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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十二)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（十二） 直线与平面垂直的判定
一、题组对点训练
对点练一 直线与平面垂直的定义及判定定理
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β 的是( )
A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α D.m⊥n，且n∥β
解析：选B α⊥β，且m?α?m?β或m∥β或m与β相交，故A不正确；m∥n，且n⊥β ?m⊥β，故B正确；α⊥β，且m∥α?m?β或m∥β或m与β相交，故C不正确；由m⊥n，且n∥β，知m⊥β不一定成立，故D不正确．故选B.
2．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内的一五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④l垂直于α内正六边形的三条边．
其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是( )
A．② B．①③
C．②④ D.③
解析：选C 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线，不能推出l⊥α.故选②④.
3．若两直线l1与l2异面，则过l1且与l2垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．可能存在，也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
解析：选B 当l1⊥l2时，过l1且与l2垂直的平面有一个，当l1与l2不垂直时，过l1且与l2垂直的平面不存在．
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则( )
A．AD1⊥B1E
B．AD1∥B1E
C．AD1与B1E共面
D．以上都不对
解析：选A 连接A1D，则由正方形的性质，知AD1⊥A1D.因为B1A1⊥平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，又A1D∩B1A1＝A1，所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E?平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E，故选A.
5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形是菱形吗？
解：连接AC、BD，设AC与BD交于点O.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD.
又∵PC⊥BD，
PA∩PC＝P，PA?平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又AC?平面PAC，
∴BD⊥AC，又ABCD为平行四边形，
∴ABCD为菱形．
6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
证明：如图，连接PE，EC，
在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD, AE＝DE，
∴PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，
∴EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，
∴BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
对点练二 直线与平面所成的角
7．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D.120°
解析：选A ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.
8．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的( )
A．∠PAD B．∠PDA
C．∠PDB D.∠PDC
解析：选B ∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．
9．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于( )
A．20° B．70°
C．90° D.110°
解析：选B ∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；
(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角．
解：(1)如图所示，连接DB，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴DB是D1B在平面ABCD内的射影．
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角．
∵DB＝AB，D1B＝AB，
∴cos∠D1BD＝＝，
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.
(2)∵E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，
∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△EA1F中，∵F是A1D1的中点，
∴∠EFA1为45°.
二、综合过关训练
1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多有一个
C．有一个或无数个 D.不存在
解析：选B 若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
2．若PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D.PC⊥BC
解析：选C 由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PA⊥BC，故排除A.由题意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因为PA?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故排除B.结合选项B，根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC，故排除D.故选C.
3.如图，点A∈α，点B∈α，点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则动点C在平面α内的轨迹是( )
A．一条线段，但要去掉两个点
B．一个圆，但要去掉两个点
C．两条平行直线
D．半圆，但要去掉两个点
解析：选B 连接BC，AB(图略)，因为PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．
4．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，给出下列命题：
①若l⊥α，则l与α相交；
②若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
其中正确命题的序号为________．
解析：①显然正确；对②，只有当m，n相交时，才有l⊥α，故②错误；对③，由l∥m，m∥n?l∥n，由l⊥α，得n⊥α，故③正确；对④，由l∥m，m⊥α?l⊥α，再由n⊥α?l∥n，故④正确．
答案：①③④
5．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．
解析：如图所示，连接B1D1.
则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝＝＝，则∠BD1B1＝.
答案：
6.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)求证：CD⊥AE；
(2)求证：PD⊥平面ABE.
证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD.
因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，
所以CD⊥平面PAC.
又AE?平面PAC，
所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.
又PD?平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD，PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，所以AB⊥PD.
又AE∩AB＝A，
所以PD⊥平面ABE.
7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACM；
(2)证明：AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
解：(1)证明：如图，连接BD，MO.
在平行四边形ABCD中，
∵O为AC的中点，
∴O为BD的中点，
又M为PD的中点，
∴PB∥MO.
∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，
∴PB∥平面ACM.
(2)证明：∵∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，
∴∠DAC＝90°，即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PO⊥AD，而AC∩PO＝O，∴AD⊥平面PAC.
(3)取DO的中点N，连接MN，AN.
∵M为PD的中点，
∴MN∥PO，且MN＝PO＝1.
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，
∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，∴DO＝，
从而AN＝DO＝.
在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
