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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十三)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（十三） 平面与平面垂直的判定
一、题组对点训练
对点练一 二面角
1．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D.不确定
解析：选C 若方向相同则相等，若方向相反则互补．
2．从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是( )
A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定
解析：选C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．
解析：根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角平面角定义可知，∠ABA1 即为二面角A-BC-A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
答案：45°
对点练二 平面与平面垂直的判定定理
4．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D.1个或无数个
解析：选D 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．
5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α D.m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：选C ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.
6．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有( )
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
解析：选D ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
7．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．
8.如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.
(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；
(2)若AB＝2BD，求二面角A-DC-B的正弦值．
解：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，
CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，又BD⊥CD且BD∩AB＝B.
∴CD⊥平面ABD.又CD?平面ACD.
∴平面ABD⊥平面ACD.
(2)由(1)知∠ADB为二面角A-DC-B的平面角．
在Rt△ABD中，AB＝2BD，∴AD＝＝BD，
∴sin∠ADB＝＝.
即二面角A-DC-B的正弦值为.
对点练三 折叠问题
9．在平面四边形ABCD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′-ABD.
(1)当C′D＝时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；
(2)当AC′⊥BD时，求三棱锥C′-ABD的高．
解：(1)证明：当C′D＝时，
取AB的中点O，连结C′O，DO，
在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，则C′O＝DO＝1，
因为C′D＝，
所以C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，
又C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB?平面ABD，OD?平面ABD，所以C′O⊥平面ABD，
因为C′O?平面C′AB，所以平面C′AB⊥平面DAB.
(2)当AC′⊥BD时，由已知AC′⊥BC′，
因为BC′∩BD＝B，所以AC′⊥平面BDC′，
因为C′D?平面BDC′，所以AC′⊥C′D，△AC′D为直角三角形，
由勾股定理得，C′D＝＝＝1，
而在△BDC′中，BD＝1，BC′＝，
所以△BDC′为直角三角形，S△BDC′＝×1×1＝.
三棱锥C′-ABD的体积V＝×S△BDC′×AC′＝××＝.
S△ABD＝×1×＝，
设三棱锥C′-ABD的高为h，
则由×h×＝，解得h＝.
故三棱锥C′-ABD的高为.
二、综合过关训练
1.如图，在立体图形D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是 ( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
C．平面ABD⊥平面BDC
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
解析：选B 由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC?平面ADC，AC?平面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.
2．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D.4对
解析：选C 因为AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC.因为CD?平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD.故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
3．如图，∠C＝90°，AC＝BC，M，N分别是BC，AB的中点，沿直线MN将△BMN折起至△B′MN位置，使二面角B′-MN-B的大小为60°，则B′A与平面ABC所成角的正切值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 设BC＝2.过B′作B′D⊥BC，垂足为D，则B′D⊥平面ABC，连接AD，则∠B′AD是B′A与平面ABC所成的角．由题意，知∠B′MB＝60°，MB′＝MB＝1，则MD＝，B′D＝，AD＝ ＝，∴tan∠B′AD＝＝＝.
4.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是______(填序号)．
①PB⊥AD；
②平面PAB⊥平面PAE；
③BC∥平面PAE；
④直线PD与平面ABC所成的角为45°.
解析：由于AD与AB不垂直，因此得不到PB⊥AD，①不正确；由PA⊥AB，AE⊥AB，PA∩AE＝A，得AB⊥平面PAE，因为AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAE，②正确；延长BC，EA，两者相交，因此BC与平面PAE相交，③不正确；由于PA⊥平面ABC，所以∠PDA就是直线PD与平面ABC所成的角，由PA＝2AB，AD＝2AB，得PA＝AD，所以∠PDA＝45°，④正确．
答案：②④
5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.
解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°.因为AB＝AC＝1，所以BD＝DC＝，则BC＝＝＝1.
答案：1
6．如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：
(1)PA⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面ABC.
证明：(1)因为△PDB是正三角形，
所以∠BPD＝60°，
因为D是AB的中点，
所以AD＝BD＝PD，
又∠ADP＝120°，
所以∠DPA＝30°，
所以∠DPA＋∠BPD＝90°，
所以PA⊥PB，
又PA⊥PC，PB∩PC＝P，
所以PA⊥平面PBC.
(2)因为PA⊥平面PBC，
所以PA⊥BC，
因为∠ACB＝90°，
所以AC⊥BC，又PA∩AC＝A，
所以BC⊥平面PAC，
因为BC?平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABC.
7．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A-BCD，如图．
(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD.
(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时，求二面角A-BC-D的正切值．
解：(1)证明：在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝.
∴AC2＝AO2＋CO2，∴AO⊥CO.
∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)折叠后，BD⊥AO，BD⊥CO，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，即∠AOC＝120°.
在△AOC中，AO＝CO＝，
∴AC＝.
如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.
∵BD⊥CO，BD⊥AO，CO∩AO＝O，
∴BD⊥平面AOC.
∵AH?平面AOC，∴BD⊥AH.
又∵CO⊥AH，CO∩BD＝O，∴AH⊥平面BCD.
∴AH⊥BC.
过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK.
∵AK∩AH＝A，∴BC⊥平面AHK.
∵HK?平面AHK，∴BC⊥HK.
∴∠AKH为二面角A-BC-D的平面角．
在△AHO中，AH＝，OH＝，
∴CH＝CO＋OH＝＋＝.
在Rt△CKH中，HK＝CH＝.
在Rt△AHK中，tan∠AKH＝＝＝.
∴二面角A-BC-D的正切值为.
