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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十九)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十九） 用二分法求方程的近似解
A级——学考水平达标练
1．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
解析：选C 因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．
2．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
解析：选C 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＜0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,1.5)内的近似解的过程中，有f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则该方程的根所在的区间为( )
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：选B ∵f(1.25)·f(1.5)<0，∴该方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．故选B.
4．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则( )
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
解析：选B 由f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在性定理可知f(x)在上有零点．
5．用二分法逐次计算函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值时，参考数据如下：
f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，f(1.437 5)≈0.162，f(1.406 25)≈－0.054，
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5 B．1.25
C．1.375 D．1.437 5
解析：选D 由参考数据知，f(1.406 25)≈－0.054，f(1.437 5)≈0.162，则f(1.406 25)·f(1.437 5)<0，且|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.437 5，故选D.
6．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01，取端点值为近似解)的近似值，那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．
解析：设等分的次数为n，由<0.01，得2n>10，∴n的最小值为4，即将区间(0,0.1)等分的次数至少为4.
答案：4
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．
解析：因为f(2)·f(3)＜0，所以零点在区间(2,3)内．
答案：(2,3)
8．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．
解析：设f(x)＝x3－2x－1，
则f(1)＝1－2－1＝－2<0，
f(2)＝8－4－1＝3>0.
取区间(1,2)的中点，
则f＝3－2×－1＝－<0，
故下一步可以断定该根所在区间为.
答案：
9．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．
下面用二分法求解：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
1.328
(1,1.5)
1.25
0.128
(1,1.25)
1.125
－0.444
(1.125,1.25)
1.187 5
－0.160
因为f(1.187 5)·f(1.25)＜0，且|1.187 5－1.25|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.
10．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?
解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64,27＝128，故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．
B级——高考水平高分练
1．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
证明：∵f(1)>0，
∴f(1)＝3a＋2b＋c>0，
即3(a＋b＋c)－b－2c>0.
∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c>0，
∴－b－c>c，即a>c.
∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.
取区间[0,1]的中点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.
∵f(0)>0，f(1)>0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)为二次函数，最多有两个零点，
∴f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
2．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：∵f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
∴f(0)·f(2)＝－<0，
由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)＝－<0，下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝(1＋2)＝，得f＝－<0，
∴f(1)·f＝－<0，下一个有解区间为.
再取x3＝＝，得f＝>0，
∴f ·f <0，下一个有解区间为.
故f(x)＝0的实数解x0在区间内．
