课件34张PPT。－x∈Df(－x)＝f(x)－x∈Df(－x)＝－f(x)y轴原点原点
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(二十一)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十一） 函数的奇偶性
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1．(2019·宁波高一检测)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝( )
A．21 B．－21
C．26 D．－26
解析：选B 设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)＞f(1)，则下列各式中一定成立的是( )
A．f(－1)＜f(3) B．f(0)＜f(5)
C．f(3)＞f(2) D．f(2)＞f(0)
解析：选A f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，
又f(3)＞f(1)，所以f(3)＞f(－1)成立．
3．如果奇函数f(x)在区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
解析：选C ∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上的单调性一致，且f(7)为最小值．又∵f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
4．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
解析：选A ∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．
5．函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：选D ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，
得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，
又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
答案：12
7．若定义在(－1,1)上的奇函数f(x)＝，则常数m，n的值分别为________．
解析：由已知得f(0)＝0，故m＝0.
由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.
答案：0,0
8．设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为________．
解析：根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，又f(－2)＝0，
则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的草图如图所示，
又由xf(x)<0，
可得或
由图可得－22，
即不等式的解集为
(－2,0)∪(2，＋∞)．
答案：(－2,0)∪(2，＋∞)
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
10．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.
(1)求f(x)的表达式；
(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＝x2－4x.
因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2－4x)＝－x2＋4x(x<0)．
所以f(x)＝
(2)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x2)－f(x1)＝(x＋4x2)－(x＋4x1)＝(x2－x1)·(x2＋x1＋4)．
因为00，x2＋x1＋4>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x1)所以f(x)是(0，＋∞)上的增函数．
B级——高考水平高分练
1.设奇函数f(x)的定义域为[－6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图像如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为________．
解析：由f(x)在[0,6]上的图像知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．
答案：[－6，－3)∪(0,3)
2．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是____________．
解析：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，
∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
∵f(x)的图像开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(2)答案：f(－2)3．已知函数f(x)＝是R上的偶函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；
(3)求函数f(x)在[－3,2]上的最大值与最小值．
解：(1)若函数f(x)＝是R上的偶函数，
则f(－x)＝f(x)，即＝，
解得m＝0.
(2)函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．理由如下：
由(1)知f(x)＝，
设任意的x1，x2∈(－∞，0]，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x10，(1＋x)·(1＋x)>0，
所以f(x1)所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
(3)由(2)知函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．
又f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
所以f(x)在[－3,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数，
又f(－3)＝，f(0)＝1，f(2)＝，
所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(－3)＝.
4．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．
(2)由(1)知f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
5．已知函数f(x)＝x2－mx(m>0)在区间[0,2]上的最小值为g(m)．
(1)求函数g(m)的解析式；
(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝g(x)．若h(t)>h(4)，求实数t的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－mx＝2－(m>0)，
所以当0此时g(m)＝f＝－.
当m>4时，函数f(x)＝2－在区间[0,2]上单调递减，
所以g(m)＝f(2)＝4－2m.
综上可知，g(m)＝
(2)因为当x>0时，h(x)＝g(x)，
所以当x>0时，h(x)＝
易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)>h(4)，
所以0<|t|<4，解得－4综上所述，实数t的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．
