课件37张PPT。a∈Aa?A非负整数NZQR整数有理数实数0N＋或N*广泛性整体性描述性组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明方向性唯一性符号“∈”“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合a∈A与a?A取决于a是不是集合A中的元素，只有属于和不属于两种关系推理法直接法(2)判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可(1)使用前提：对于某些不便直接表示的集合(1)使用前提：集合中的元素是直接给出的
(2)判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可
“课下双层级演练过关”见“课时跟踪检测(一)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件35张PPT。[a ，b](a，b)[a，b)(a，b](－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)书写集合分清元素列元素时要做到不重复、不遗漏列举法表示集合，要分清是数集还是点集
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（一） 集合的含义
A级——学考水平达标练
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1,2,3和 ，1，组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
解析：选C A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．
2．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是( )
A．3∈A且－3?A B．3∈A且－3∈A
C．3?A且－3?A D．3?A且－3∈A
解析：选D ∵3－1＝2>，∴3?A.
又－3－1＝－4<，∴－3∈A.
3．下面几个命题中正确命题的个数是( )
①集合N*中最小的数是1；
②若－a?N*，则a∈N*；
③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集组成的集合有2个元素．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N*，且a?N*，故②错误；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④是错误的．故①③正确．
4．已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M B．－1∈M
C．3?M D．1∈M
解析：选B 当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．
5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：选B 若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0?A.故选B.
6．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或?)．
解析：∵a是偶数，b是奇数，
∴a＋b是奇数，ab是偶数，
故a＋b?A，ab∈A.
答案：? ∈
7．若集合A中有两个元素－1和2，集合B中有两个元素x，a2，若集合A与B相等，则x＝________，a＝________.
解析：由题意可知x＝－1，a2＝2，即a＝±.
答案：－1 ±
8．已知不等式x－a≥0的解组成的集合为A，若3?A，则实数a的取值范围是________．
解析：因为3?A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.
答案：a>3
9．已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
解：由题意知x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
①当x－2＝－3时，x＝－1，把x＝－1代入得集合的三个元素为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性．所以x＝－1舍去．
②当2x2＋5x＝－3时，x＝－或x＝－1(舍去)，把x＝－代入得集合的三个元素为－，－3,12，满足集合中元素的互异性．
由①②可知x＝－.
10．方程ax2＋2x＋1＝0，a∈R的根组成集合A.当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素．
解：A中有且只有一个元素，即ax2＋2x＋1＝0有且只有一个根或有两个相等的实根．①当a＝0时，方程的根为－；②当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，得a＝1，此时方程的两个相等的根为－1.综上，当a＝0时，集合A中的元素为－；当a＝1时，集合A中的元素为－1.
B级——高考水平高分练
1．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2
解析：∵x∈N,2∴结合数轴知a＝6.
答案：6
2．含有三个实数的集合A中有a2，，a三个元素，若0∈A且1∈A，则a2 019＋b2 019＝________.
解析：由0∈A，“0不能做分母”可知a≠0，故a2≠0，所以＝0，即b＝0.又1∈A，可知a2＝1或a＝1.当a＝1时，
得a2＝1，由集合元素的互异性，知a＝1不合题意．
当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(由集合元素的互异性，舍去)．
故a＝－1，b＝0，所以a2 019＋b2 019的值为－1.
答案：－1
3．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且集合A与集合B的元素相同，求a＋b的值．
解：因为集合A与集合B的元素相同，且1∈A,2∈A，
所以1∈B,2∈B，即1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数根．
所以所以
故a＋b＝－1.
4．集合A中共有3个元素－4,2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5,1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，根据上述条件求出实数a的值．
解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4,9,25；B中的元素为9,0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4,5,9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9；B中的元素为9，－8,4，符合题意．
综上所述，a＝－3.
5．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．
解：根据已知条件“若a∈A，则∈A(a≠1)”逐步推导得出其他元素．
(1)其他所有元素为－1，.
(2)假设－2∈A，则∈A，则∈A.其他所有元素为，.
(3)A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
证明如下．
由已知，若a∈A，则∈A知，＝∈A，＝a∈A.
故A中只能有a，，这3个元素．
下面证明三个元素的互异性．若a＝，则a2－a＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a≠.
同理可证，a≠，≠，
所以A中只能有3个元素，它们是a，，，且三个数的乘积为－1.
课时跟踪检测（二） 集合的表示
A级——学考水平达标练
1．下列说法中正确的是( )
A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素
B．集合{0}中没有元素
C.∈{x|x<2}
D．{1,2}与{2,1}是不同的集合
解析：选A {x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以?{x|x<2}；根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合．
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
解析：选B {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
3．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
解析：选D 选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．
4．方程组的解集是( )
A．(－5,4) B．(5，－4)
C．{(－5,4)} D．{(5，－4)}
解析：选D 解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D.
5．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B
C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
7．已知A＝(－2,3]，B＝[2，＋∞)，若x∈A且x∈B，则x的取值范围为________．
解析：如图，
可知x的取值范围为[2,3]．
答案：[2,3]
8．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________.
解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，
所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，
解得x＝1或x＝3，
所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．
答案：{1,3}
9．选择适当的方法表示下列集合：
(1)大于1且小于8的有理数；
(2)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合；
(3)方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合；
(4)100以内被3除余1的正整数．
解：(1)大于1且小于8的有理数有无数个，用描述法表示为{x∈Q|1＜x＜8}．
(2)集合的元素是点，点有无数个，用描述法表示为{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}．
(3)方程(x2－9)x＝0的实数解有三个－3,0,3，集合用列举法表示为{－3,0,3}，也可以用描述法表示为{x|(x2－9)x＝0}．
(4)100以内被3除余1的正整数用列举法表示为{1,4,7,10,13，…，100}，用描述法表示为{x|x＝3k＋1，k∈N，x≤100}．
10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B.
解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3,1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3,1.由根与系数的关系得解得所以y＝x2＋3x－3.将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理，得x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2，所以B＝{－3－2，－3＋2}．
B级——高考水平高分练
1．对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )
A．18 B．17
C．16 D．15
解析：选B 因为1＋15＝16,2＋14＝16,3＋13＝16,4＋12＝16,5＋11＝16,6＋10＝16,7＋9＝16,8＋8＝16,9＋7＝16,10＋6＝16,11＋5＝16,12＋4＝16,13＋3＝16，14＋2＝16,15＋1＝16,1×16＝16,16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.
2．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．
解析：∵甲最终的得分为27分，
∴甲答对了10道题目中的9道，
∵甲和乙都解答了所有的试题，
∴甲必然有一道题目答错了，不妨设为第一题．
∵甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项不同，如果是第一道题，则乙可能答错，也可能答对，此时乙可得27分或30分．
如果是第一道题以外的一个题目，
则乙一定答错，而第一道题，
则乙也一定答错，此时乙可得24分．
综上可得：乙的所有可能的得分值组成的集合为{24,27,30}．
答案：{24,27,30}
3．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．
(1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
(2)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解：(1)集合A中含有两个元素，
即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，
∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，
解得a<且a≠0，
∴实数a的取值范围为(－∞，0)∪.
(2)当a＝0时，x＝，符合题意；
当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥.
∴实数a的取值范围为∪{0}．
4．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．
解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，
令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.
故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．
(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.
当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6?M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．
故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.
