课件27张PPT。a?β，α∩β＝b平行交线平行平行a∥b
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十一)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件21张PPT。平面外此平面内平行a?αl?α两条相交直线a∥βb∥βa∩b＝Pa?αb?α
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（十一） 直线与平面、平面与平面平行的性质
一、题组对点训练
对点练一 直线与平面平行的性质定理
1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D.异面或相交
解析：选B 由题意，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行，也可能异面．
2．已知直线m，n和平面α，m∥n，m∥α，过m的平面β与α相交于直线a，则n与a的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D.以上均有可能
解析：选A 由线面平行的性质知m∥a，而m∥n，
所以n∥a.
3.如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是( )
A．E，F，G，H一定是所在边的中点
B．G，H一定分别是CD，DA的中点
C．EB∶AE＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：选D 由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC，故选D.
4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.
证明：因为AB∥α，AB?β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.
同理可证AB∥EF，
所以CD∥EF.
对点练二 平面与平面平行的性质定理
5．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D.不确定
解析：选A 由面面平行的性质定理可知选项A正确．
6.如图，在多面体ABC-DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则( )
A．BF∥平面ACGD
B．CF∥平面ABED
C．BC∥FG
D．平面ABED∥平面CGF
解析：选A 取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示．
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴DE綊FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM.又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF?平面ACGD，∴BF∥平面ACGD.故选A.
7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
解析：由平行投影的定义，AA1∥BB1，而ABCD所在平面与平面α平行，则AB∥A1B1，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC1D1D为平行四边形．因为A1B1綊C1D1，所以AB綊CD，从而四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．
证明：因为平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，
所以四边形ANC1M为平行四边形，
所以AN∥C1M且AN＝C1M，
又C1M＝A1C1，A1C1＝AC，
所以AN＝AC，所以N为AC的中点．
对点练三 线线、线面、面面平行的综合
9．如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．
解：(1)证明：因为BC∥AD，
BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.
(2)平行．证明如下：取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE，
又因为MN?平面APD，AE?平面APD，
所以MN∥平面APD.
10．如图所示，ABC-A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论．
解：当点E为棱AB的中点时，
DE∥平面AB1C1.证明如下：
如图，取BB1的中点F，连接EF、FD、DE，
∵D、E、F分别为CC1、AB、BB1的中点，
∴EF∥AB1，∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.
∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.
∵DE?平面EFD，
∴DE∥平面AB1C1.
二、综合过关训练
1．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：选D 因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为与a平行的直线，只有唯一一条．
2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
解析：选B ∵在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AM綊BN，∴MN綊AB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形．故选B.
3．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，点E为线段AB上异于A，B的点，点F为线段CD上异于C，D的点，且EF∥DA，沿EF将面EBCF折起，如图2，则下列结论正确的是( )
A．AB∥CD
B．AB∥平面DFC
C．A，B，C，D四点共面
D．CE与DF所成的角为直角
解析：选B 在图2中，∵BE∥CF，BE?平面DFC，CF?平面DFC，∴BE∥平面DFC，同理AE∥平面DFC.又BE∩AE＝E，∴平面ABE∥平面DFC.又AB?平面ABE，∴AB∥平面DFC.故选B.
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E、F，则四边形D1EBF的形状是( )
A．矩形 B．菱形
C．平行四边形 D.正方形
解析：选C 因为过D1B的平面和左右两个侧面分别交于ED1、BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形．
5．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则MN＝________AC.
解析：因为平面MNE∥平面ACB1，平面ABCD∩平面MNE＝MN，
平面ABCD∩平面ACB1＝AC，所以MN∥AC.同理可证EM∥AB1，EN∥B1C.因为E是B1B的中点，所以M、N分别是AB、BC的中点，所以MN＝AC.
答案：
6．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，∴EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，∴点F是CD的中点，∴EF＝AC＝.
答案：
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4.求证：CE∥平面PAB.
证明：取AD的中点O，连接OC，OE.
∵E为侧棱PD的中点，∴OE∥PA，
∵OE?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OE∥平面PAB.
∵BC＝2，AD＝4，BC∥AD，
∴四边形ABCO为平行四边形，
∴OC∥AB，
∵OC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴OC∥平面PAB.
∵OC∩OE＝O，∴平面OCE∥平面PAB.
∵CE?平面OCE，∴CE∥平面PAB.
8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．求证：
(1)PQ∥平面DCC1D1；
(2)EF∥平面BB1D1D.
证明：(1)法一：如图，连接AC、CD1.
因为P、Q分别是AD1、AC的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，CD1?平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
法二：取AD的中点G，连接PG、GQ，
则有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，
所以平面PGQ∥平面DCC1D1.
又PQ?平面PGQ，
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)法一：连接B1D1，取B1D1的中点O1，
连接FO1，则有FO1＝B1C1，FO1∥B1C1.
又BE∥B1C1，BE＝B1C1，
所以BE∥FO1，且BE＝FO1.
所以四边形BEFO1为平行四边形，
所以EF∥BO1，
又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
法二：取B1C1的中点E1，连接EE1、FE1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1.
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
课时跟踪检测（十） 直线与平面、平面与平面平行的判定
一、题组对点训练
对点练一 直线与平面平行的判定
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC∥BD
D．a?α，b?α，a∥b
解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D正确．
2．如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b?α D.b∥α或b?α
解析：选D 由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b?α.
3.如图，在四面体ABCD中，若M、N、P分别为线段AB、BC、CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系为( )
A．平行
B．可能相交
C．相交或BD?平面MNP
D．以上都不对
解析：选A 因为N、P分别为线段BC、CD的中点，所以NP∥BD，又BD?平面MNP，NP?平面MNP，所以BD∥平面MNP.
4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________．
解析：如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE?平面ACE，BD1?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案：平行
5．直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
对点练二 平面与平面平行的判定
6．已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )
A．l∥α，l∥β，且l∥γ B．l?γ，且l∥α，l∥β
C．α∥γ，且β∥γ D.l与α，β所成的角相等
解析：选C ?α与β无公共点
?α∥β.
7．平面α与平面β平行的条件可以是( )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
解析：选D 当α内有无穷多条直线与β平行时，α与β可能平行，也可能相交，故不选A.
当直线a∥α，a∥β时，α与β可能平行，也可能相交，故不选B.
当直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α时，α与β可能平行，也可能相交，故不选C.
当α内的任何直线都与β平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选D.
8．如图，三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PCB.
证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF?平面PCB，BC，CP?面PCB.
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点．
求证：(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
证明：(1)如图，连接AC，CD1.
因为四边形ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点．
又M为AD1的中点，所以MN∥CD1.
因为MN?平面CC1D1D，CD1?平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)连接BC1，C1D，
因为四边形B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点．
又N为BD的中点，所以PN∥C1D.
因为PN?平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，
所以PN∥平面CC1D1D.
由(1)知MN∥平面CC1D1D，且MN∩PN＝N，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
二、综合过关训练
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D.相交或平行
解析：选B MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.
2．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D.3
解析：选C 如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
3．给出下列说法：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α；
④若直线a∥b，直线b?α，则直线a平行于平面α内的无数条直线．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D.4
解析：选A 对于①，虽然直线l与平面α内的无数条直线平行，但l可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以错误；对于②，因为直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以错误；对于③，因为直线a∥b，b?α，只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于平面α，所以错误；对于④，因为a∥b，b?α，所以a?α或a∥α，所以a与平面α内的无数条直线平行，所以正确．综上，正确说法的个数为1.
4.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点．给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D. 4
解析：选C 因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以点O为BD的中点．在△PBD中，因为点M是PB的中点，所以OM是中位线，OM∥PD.所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．故①②③正确．
5．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：
①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；③c∥α，c∥β?α∥β； ④c∥α，a∥c?a∥α；⑤a∥γ，α∥γ?a∥α.
正确命题是________(填序号)．
解析：直线平行能传递，故①正确，②中，可能a与b异面或相交；③中α与β可能相交；④中可能a?α；⑤中，可能a?α，故正确命题是①.
答案：①
6.如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图．
则易判定四个命题都是正确的．
答案：①②③④
7.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点．求证：平面CEM∥平面BFN.
证明：因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.
同理，ME∥A1B.
易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.
连接MD1，同理可得MD1∥BF.
又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，
故平面CEM∥平面BFN.
8.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．
解：取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．
由已知，O为AC1的中点．
连接MD, OE, 则MD, OE分别为△ABC, △ACC1的中位线，
所以，MD綊AC，OE綊AC，
因此MD綊OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
