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第 6 页 共 6 页
习题课（三） 函数
一、选择题
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[－1,2] B．(－1,2]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：选B 要使函数f(x)＝＋有意义，则解得－1＜x≤2，故选B.
2．已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．2 B.
C．5 D.
解析：选C ∵－1≤－＜0，
∴f＝2×＋3＝2.
∴f＝f(2)＝5.
3．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
则由
解得0因为x∈N*，所以x的最大值为16.
4．函数f(x)＝的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)
解析：选D ?x1，x2∈(－∞，0)，且x15．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )
A．－3 B．－3或3
C．－1 D．－1或1
解析：选D ∵f(－1)＝＝1，∴f(a)＝1.
①当a≥0时，f(a)＝＝1，∴a＝1.
②当a＜0时，f(a)＝＝1，∴a＝－1.
综上可知，a＝1或－1.
6．已知函数f(x)＝－x2＋x＋1，x∈的最值情况为( )
A．有最小值，有最大值1
B．有最小值，有最大值
C．有最小值1，有最大值
D．有最小值，无最大值
解析：选B f(x)＝－2＋，所以f(x)max＝f＝，f(x)min＝f＝.
7．若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是( )
A．单调递减的奇函数 B．单调递增的偶函数
C．单调递减的偶函数 D．单调递增的奇函数
解析：选A 法一(数形结合法)：先画出f(x)＝x3的图像，再将其关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图像如图，由图像得y＝f(－x)为减函数，由图像关于原点对称得f(－x)为奇函数，故选A.
法二(直接法)：因为f(x)＝x3，所以f(－x)＝－x3，所以y＝－x3是单调递减的奇函数．
8．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
解析：选A 若x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(－x1)>f(x2)，即f(－x1)>f(－x2)．
9．函数y＝在区间(－∞，a)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－1]
C．[0，＋∞) D．[－1，＋∞)
解析：选B y＝＝＝－3＋(x≠－1)．如图．由图可知函数在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上单调递减，故a≤－1.
10．甲、乙二人从A地沿同一方向去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1
解析：选A 由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图像是重合的线段，由此排除C、D.再根据v1二、填空题
11．观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：
梯形个数 1 2 3 4 5 …
图形周长 5 8 11 14 17 …
当梯形个数为n时，这时图形的周长l与n的函数解析式为____________．
解析：由表格可推算出两变量的关系，或由图形观察知，周长与梯形个数关系为l＝3n＋2(n∈N*)．
答案：l＝3n＋2(n∈N*)
12．函数y＝(x≥2)的值域为________．
解析：y＝＝＝3－，在[2，＋∞)上是增函数，所以y≥3－＝，又因为当x∈[2，＋∞)时，3－<3，所以原函数的值域为.
答案：
13．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴图像关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图像如图所示，由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.
答案：(－1,3)
14．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1,2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是______．(填序号)
①y＝；②y＝|x|；③y＝；④y＝x2＋1.
解析：本题主要考查函数的三要素．对于①②④，由于它们的图像都关于y轴对称，故当x∈[1,2]与x∈[－2，－1]时，上述函数对应的值域相同，即它们能够被用来构造“同族函数”．
答案：①②④
三、解答题
15．(1)求函数f(x)＝＋(x－1)0＋的定义域．(要求用区间表示)
(2)若函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(3)的值和f(x)的解析式．
解：(1)要使函数f(x)有意义需满足
解得x≤2且x≠1且x≠－1，
所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2]．
(2)因为f(x＋1)＝x2－2x，
所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，
故f(x)＝x2－4x＋3(x∈R)，所以f(3)＝0.
16．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：
(1)试确定y与x的函数解析式；
(2)求f(－3)，f(1)的值；
(3)若f(x)＝16，求x的值．
解：(1)y＝
(2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.
(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，
解得x＝2或x＝－6(舍去)．
若x＜1，则x2＋2＝16，
解得x＝(舍去)或x＝－.
综上，可得x＝2或x＝－.
17．已知奇函数f(x)＝
(1)求实数m的值；
(2)画出函数的图像；
(3)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围．
解：(1)当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以当x<0时，f(x)＝x2＋2x，则m＝2.
(2)由(1)知f(x)＝
函数f(x)的图像如图所示．
(3)由图像可知f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，
只需－1<|a|－2≤1，
即1<|a|≤3，解得－3≤a<－1或1所以实数a的取值范围是[－3，－1)∪(1,3]．
18.如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.
(1)试用a，b表示S；
(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
解：(1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a>0，b>0，
∴ab＝28 800.①
设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，∴h＝，
∴透光部分的面积S＝(a－18)×＋(a－12)×＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288＝28 800－2(9a＋8b)＋288＝29 088－2(9a＋8b)．
(2)∵9a＋8b≥2＝2＝2 880，当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝160，从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值．
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大．
