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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十二)”
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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十三)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十三） 零点的存在性及其近似值的求法
A级——学考水平达标练
1．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f(x)不一定存在零点的是( )
x
1
2
3
5
f(x)
3
－1
2
0
A．(1,2) B．[1,3]
C．[2,5) D．(3,5)
解析：选D 由图表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.
由f(1)·f(2)<0，可知函数f(x)在(1,2)上一定有零点，则函数f(x)在[1,3]上一定有零点．
由f(2)·f(3)<0，可知函数f(x)在(2,3)上一定有零点，则函数f(x)在[2,5)上一定有零点．
由f(3)>0，f(5)＝0，可知f(x)在(3,5)上不一定有零点．所以函数f(x)不一定存在零点的是(3,5)．
2．已知f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( )
A．9 B．8
C．7 D．6
解析：选A f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，
则x2＋6x＋c＝0，有两个相等的实数根，则Δ＝36－4c＝0，解得c＝9.
3．函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是( )
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：选D 因为函数f(x)＝x3－9在R上单调递增，
且f(2)＝8－9＝－1<0，f(3)＝27－9＝18>0，
所以根据零点存在定理，可得函数f(x)＝x3－9的零点所在的大致区间是(2,3)．
4．用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.812 5
f(x)
－6
3
－2.625
－1.459
－0.14
1.341 8
0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为( )
A．1.6 B．1.7
C．1.8 D．1.9
解析：选C 由表格可得，函数f(x)＝x3＋2x－9的零点在(1.75,1.875)之间，
结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8，故选C.
5．对任意实数a，b定义运算?：a?b＝设f(x)＝(x2－1)?(4＋x)，若函数y＝f(x)＋k有三个零点，则实数k的取值范围是( )
A．(－1,3] B．[－3,1]
C．[－1,2) D．[－2,1)
解析：选D 由题意可得
f(x)＝
作出f(x)的函数图像，如图所示．
因为y＝f(x)＋k有三个零点，
所以－1<－k≤2，即－2≤k<1.
6．若函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是__________．
解析：函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.
答案：(－∞，0]
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
答案：3 0
8．若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]内至少有一个零点，则实数a的取值范围为________．
解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]内至少有一个零点，且f(0)＝2>0，结合函数f(x)的图像(图略)，所以或解得≤a≤4或a>4，即a≥.所以实数a的取值范围为[，＋∞)．
答案：[，＋∞)
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：∵f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
∴f(0)·f(2)＝－<0，
由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)＝－<0，下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0，
∴f(1)·f＝－<0，下一个有解区间为.
再取x3＝×＝，得f＝>0，
∴f·f<0，下一个有解区间为.
故f(x)＝0的实数解x0在区间内．
10．若方程x2－2kx＋k2－1＝0有两个不等实数根介于－2与4之间，求k的取值范围．
解：令f(x)＝x2－2kx＋k2－1，
则二次函数f(x)的图像的对称轴方程为x＝k，
由题意可得
解得－1
B级——高考水平高分练
1．已知函数y＝f(x)为[0,1]上的连续函数，且f(0)·f(1)<0，使用二分法求函数零点，要求近似值精确度达到0.1，则需对区间至多等分的次数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C 设需计算n次，则n满足<0.1，即2n>10.因为23＝8,24＝16，所以计算4次就可满足要求，所以将区间(1,2)等分的次数为4次．
2．已知函数f(x)＝函数g(x)＝b－f(3－x)，其中b∈R，若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则实数b的取值范围是( )
A. B.
C. D．(－3,0)
解析：选B 因为f(x)＝
所以f(3－x)＝
由y＝f(x)－g(x)＝f(x)＋f(3－x)－b＝0.
得b＝f(x)＋f(3－x)，
令h(x)＝f(x)＋f(3－x)＝
函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即y＝b与h(x)＝f(x)＋f(3－x)的图像有4个不同交点，
作出函数图像如图所示．
结合函数的图像可得，
当－33．已知函数f(x)＝3x2－5x＋a的两个零点分别为x1，x2，且－2解：因为f(x)＝3x2－5x＋a，
所以f(x)的图像是开口向上的抛物线．
由题意得即
解得－12故实数a的取值范围为(－12,0)．
4．已知函数f(x)＝x|x－1|－a.
(1)当a＝0时，在直角坐标系内画出f(x)的图像，并写出函数的单调区间；
(2)讨论函数y＝f(x)零点的个数．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝则函数y＝f(x)的图像如图所示，
由图可知，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
(2)函数y＝f(x)零点的个数等价于函数y＝x|x－1|的图像与直线y＝a的交点个数，由(1)得：
①当a<0或a>时，函数y＝f(x)零点的个数为1个；
②当a＝0或a＝时，函数y＝f(x)零点的个数为2个；
③当05．北京时间2018年4月10日18时19分智利发生6.0级地震，震源深度50千米．地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
解：如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可迅速查出故障所在．
课时跟踪检测（二十二） 函数的零点、二次函数
A级——学考水平达标练
1．下列说法中正确的个数是( )
①f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为(－1,0)；
②f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1；
③y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴的交点；
④y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 根据函数零点的定义，f(x)＝x＋1，x∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.
2．函数f(x)＝x3－4x的零点为( )
A．(0,0)，(2,0) B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2 D．0,2
解析：选C 令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
3．函数f(x)＝(x2－1) 的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 要使函数有意义，则x2－4≥0，
即x2≥4，x≥2或x≤－2.
由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)．
即x＝2或x＝－2，所以函数的零点个数为2个．
4．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是( )
A. B．R
C. D．?
解析：选A 因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图像与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B、C、D，故选A.
5．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3)
C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选A 由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
6．函数f(x)＝2 019x＋1的零点为________．
解析：令f(x)＝0，则x＝－.
答案：－
7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图像与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．
解析：根据二次函数的图像知，所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
8．已知函数f(x)＝若f(a)≤3，则a的取值范围是________．
解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，所以0≤a≤1；
当a<0时，－a2＋2a≤3，所以a<0.
综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
9．若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x2－5x＋3>0，
即2x2＋5x－3<0，解得－3即不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集为.
10．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，解得m＜；
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ＜0，可解得m＞.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m＞时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，解得m＝1.
B级——高考水平高分练
1．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4,4)
C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．[－4,4]
解析：选A 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.
2．一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是( )
A. B．(－∞，－5)
C. D.
解析：选C 关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则
解得－≤m<－5.
3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(aA．a<α<βC．α解析：选A ∵α，β为f(x)＝0的两根，∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图像可由g(x)图像向上平移2个单位得到，由图知选A.
4．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点．
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
解：(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，
所以f(x)＝x2－4x＋3，
令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，
得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
5．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；
(2)若方程的两不相等实根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
解：(1)令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，
依题意得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图像与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出图像如图所示．
由图像得即
所以－(2)根据函数图像与x轴的两个交点均在区间(0,1)内，画出图像如图所示．
由图像得
即
所以－即m的取值范围是.
