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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十二)”
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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(十三)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（十三） 分段函数
A级——学考水平达标练
1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
解析：选B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数表达式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝
D．x＝
解析：选D 由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.
3．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )
A．1 B．
C． D．
解析：选D f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2×＝4，解得b＝.故选D.
4．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
5.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B 由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝所以f ＝－1＝－，所以f ＝f ＝－＋1＝.
6．已知f(x)＝则f ＋f ＝________.
解析：∵f(x)＝
∴f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝×2＝，
f ＝2×＝，
∴f ＋f ＝＋＝4.
答案：4
7．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
8．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝a，则实数a＝________.
解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
解：(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，
由x－4＝8，
得x0＝±2(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
10．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象．
解：(1)阴影部分的面积为
50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为
360 km.
(2)根据图象，有s＝
相应的图象如图所示：
B级——高考水平高分练
1．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝________.
解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴解得
∴f(x)＝
答案：
2．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________，________.
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15.①
由题意知4＜A，且＝＝30.②
由①②解得c＝60，A＝16.
答案：60 16
3．如图，函数f(x)的图象是由两条射线y1＝k1x＋b1(x≤1)，y2＝k2x＋b2(x≥3)及抛物线y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3)的一部分组成，求函数f(x)的解析式．
解：由题图知解得
所以左侧射线的解析式为y1＝－x＋2(x≤1)．
同理，右侧射线的解析式为y2＝x－2(x≥3)．
已知抛物线对应的二次函数的解析式为y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3)，由题图知a＜0，a＋2＝1，所以a＝－1，
所以抛物线的解析式为y3＝－x2＋4x－2(1＜x＜3)．
综上，f(x)＝
4.已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)求f(a2＋1)(a∈R)，f(f(3))的值；
(3)当f(x)≥2时，求x的取值范围．
解：(1)图象如图所示，作图时注意曲线端点处是实心点还是空心点．
(2)f(a2＋1)＝3－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋2，f(f(3))＝f(－6)＝13.
(3)当x＞0时，3－x2≥2，解得0＜x≤1；
当x＝0时，2≥2，符合题意；
当x＜0时，1－2x≥2，解得x≤－.
综上，当f(x)≥2时，x的取值范围为∪[0,1]．
5.如图，动点P从单位正方形ABCD的顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f 的值．
解：当点P在AB上运动时，y＝x；
当点P在BC上运动时，y＝，
当点P在CD上运动时，y＝，
当点P在DA上运动时，y＝4－x，
∴y＝
∴f ＝ ＝.
课时跟踪检测（十二） 函数的表示法
A级——学考水平达标练
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B 由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
2．如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
解析：选B 令t＝，得x＝，所以f(t)＝＝，所以f(x)＝.
3．已知f(x)＝x2＋px＋q，满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
解析：选D 由题意可知，1,2是方程f(x)＝0的两根．所以即所以f(x)＝x2－3x＋2.所以f(－1)＝(－1)2－3×(－1)＋2＝6.
4．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f 等于( )
A．1 B．3
C．15 D．30
解析：选C 令1－2x＝t，
则x＝(t≠1)，
∴f(t)＝－1(t≠1)，
即f(x)＝－1(x≠1)，
∴f ＝16－1＝15.
5．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x(x>0) B．y＝x(x>0)
C．y＝x(x>0) D．y＝x(x>0)
解析：选C 正方形外接圆的直径是它的对角线，又正方形的边长为，由勾股定理得(2y)2＝2＋2，∴y2＝，即y＝x(x>0)．
6．已知函数f(x)＝x－，且此函数图象过点(5,4)，则实数m的值为________．
解析：将点(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5.
答案：5
7．已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴∴
则f(x)＝2x－.
答案：2x－
8．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系数相等得解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2.
答案：2
9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，故定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
10．已知f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，求f(x)的解析式．
解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴解得∴f(x)＝x2－x＋3.
B级——高考水平高分练
1．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况：
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2019年5月1日
12
35 000
2019年5月15日
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
解析：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6＝8.
答案：8
2．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
答案：
3．设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，求f(x)的解析式．
解：法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0.①
又因为|x1－x2|＝＝2，
所以b2－4ac＝8a2.②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
法二：因为y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，
又|x1－x2|＝2，
所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－，0)，
(－2＋，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋)(x＋2－)．
因为f(0)＝1，所以a＝.
所以f(x)＝[(x＋2)2－2]＝x2＋2x＋1.
4．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小；
(3)求函数f(x)的值域．
解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，
列表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
y
－5
0
3
4
3
0
－5
描点，连线，得函数图象如图所示．
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)＜f(0)＜f(1)．
(2)根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时，有f(x1)＜f(x2)．
(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
5．某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式．
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
解：(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝kx＋b(k≠0)．
由题意，得16＝4k＋b,10＝7k＋b，
解得k＝－2，b＝24，
所以y＝－2x＋24.
(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，
则由(1)知S＝xy，
所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，
所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，
则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.
所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.
