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“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十四)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十四） 函数的应用(一)
数学建模活动：国民收入、消费与投资的描述
A级——学考水平达标练
1．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为( )
A．40元/件 B．42元/件
C．54元/件 D．60元/件
解析：选B 设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件．
2．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
解析：选D 设一段长为x cm，则另一段长为(12－x) cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知03．某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m元收费．已知某户某月缴水费16m 元，则该户这个月的实际用水量为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
解析：选A 由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝
由y＝16m，得x>10，所以2mx－10m＝16m，
解得x＝13.故选A.
4．一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸( )
A．215份 B．350份
C．400份 D．250份
解析：选C 设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表.
数量/份
单价/元
金额/元
买进
30x
2
60x
卖出
20x＋10×250
3
60x＋7 500
退回
10(x－250)
0.8
8x－2 000
y＝[(60x＋7 500)＋(8x－2 000)]－60x
＝8x＋5 500(250≤x≤400，x∈N)．
因为y＝8x＋5 500在[250,400]上是增函数；
所以当x＝400时，y取得最大值8 700.
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元．故选C.
5．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，费用总和最小．
解析：设每小时的燃料费y＝kv2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k＝＝，费用总和为＝10≥10×2＝48，当且仅当v＝，即v＝40时取等号．
答案：40
6．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则车速为________km/h时，汽车的耗油量最少．
解析：Q＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v2－70v)＋4.27＝0.002 5[(v－35)2－352]＋4.27＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5.
故v＝35 km/h时，耗油量最少．
答案：35
7．统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.
季度
1
2
3
4
每千克售价
(单位：元)
19.55
20.05
20.45
19.95
某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m”收购这种水果，其中的最佳近似值m这样确定，即m与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m的值为________．
解析：设y＝(m－19.55)2＋(m－20.05)2＋(m－20.45)2＋(m－19.95)2＝4m2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，
则当m＝＝20时，y取最小值．
答案：20
8.如图，一动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A.若点P经过的路程为x，点P到顶点A的距离为y，则y关于x的函数关系式是________．
解析：①当0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x.
②当1根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2，
所以y＝AP＝＝.
③当2根据勾股定理，得AP2＝AD2＋DP2，
所以y＝AP＝＝.
④当3所以所求的函数关系式为y＝
答案：y＝
9．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
(1)求y与x的函数解析式．
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？
解：(1)由图像知，可设y＝kx＋b，x∈[0,200]时，代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k＝10，b＝－1 000，
从而y＝10x－1 000；
x∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)，解得k＝15，b＝－2 500，
从而y＝15x－2 500，
所以y＝
(2)每天的盈利额超过1 000元，则x∈(200,300]，由15x－2 500>1 000，得x>，故每天至少需要卖出234张门票．
10．某地上年度电价为0.8元/千瓦时，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/千瓦时之间(包含0.55元/千瓦时和0.75元/千瓦时)，经测算，若电价调至x元/千瓦时，则本年度新增用电量y(亿千瓦时)与(x－0.4)(元/千瓦时)成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每千瓦时电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?
[收益＝用电量×(实际电价－成本价)]
解：(1)因为y与(x－0.4)成反比，所以可设y＝(k≠0)，把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝，解得k＝0.2，所以y＝＝，所以y与x之间的函数关系式为y＝(0.55≤x≤0.75)．
(2)根据题意，得(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，整理得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5(舍去)或x2＝0.6，所以当电价调至0.6元/千瓦时时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.
B级——高考水平高分练
1．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元，6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元，则2个茶杯和3包茶叶的价格比较( )
A．2个茶杯贵 B．3包茶叶贵
C．两者相同 D．无法确定
解析：选A 设茶杯单价为x元，茶叶每包为y元，则4x＋5y<22且6x＋3y>24，则原问题可转化为比较t＝2x－3y与0的大小．
设4x＋5y＝m,6x＋3y＝n，
则2x＝，3y＝，
故t＝2x－3y＝>＝0，
所以2个茶杯贵．
2．某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为________万元．
解析：设年增长率为x(x>0)，则×(1＋x)2＝1 690，所以1＋x＝，因此2018年预计经营总收入为×＝1 300(万元)．
答案：1 300
3．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)．
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式．
得所以
所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，
有y＝1.6×42＋11＝78.2.
所以给出的这套桌椅是配套的．
4．某市居民生活用水收费标准如下：
用水量x/t
每吨收费标准/元
不超过2 t部分
m
超过2 t不超过4 t部分
3
超过4 t部分
n
已知某用户1月份用水量为8 t，缴纳的水费为33元；2月份用水量为6 t，缴纳的水费为21元．设用户每月缴纳的水费为y元．
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)若某用户3月份用水量为3.5 t，则该用户需缴纳的水费为多少元？
(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少t水．
解：(1)由题设可得y＝
当x＝8时，y＝33；当x＝6时，y＝21，
代入得解得
所以y关于x的函数解析式为y＝
(2)当x＝3.5时，y＝3×3.5－3＝7.5，
故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元．
(3)令6x－15≤24，解得x≤6.5.
故该用户最多可以用6.5 t水．
5．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图像(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．根据图像提供的信息解答下列问题：
(1)由已知图像上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止第几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元．
解：(1)由二次函数图像可设S与t的函数关系式为
S＝at2＋bt＋c.
由题意，得或
或
无论哪个均可解得a＝，b＝－2，c＝0，
所以所求函数关系式为S＝t2－2t.
(2)把S＝30代入，得30＝t2－2t，
解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，
所以截止第10个月末公司累积利润可达到30万元．
(3)把t＝7代入，得
S＝×72－2×7＝＝10.5(万元)，
把t＝8代入，得
S＝×82－2×8＝16(万元)，
则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，
所以第八个月公司所获利润为5.5万元．
