课件36张PPT。45°平行四边形2虚线A∈lA?lA∈αA?αl?αl?αl∩m＝Al∩α＝Aα∩β＝l两点此平面内不在一条直线上有且只有公共直线l?αα∩β＝l，且P∈l
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(七)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（七） 平 面
一、题组对点训练
对点练一 平面的概念
1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
解析：选A MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.
2．如图所示，下列说法正确的是( )
A．可以表示a在α内
B．把平面α延展就可以表示a在平面内
C．因为直线是无限延伸的，所以可以表示直线a在平面α内
D．不可以表示直线a在平面α内，因为画法不对
答案：D
对点练二 点、线、面之间的关系
3．已知直线m?平面α，P?m，Q∈m，则( )
A．P?α，Q∈α B．P∈α，Q?α
C．P?α，Q?α D.Q∈α
解析：选D 因为Q∈m，m?α，所以Q∈α.因为P?m，所以有可能P∈α，也可能有P?α.
4．给出下列说法：
①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
④若一个四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；
⑤点A在平面α外，点A和平面α内的任意一条直线都不共面．
其中所有正确说法的序号是________．
解析：①中线段可以与平面相交；②中的四边形可以是空间四边形；③中平行的对边能确定平面，所以是平行四边形；④中由四边形的三条边在同一个平面内，可知第四条边的两个端点也在这个平面内，所以第四条边在这个平面内；⑤中点A和平面α内的任意一条直线都能确定一个平面．
答案：③④
对点练三 平面基本性质的应用
5．下列说法正确的是( )
A．三点可以确定一个平面
B．一条直线和一个点可以确定一个平面
C．四边形是平面图形
D．两条相交直线可以确定一个平面
解析：选D A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．
6．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点
B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点
D．有无数个公共点
解析：选D 由公理3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．
7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．
证明：如图，连接PQ.
由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，
得PQ∥B1C1，且PQ＝B1C1.
又BC綊 B1C1，∴四边形BCQP为梯形，
∴直线BP，CQ相交，设交点为R，
则R∈BP，R∈CQ.
又BP?平面AA1B1B，CQ?平面AA1C1C，
∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，
∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，
即R∈AA1，
∴直线AA1，BP，CQ相交于一点．
二、综合过关训练
1．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点
B．一个点和一条直线
C．无数个点
D．两条相交直线
解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A、B、C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．
2．空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )
A．1 B．2
C．3 D.1或3
解析：选D 若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面．
3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( )
解析：选D 在A图中：分别连接PS，QR，则PS∥QR，
∴P，Q，R，S共面．
在B图中：过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面．
在C图中：分别连接PQ，RS，则PQ∥RS，
∴P，Q，R，S共面．
在D图中：PS与RQ为异面直线，
∴P，Q，R，S四点不共面．故选D.
4.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C?l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过 ( )
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
解析：选D A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．
5．已知A∈α，B?α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．
解析：若l与α有两个不同的公共点，则由公理1知l?α，又B∈l，所以B∈α与B?α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A.
答案：1
6．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确命题的个数是________．
解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
答案：1
7．求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．
证明：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c和l共面．
证明：如图所示，因为a∥b，由公理2的推论可知直线a与b确定一个平面，设为α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，
则A∈α，B∈α.
又因为A∈l，B∈l，
所以由公理1可知l?α.
因为b∥c，所以由公理2的推论可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l?β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推论2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
证明：
如图．
(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD.
∴EF、BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．
(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，
∴Q∈α.又Q∈EF，
∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R三点共线．
