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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十八)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十八） 函数的零点与方程的解
A级——学考水平达标练
1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( )
A. B.
C. － D. －
解析：选B 函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)＞0，f(2)＜0，则f(x)在(1,2)上的零点( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
解析：选C 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)＜0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则必有f(1)·f(2)＞0，与已知矛盾．
3．函数f(x)＝x2＋ln x－4的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B f(1)＝12＋ln 1－4＝－3＜0，f(2)＝22＋ln 2－4＝ln 2＞0，∴f(x)的零点在(1,2)内，故选B.
4．方程x＋log3x＝3的解为x0，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则n＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 设f(x)＝x＋log3x－3，则f(1)＝1＋log31－3＝－2＜0，f(2)＝2＋log32－3＝log32－1＜0，f(3)＝3＋log33－3＝1＞0，又易知f(x)为单调增函数，∴方程x＋log3x＝3的解在(2,3)内，因此n＝2.故选C.
5．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0,1]
解析：选D 作出函数f(x)的图象，由图象知，当0＜k≤1时，
y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实根，所以0＜k≤1，故选D.
6．若函数f(x)＝ax＋1－2a的零点是1，则a＝________.
解析：依题意得f(1)＝0，即a＋1－2a＝0，解得a＝1.
答案：1
7．函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
解析：作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．
答案：3
8．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2＜0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
答案：0
9．求函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数，并写出它的一个大致区间．
解：设g(x)＝log2x，h(x)＝－2x＋7，
作出g(x)，h(x)的图象如图所示．
由图可知g(x)与h(x)只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0有一个根，
∴函数f(x)有一个零点．f(2)＝log22＋22－7＝－2，f(3)＝log23＋23－7＞0，
∴f(2)·f(3)＜0.
∴零点的一个大致区间为(2,3)．
10．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
解：原方程可化为：x2＋x＋＋2＝0，
令f(x)＝x2＋x＋＋2，则f(4)＜0，
即16＋＋＋2＜0，即＜－13，
解得－＜m＜0.故实数m的取值范围是.
B级——高考水平高分练
1．若函数y＝|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1,0) D．(0，＋∞)
解析：选C 因为函数y＝|x－1|＋m有零点，所以方程|x－1|＋m＝0有解，
即方程|x－1|＝－m有解，因为|x－1|≥0，所以0＜|x－1|≤1，即0＜－m≤1，因此－1≤m＜0，故选C.
2．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A． B．[－1,0]
C．(－∞，－2] D．
解析：选A 由题意可得函数y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有两个不同的零点，函数图象的对称轴为直线x＝，所以函数的最小值为－－m.当x＝0时，y＝4－m，当x＝3时，y＝－2－m＜4－m，所以－－m＜0≤－2－m，解得－＜m≤－2.
3．若函数f(x)＝|x2－2x|－a有4个零点，求实数a的取值范围．
解：函数f(x)＝|x2－2x|－a的零点就是方程|x2－2x|－a＝0的解．
由|x2－2x|－a＝0，得|x2－2x|＝a.
在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x2－2x|的图象，再作出直线y＝a，使它们有4个交点，如图，
则实数a的取值范围是(0,1)．
4．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜；
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ＜0，可解得m＞.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m＞时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
5．已知函数f(x)＝logx＋－.
(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f(x)有零点；
(3)设f(x)的零点x0落在区间内，求正整数n的值．
解：(1)证明：显然，f(x)的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x10，x1x2>0，则－＝>0，logx1>logx2，则logx1－logx2>0，所以f(x1)－f(x2)＝(logx1－logx2)＋>0，所以f(x1)>f(x2)．故f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f(1)＝0＋－＝－8<0，f＝4＋8－＝>0，所以f(1)·f<0，又因为f(x)在区间上是连续的，所以f(x)有零点．
(3)f ＝log＋－
＝log211－3>log28－3＝0，
f ＝log＋5－
＝log210－＝log25－
＝log2－log2<0，
所以f f <0，
所以f(x)的零点x0落在区间内．故n＝10.
