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习题课（二） 不等式
一、选择题
1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．AB D．A>B
解析：选B ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)＝2＋b2≥0，∴A≥B.
2．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1A．{x|－1C．{x|1解析：选A ∵A＝{x|－13．设m>1，P＝m＋，Q＝5，则P，Q的大小关系为( )
A．PC．P≥Q D．P≤Q
解析：选C 因为m>1，所以P＝m＋＝m－1＋＋1≥2＋1＝5＝Q.当且仅当m－1＝，即m＝3时等号成立，故选C.
4．不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A. B．{x|x>1}
C．{x|x<1或x>2} D.
解析：选D ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x<－或x>1，∴不等式的解集为.
5．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a≥2
C．a≥3 D．a≤3
解析： 选D 因为x>1，所以x－1>0，则x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，由x＋≥a恒成立得a≤3.
6．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于( )
A．[－1,0) B．(0,1]
C．(－∞，－2) D．[0,1]
解析：选B 因为A＝{x|－1≤2x＋1≤3}＝[－1,1]，
B＝＝{x|(x－2)x≤0，且x≠0}＝(0,2]．
所以A∩B＝(0,1]．
7.《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤ (a>0，b>0)
解析：选D 由图形可知OF＝AB＝，OC＝.在Rt△OCF中，由勾股定理可得CF＝＝.∵CF≥OF，∴≤(a>0，b>0)．
8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定
解析：选B 设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T＝＋＝＋＝s×，ta＋tb＝s?2t＝，∴T－2t＝－＝s×＝>0，故选B.
二、填空题
9．若a＜b＜0，则与的大小关系为________．
解析：∵－＝，a＜b＜0.∴a－b＜0，∴－＜0.∴＜.
答案：＜
10．已知x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．
解析：∵x>2，m>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，当x＝2＋时取等号，又x＋(x>2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.
答案：4
11．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，1)，则不等式>0的解集为________．
解析：∵关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－∞，1)，∴a<0，且－＝1.
∴不等式>0可化为<0，即<0，解得－2答案：(－2，－1)
12．若＜0(m≠0)对一切x≥4恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意，对任意的x≥4，有y＝(mx＋1)·(m2x－1)＜0恒成立，结合图像分析可知由此解得m＜－，即实数m的取值范围是 .
答案：
三、解答题
13. 当x>3时，求的取值范围．
解：∵x>3，∴x－3>0.
∴＝
＝2(x－3)＋＋12≥2 ＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，上式等号成立．
14．解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
解：原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，
即<0.
①当－<，即a>0时，－②当－＝，即a＝0时，原不等式解集为?；
③当－>，即a<0时，综上知，当a>0时，原不等式的解集为
；
当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a<0时，原不等式的解集为.
15．已知a>0，b>0，＋＝1，求＋的最小值．
解：∵正数a，b满足＋＝1，
∴a>1，且b>1，＋＝1变形为＝1，
∴ab＝a＋b，∴ab－a－b＝0，
∴(a－1)(b－1)＝1，∴a－1＝，
∵a－1>0，∴＋＝＋9(a－1)≥2＝6，
当且仅当＝9(a－1)，即a＝1±时取“＝”，
由于a>1，故取a＝，∴＋的最小值为6.
16. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元．
(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，
试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大．
(注：价值损失的百分率＝×100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计)
解：(1)由题意可设价值与重量的关系式为：y＝kx2，
∵3克拉的价值是54 000美元，
∴54 000＝k·32，解得k＝6 000，∴y＝6 000x2，
∴此钻石的价值与重量的关系式为y＝6 000x2.
(2)证明：若两颗钻石的重量为m，n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2，
现有价值是6 000m2＋6 000n2，价值损失的百分率：
×100%＝×100%≤＝，
当且仅当m＝n时取等号．
∴当m＝n时，价值损失的百分率最大．
