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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十四)”
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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十五)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（十五） 函数的最大（小）值
A级——学考水平达标练
1．函数y＝x2＋2x－1在[0,3]上的最小值为( )
A．0 B．－4
C．－1 D．－2
解析：选C 因为y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，其图象的对称轴为直线x＝－1，所以函数y＝x2＋2x－1在[0,3]上单调递增，所以当x＝0时，此函数取得最小值，最小值为－1.
2．函数y＝x＋的最值的情况为( )
A．最小值为，无最大值
B．最大值为，无最小值
C．最小值为，最大值为2
D．最大值为2，无最小值
解析：选A ∵y＝x＋在定义域上是增函数，∴函数最小值为，无最大值，故选A.
3．设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝( )
A. B.
C. D.
解析：选D 易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以＝＝.
4．函数f(x)＝的最大值为( )
A．1 B．2
C． D．
解析：选B 当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1；当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2.综上可得，f(x)的最大值为2，故选B.
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：选C 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
6．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
解析：f(x)的对称轴为x＝3，当且仅当1＜a≤3时，f(x)min＝f(a)．
答案：(1,3]
7．函数y＝f(x)的定义域为[－4,6]，若函数f(x)在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f(－4)解析：作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f(x)min＝f(－2)，f(x)max＝f(6)．
答案：f(－2) f(6)
8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，求能获得的最大利润为多少万元？
解：设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，设两地销售的利润之和为y，则
y＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.
由题意知∴0≤x≤15，且x∈Z.
当x＝－＝9.5时，y值最大，
∵x∈Z，∴取x＝9或10.
当x＝9时，y＝120，当x＝10时，y＝120.
综上可知，公司获得的最大利润为120万元．
9．已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的最大值和最小值．
解：(1)任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x1)∴函数f(x)＝在[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值，为f(3)＝；当x＝5时，函数f(x)取得最大值，为f(5)＝.
B级——高考水平高分练
1．对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为________．
解析：设f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.
而f(a)＝(a－2)2＋2，∴f(a)min＝f(2)＝2.
∴M≤2.∴Mmax＝2.
答案：2
2．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中实线部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点坐标为(4,6)．由图象可知，函数f(x)的最大值为6.
答案：6
3．已知二次函数y＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)若a＝－1，写出函数的单调增区间和减区间；
(2)若a＝－2，求函数的最大值和最小值；
(3)若函数在[－4,6]上是单调函数，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，因为x∈[－4,6]，所以函数的单调递增区间为[1,6]，单调递减区间为[－4,1)．
(2)当a＝－2时，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，因为x∈[－4,6]，所以函数的单调递增区间为[2,6]，单调递减区间为[－4,2)，所以函数的最大值为f(－4)＝35，最小值为f(2)＝－1.
(3)由y＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2可得，函数的对称轴为x＝－a，因为函数在[－4,6]上是单调函数，所以a≤－6或a≥4.即实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
4．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P(万元)和Q(万元)，它们与投入资金x(万元)的关系有经验公式：P＝，Q＝.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
解：设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元，
根据题意得y＝x＋(0≤x≤3)．
令＝t，则x＝3－t2,0≤t≤.
所以y＝(3－t2)＋t
＝－2＋，
当t＝时，ymax＝，
此时x＝0.75,3－x＝2.25.
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润为1.05万元．
5．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数f(x)＝，问函数f(x)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，u有最大值，umax＝4，显然u没有最小值．故当x＝1时，f(x)有最小值，没有最大值．
(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
(2)试研究函数y＝的最值情况．
解：(1)不正确．没有考虑到u还可以小于0.
正确解答如下：令u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4，
当0＜u≤4时，≥，即f(x)≥；
当u＜0时，＜0，即f(x)＜0.
∴f(x)＜0或f(x)≥，即f(x)既无最大值，也无最小值．
(2)∵x2＋x＋2＝2＋≥，∴0＜y≤，∴函数y＝的最大值为，而无最小值．
课时跟踪检测（十四） 函数的单调性
A级——学考水平达标练
1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝－3x＋1
C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x＋
解析：选C >0?f(x)在(0，＋∞)上为增函数，而f(x)＝及f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A、B错误；f(x)＝x＋在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D错误；f(x)＝x2＋4x＋3＝x2＋4x＋4－1＝(x＋2)2－1，所以f(x)在[－2，＋∞)上递增，故只有C正确．
2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
解析：选C 函数y＝x2－6x＋10图象的对称轴为直线x＝3，此函数在区间(2,3)上单调递减，在区间(3,4)上单调递增．
3．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
解析：选D 由函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.
4．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，则－1A．(－3,0) B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
解析：选B 由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－15．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∩(0,1)
C．(0,1) D．(0,1]
解析：选D 因为g(x)＝在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0.因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，所以a≤1.故满足题意的a的取值范围是(0,1]．
6．函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为________．
解析：y＝|x|(1－x)＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为.
答案：
7．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)解析：由题设得解得－1≤x<.
答案：
8．若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：由题意知函数f(x)＝8x2－2kx－7的图象的对称轴为x＝，因为函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，所以≤1或≥5，解得k≤8或k≥40，所以实数k的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)．
答案：(－∞，8]∪[40，＋∞)
9．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明：?x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
由于1＜x1＜x2，所以x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0，
故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
10．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．
解：f(x)＝的图象如图所示．
由图可知，函数f(x)的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．
B级——高考水平高分练
1．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2＋a|x－2|，
∴f(x)＝
又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴∴－4≤a≤0，
∴实数a的取值范围是[－4,0]．
答案：[－4,0]
2．已知定义在R上的函数y＝f(x)满足以下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝－f(x)；
②函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；
③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且＞0.
则f(－1)，f ，f(2)的大小顺序是________．(用“＜”连接)
解析：由①知f(1)＝－f(0)，f(0)＝－f(－1)，所以f(－1)＝f(1)．
由③知＜0，所以函数f(x)在[0,1]上为减函数，
结合②知，函数f(x)在[1,2]上为增函数，
所以f(1)＜f ＜f(2)，即f(－1)＜f ＜f(2)．
答案：f(－1)＜f ＜f(2)
3．用定义判断函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性．
解：设－2＜x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)
＝－
＝
＝.
∵－2＜x1＜x2，∴x2－x1＞0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
故当a＜时，f(x2)－f(x1)＜0，
∴f(x)在(－2，＋∞)是减函数．
当a＞时，f(x2)－f(x1)＞0，
∴f(x)在(－2，＋∞)是增函数．
综上得，a＜时，f(x)在(－2，＋∞)是减函数；
a＞时，f(x)在(－2，＋∞)是增函数．
4．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
5．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f ＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f ≤2.
解：(1)证明：设?x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，
所以f(x2)－f(x1)
＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，
所以f(x1)(2)因为f ＝f(x)－f(y)，
所以f(y)＋f ＝f(x)．
在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)，
因为f(2)＝1，所以f(4)＝2.
于是不等式f(x)－f≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3)．又由(1)，知f(x)是R上的增函数，
所以解得－1≤x<3或3所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]．
