图象　追及和相遇问题
[基础知识·填一填]
[知识点1]　匀变速直线运动的图象　
1．直线运动的x－t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体　位移　随　时间　变化的规律．
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率大小：表示物体速度的　大小　.
②斜率的正负：表示物体速度的　方向　.
(3)两种特殊的x－t图象

①若x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于　静止　状态．(如图中甲所示)
②若x－t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做　匀速直线　运动．(如图中乙所示)
2．直线运动的v－t图象
(1)意义：反映了直线运动的物体　速度　随　时间　变化的规律．
(2)图线上某点切线的斜率的意义
①斜率的大小：表示物体　加速度　的大小．
②斜率的正负：表示物体　加速度　的方向．
(3)两种特殊的v－t图象

①匀速直线运动的v－t图象是与横轴　平行　的直线．(如图中甲所示)
②匀变速直线运动的v－t图象是一条　倾斜　的直线．(如图中乙所示)
(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义
①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的　位移　.
②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为　正方向　；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为　负方向　.
3．直线运动的a－t图象
(1)

意义：反映了直线运动的物体　加速度　随时间变化的规律．
(2)匀变速直线运动的a－t图象只能是与t轴平行的直线．
(3)图线与坐标轴围成的“面积”的意义：　速度的变化Δv　.

判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．
(1)x－t图象和v－t图象都表示物体运动的轨迹．(×)
(2)x－t图象和v－t图象都只能描述直线运动．(√)
(3)x－t图象上两图线的交点表示两物体此时相遇．(√)
(4)v－t图象上两图线的交点表示两物体此时相遇．(×)
[知识点2]　追及和相遇问题　
1．追及问题的两类情况
(1)若后者能追上前者，追上时，两者处于　同一　位置，且后者速度一定不小于前者速度．
(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度　相等　时，两者相距最近．
①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题：速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)．
a．若两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，则永远追不上，此时两者间有最小距离．
b．若两者位移相等时，速度也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件．
c．若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距有一个最大值．
②从同一地点出发开始同向运动的问题：速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)．
a．当两者速度相等时两者间有最大距离．
b．若两者位移相等时，则追上．
2．相遇问题
(1)同向运动的两物体追上即相遇．两物体位移大小　之差　等于开始时两物体间距．
(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和　等于　开始时两物体的距离时即相遇．

判断正误，正确的划“√”，错误的划“×”．
(1)同一直线上运动的两物体，后者若追上前者，后者速度必须大于前者．(√)
(2)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近．(√)
(3)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等．(√)
[教材挖掘·做一做]
1．(人教版必修1 P33第2题改编)(多选)在同一公路上，B、C两辆汽车的v－t图象b、c如图所示，两辆汽车同时同地出发，下列说法正确的是(　　)

A．B车的加速度为 m/s2，C车的加速度为－ m/s2
B．t＝2 s时，C车在B车后
C．B、C两车在大约1.6 s时并排行驶
D．B、C两车并排行驶时离出发点的距离约为9.6 m
解析：AD　[根据图象信息可知：aB＝ m/s2＝ m/s2，aC＝ m/s2＝－ m/s2，选项A正确；
设经过时间t，B、C两车并排行驶，则
xB＝xC①
又因xB＝aBt2②
xC＝v0t＋aCt2③
由图象可知v0＝4 m/s④
联立①②③④得t＝ s≈3.31 s(t＝0舍去)
所以t＝2 s时，C车在B车前，选项B、C错误；
B、C两车并排行驶时离出发点的距离为
x＝aBt2＝××2 m≈9.6 m
所以选项D正确．]
2．(人教版必修1 P41第5题)一辆汽车在教练场上沿着平直道路行驶，以x表示它对于出发点的位移．如图为汽车在t＝0到t＝40 s这段时间的x－t图象．通过分析回答以下问题．

(1)汽车最远距离出发点多少米？
(2)汽车在哪段时间没有行驶？
(3)汽车在哪段时间驶离出发点，在哪段时间驶向出发点？
答案：(1)30 m　(2)10～20 s
(3)0～10 s　20～40 s
3．(人教版必修1 P41第5题改编)人教版必修1 P41第5题中的x－t图象变为v－t图象，如图所示，其他条件不变，下列分析正确的是(　　)

A．汽车离出发点最远的距离为750 m
B．汽车在10～20 s时间内静止
C．汽车只在20～40 s时间内驶离出发点
D．汽车在40 s末回到出发点
解析：A　[汽车先加速运动，后匀速运动，再减速运动，在0～40 s时间内，速度均为正方向，所以汽车一直向远离出发点的方向运动，选项B、C、D均错误；汽车离出发点的最远距离s＝×(10＋40)×30 m＝750 m，选项A正确．]
　考点一　三类图象的比较
[考点解读]
1．位移－时间(x－t)图象
(1)位移－时间图象反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，并非物体运动的轨迹．
(2)位移－时间图象只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移－时间图象只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向．
(3)位移－时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向．
2．速度－时间(v－t)图象
(1)速度－时间图象反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，只能描述物体做直线运动的情况．
(2)速度－时间图线上每一点的切线斜率表示物体该时刻的加速度．
(3)速度－时间图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移．
3．加速度－时间(a－t)图象
(1)a－t图象的斜率表示加速度的变化率．
(2)a－t图象与时间轴围成的“面积”，表示速度的变化量．
(3)图象的纵轴截距表示初始加速度．
(4)两图线的交点表示两质点的加速度相同．
[考向突破]
[考向1]　位移－时间(x－t)图象　
[典例1]　(2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是(　　)

A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
[审题指导]　(1)审关键词：位移－时间图象．
(2)思路分析：①x－t图象的斜率表示速度．
②由x－t图象可直接读出位移．
③只有在单向直线运动中位移的大小才等于路程．
[解析]　CD　[本题考查x－t图象的应用．在x－t图象中，图线的斜率表示物体运动的速度，在t1时刻，两图线的斜率关系为k乙＞k甲，两车速度不相等；在t1到t2时间内，存在某一时刻甲图线的切线与乙图线平行，如图所示，该时刻两车速度相等，选项A错误，D正确．从0到t1时间内，乙车走过的路程为x1，甲车走过的路程小于x1，选项B错误．从t1到t2时间内，两车走过的路程都为x2－x1，选项C正确．]

[考向2]　速度－时间(v－t)图象　
[典例2]　(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是(　　)

A．两车在t1时刻也并排行驶
B．在t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
[审题指导]　(1)v－t图象的斜率表示加速度．
(2)图线与时间轴包围的“面积”的数值表示物体运动的位移．
[解析]　BD　[本题考查对v－t图线的理解、追及和相遇问题．v－t图线与时间轴包围的“面积”表示车运动的位移，t2时刻两车并排行驶，故t1时刻甲车在后，乙车在前，所以A错，B对．v－t图线上各点切线的斜率表示瞬时加速度，由此可知，C错，D对．]
[考向3]　加速度－时间(a－t)图象　
[典例3]　(2019·宝鸡二模)
(多选)甲、乙两车从同一地点沿相同的方向同时由静止开始做直线运动，它们运动的加速度随时间变化的图象如图所示．关于两车的运动情况，下列说法正确的是(　　)

A．在0～4 s内甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动
B．在0～2 s内两车间距逐渐增大，2～4 s内两车间距逐渐减小
C．在t＝2 s时甲车速度为4.5 m/s，乙车速度为3 m/s
D．在t＝4 s时两车速度相等，且此时两车间距最大
[审题指导]　(1)在a－t图象中，甲车做加速度逐渐减小的变加速运动，乙车做匀变速直线运动．
(2)图象与时间所围“面积”，表示速度的变化量．
[解析]　CD　[根据图象可知，乙的加速度不变，做匀变速直线运动，不是匀速直线运动，故A项错误；据加速度－时间图象知道图象与时间轴所围的面积表示速度的变化量，据图象可知，当t＝4 s时，两图象与t轴所围的面积相等，且两车都从静止出发，所以该时刻两辆车的速度相等；在4 s前甲车的速度大于乙车的速度，所以甲车在乙车的前方，所以两车逐渐远离，当t＝4 s时，两车速度相等即相距最远，故B项错误，D项正确；在t＝2 s时甲车速度为v甲＝×(1.5＋3)×2 m/s＝4.5 m/s，乙车速度为v乙＝1.5×2 m/s＝3 m/s，故C项正确．]
[题组巩固]
1.(2019·岳阳六校联考)在平直公路上行驶的a车和b车，其位移－时间(x－t)图象分别为图中直线a和曲线b，已知b车的加速度恒定且等于－2 m/s2，t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，则(　　)

A．a车做匀速运动且其速度为va＝ m/s
B．t＝3 s时a车和b车相遇但此时速度不等
C．t＝1 s时b车的速度为10 m/s
D．t＝0时a车和b车的距离x0＝9 m
解析：D　[x－t图象的斜率等于速度，由图可知a车做匀速直线运动，其速度va＝＝ m/s＝2 m/s，故A错误；t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，位置坐标相同，两车相遇，斜率相等，此时刻两车的速度相等，故B错误；t＝3 s时，vb＝va＝2 m/s，设b车的初速度为v0，对b车，由vb＝v0＋at，解得：v0＝8 m/s，则t＝1 s时b车的速度vb′＝v0＋at1＝6 m/s，故C错误；t＝3 s时，a车的位移为xa＝vat＝6 m，b车的位移xb＝ t＝15 m，又因t＝3 s，a车和b车到达同一位置，得：x0＝xb－xa＝9 m，故D正确．]
2．在一平直路面上，甲、乙两车从同一地点同时出发，其运动的v－t图象如图所示．在乙车从开始运动到停下的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．甲车与乙车在t1时刻的距离达到最小值
B．甲车与乙车在t2时刻的距离达到最大值
C．甲车与乙车相遇两次
D．甲车的平均速度小于乙车的平均速度
解析：D　[t＜t1时，v乙＞v甲，两车距离增大，t＞t1时，v乙＜v甲，两车距离减小，故A、B错误；由图线面积知，0～t2时间内，乙车位移一直大于甲车位移，故乙＞甲，C错误，D正确．]
3．(2019·宁德市质检)AK47步枪成为众多军人的最爱．若该步枪的子弹在枪膛内的加速度随时间变化的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．子弹离开枪膛时的速度为450 m/s
B．子弹离开枪膛时的速度为600 m/s
C．子弹在枪膛内运动的距离小于0.45 m
D．子弹在枪膛内运动的距离大于0.45 m
解析：D　[根据Δv＝at可知，图象与坐标轴围成的面积等于速度的变化量，则子弹离开枪膛的速度为：v＝×2×105×3×10－3 m/s＝300 m/s，A、B两项错误；子弹在枪膛内做加速度减小的加速运动，则平均速度大于＝150 m/s，故子弹在枪膛内运动的距离大于t＝150×3×10－3 m＝0.45 m，故C项错误，D项正确．]

根据运动图象判断运动情况的基本思路
1．看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，分清是什么图象．
2．看“斜率”：从x－t图象的斜率判断速度变化，从v－t图象的斜率判断加速度的变化．
3．看“面积”：x－t图象的“面积”无意义，v－t图象的“面积”表示位移，a－t图象的“面积”表示速度的变化量．
4．看“截距”：截距表示运动的初始情况．
考点二　追及相遇问题
[考点解读]
1．分析追及相遇问题的“一个条件”“两个关系”
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系．通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．追及相遇问题两种典型情况：假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：
(1)匀加速运动的物体追匀速或匀减速运动的物体，一定能追上，追上前，vA＝vB时，两者相距最远．
(2)匀减速运动的物体追匀速运动的物体，vA＝vB时：
①若已超越则相遇两次；
②若恰好追上，则相遇一次；
③若没追上，则此时相距最近．
3．解题思路和方法
???
[典例赏析]
[典例4]　(2016·全国卷Ⅰ)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示．已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)

A．在t＝1 s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
[审题指导]　(1)v－t图象．
(2)t＝3 s时并排行驶．
[解析]　BD　[根据v－t图象，甲、乙都沿正方向运动．t＝3 s时，甲、乙相遇，v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由位移和v－t图“面积”对应关系，0～3 s内位移x甲＝×3×30 m＝45 m，x乙＝×3×(10＋25) m＝52.5 m．故t＝0时，甲、乙相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲在乙前方7.5 m，B选项正确.0～1 s内，x甲′＝×1×10 m＝5 m，x乙′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m，说明甲、乙第一次相遇，A、C错误．甲、乙车两次相遇地点之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，所以D选项正确．]
[母题探究]

[探究1]　追者匀速被追者匀加速　
如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图象如图乙所示．已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了x1＝12 m.
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小；
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？

解析：(1)在t1＝1 s时A车刚启动，两车缩短的距离
x1＝vBt1①
代入数据解得B车的速度vB＝12 m/s②
A车的加速度a＝③
将t2＝5 s和其余数据代入，解得A车的加速度大小
a＝3 m/s2.④
(2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于v－t图象的t2＝5 s，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积
s＝vB(t1＋t2)⑤
代入数据解得s＝36 m⑥
因此，A、B两车不会相撞应满足条件s0>36 m.
答案：(1)12 m/s　3 m/s2　(2)s0>36 m
[探究2]　追者匀速，被追者匀减速　
(2019·南昌市二模)自行车和汽车同时驶过平直公路上的同一地点，此后其运动的v－t图象如图所示，自行车在t＝50 s时追上汽车，则(　　)

A．汽车的位移为100 m
B．汽车的运动时间为20 s
C．汽车的加速度大小为0.25 m/s2
D．汽车停止运动时，二者间距最大
解析：C　[t＝0时刻自行车和汽车位于同一地点，自行车在t＝50 s时追上汽车，两者的位移相等，由图线与时间轴包围的“面积”表示位移求出自行车的位移，从而得到汽车的位移．根据平均速度公式求汽车运动的时间，由速度公式求加速度，通过分析两者速度关系分析何时间距最大．汽车的位移等于自行车的位移x＝v自t＝4×50 m＝200 m，故A项错误；设汽车运动时间为t，则有x＝t得t＝＝ s＝40 s，故B项错误；汽车的加速度大小为a＝＝ m/s2＝0.25 m/s2，故C项正确；在两者速度相等前，汽车的速度大于自行车的速度，汽车在自行车的前方，两者间距增大．速度相等后，汽车的速度小于自行车的速度，汽车仍在自行车的前方，两者间距减小，所以两者速度相等时间距最大，故D项错误．]
[探究3]　追者匀加速被追者匀减速　
(多选)甲、乙两个物体从同一地点出发，在同一直线上做匀变速直线运动，它们的速度图象如图所示，则(　　)

A．甲、乙两物体运动方向相反
B．t＝4 s时，甲、乙两物体相遇
C．在相遇前，t＝4 s时甲、乙两物体相距最远
D．在相遇前，甲、乙两物体的最远距离为20 m
解析：CD　[甲、乙两物体速度均为正值、方向相同，A错误；t＝4 s时，甲、乙两物体速度相等，在0～4 s内，v乙>v甲，两物体间距逐渐增大，t＝4 s之后，v乙[探究4]　追者匀加速被追者匀加速　
(多选)小张和小王分别驾车沿平直公路同向行驶，在某段时间内两车的v－t图象如图所示，初始时小张在小王前方x0处，下列说法正确的是(　　)

A．若x0＝18 cm，两车相遇1次
B．若x0<18 cm，两车相遇2次
C．若x0＝36 cm，两车相遇1次
D．若x0＝54 m，两车相遇1次
解析：AB　[由题图可知速度相等时小王比小张多行驶的“面积”为18 m，故可知若x0＝18 m，二者恰好相遇，此后小张一直在小王前方，故A正确；若x0<18 m，则在速度相等时小王已超过小张，速度相等后，小张的速度比小王大，故还会再相遇，故B正确；同理可知C、D错误．]

求解追及和相遇问题的两点技巧
　　　　　　 思想方法(三)　运用图象法分析物体的运动
方 法 阐 述 通过运动图象的变化，分析比较运动过程的变化问题．具体思路是： (1)根据题意画出原来运动的v－t图象． (2)根据运动变化情况，分析确定变化量和不变量． (3)在控制不变量的条件下，画出运动变化后的v－t图象． (4)对比图象，观察相关物理量的变化.

[典例赏析]
[典例]　如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2，则(　　)

A．v1＝v2，t1＞t2　　　　　 B．v1＜v2，t1＞t2
C．v1＝v2，t1＜t2 D．v1＜v2，t1＜t2
[解析]　A　[由机械能守恒定律得，小球两次到达N点速率相同，即v1＝v2＝v0，画出小球由M→P→N及由M→Q→N的速率－时间图象如图中Ⅰ、Ⅱ所示．则图线与坐标轴所围成的面积表示小球的路程，两次的路程相等，故t1＞t2，选项A正确．]


1．在无法运用物理公式解答问题的情况下，用图象法则会使思路豁然开朗．
2．运用图象法时，要结合具体的物理过程和相应的物理规律作出函数图象，再结合相应的数学工具(即方程)求出相应的物理量．
[题组巩固]
1．为了研究汽车的启动和制动性能，现用甲、乙两辆完全相同的汽车在平直公路上分别进行实验．让甲车以最大加速度a1加速到最大速度后匀速运动一段时间再以最大加速度a2制动，直到停止；乙车以最大加速度a1加速到最大速度后立即以加速度制动，直到停止．实验测得甲、乙两车的运动时间相等，且两车运动的位移之比为5∶4.则a1∶a2的值为(　　)
A．2∶1　　　　　　　 B．1∶2
C．4∶3 D．4∶5
解析：B　[作出甲、乙两车的v－t图象，如图所示，设甲车匀速运动的时间为t1，总时间为t2，因为两车的位移之比为5∶4，则有vm∶vm＝5∶4，解得t1∶t2＝1∶4，乙车以最大加速度a1加速到最大速度后立即以加速度制动，直到停止，根据v－t图线的斜率表示加速度，可知乙车匀减速运动的时间是甲车匀减速运动时间的2倍，则甲车匀速运动的时间和匀减速运动的时间相等，大小之比为1∶1，可知匀加速直线运动的时间和匀减速运动的时间之比为2∶1，加速度大小之比为a1∶a2＝1∶2，B正确．]

2．某同学欲估算“和平友谊－2018”中马泰联合军事演习时某飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是(　　)
A．v＝　　　　　　 B．v＝
C．v＞ D.＜v＜
解析：C　[由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小．画出相应的v－t图象大致如图所示．根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的“面积”为x，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为t.应有t＞x，所以v＞，所以选项C正确．]

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