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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(十四)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（十四） 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
一、题组对点训练
对点练一 直线与平面垂直的性质
1．直线n⊥平面α，n∥l，直线m?α，则l、m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D.垂直
解析：选D 由题意可知l⊥α，所以l⊥m.
2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α B．b?α
C．b⊥α D.b与α相交
解析：选C 由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.
3．如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：
(1)BC⊥平面SAB；
(2)EF⊥SD.
证明：(1)∵四棱锥S-ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC.
∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴SA⊥BC.
又∵SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB.
(2)∵SA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥SA.
又∵CD⊥AD，SA∩AD＝A，
∴CD⊥平面SAD.
∵E，F分别是SD，SC的中点，
∴EF∥CD，∴EF⊥平面SAD.
又∵SD?平面SAD，∴EF⊥SD.
对点练二 平面与平面垂直的性质
4．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行 B．EF?平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直 D．相交且垂直
解析：选D 由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．
5．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
解析：选D 可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ相交．
6.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )
A．PE⊥AC
B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
解析：选D 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立．又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.
7．平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D.以上都有可能
解析：选D 因为a∥α，平面α⊥平面β，所以直线a与β垂直、相交、平行都有可能．
8．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
答案：平行
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.求证：AD⊥平面PCD.
证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，
因为平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD＝CD，AD?平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD.
对点练三 垂直关系的综合应用
10.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB.
(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
解：(1)证明：取AD的中点O，连接PO，BO，BD，
因为PA＝PD，所以PO⊥AD，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形，又O是AD的中点，所以AD⊥OB.
又OB∩OP＝O，所以AD⊥平面POB，
因为PB?平面POB，所以AD⊥PB.
(2)当F是棱PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，连接OE，OC，
因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点，
所以DO∥CE，DO＝CE，
所以四边形DOEC是平行四边形，设DE∩OC＝M，
所以M是OC的中点，连接FM，
又因为F是棱PC的中点，所以FM∥PO.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，
所以PO⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD，
又因为FM?平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.
11．如图，α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，BC?β，DE?β，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.
证明：∵α⊥β，α∩β＝l，AB?α，AB⊥l，∴AB⊥β.
∵DE?β，∴AB⊥DE.
∵BC⊥DE，AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC.
∵AC?平面ABC，∴AC⊥DE.
二、综合过关训练
1．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D.4
解析：选B 根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.
2．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D.等腰直角三角形
解析：选A 过点A作AH⊥BD于点H，由平面ABD⊥平面BCD，得AH⊥平面BCD，则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC，所以BC⊥AD，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选A.
3．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )
A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．α∥β，β⊥γ，则α⊥γ
C．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥b
D．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α
解析：选B A中α，γ可以相交；C中如图，a与b不一定垂直；D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.
4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D.AC⊥β
解析：选D 如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l?AC⊥m，AB∥l?AB∥β.故选D.
5．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．
解析：过A作AO⊥BD于O点，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD.
∴∠ADO＝45°.
答案：45°
6．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为________．
解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对．
答案：3
7.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．
解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，
∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan∠CEF＝＝.
8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°.
(1)求证：C1B⊥平面A1B1C1；
(2)P是线段BB1上的动点，当平面C1AP⊥平面AA1B1B时，求线段B1P的长．
解：(1)证明：由AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥C1B.
由AB＝BB1＝2BC＝2，∠BCC1＝60°，可得∠C1BC＝90°，
即C1B⊥CB.
又CB∩AB＝B，
所以C1B⊥平面ABC.
由棱柱的性质知，平面ABC∥平面A1B1C1，
所以C1B⊥平面A1B1C1.
(2)因为AB⊥侧面BB1C1C，
所以平面ABB1A1⊥平面BB1C1C.
过点C1作C1P⊥BB1，交BB1于点P，连接AP，
则C1P⊥平面AA1B1B.
又C1P?平面C1AP，所以平面C1AP⊥平面AA1B1B.
在?BB1C1C中，∠BB1C1＝∠BCC1＝60°，∠C1BC＝∠BC1B1＝90°，
所以B1P＝B1C1＝BC＝.
