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“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(八)”
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谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（八） 空间中直线与直线之间的位置关系
一、题组对点训练
对点练一 空间两条直线的位置关系
1．不平行的两条直线的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D.相交或异面
解析：选D 若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．
2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
解析：选C c与b可以相交，也可以异面，故选C.
3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．a∥c B．a和c异面
C．a和c相交 D.a和c平行、相交或异面
解析：选D 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线．
若令B′C′所在直线为c，则a和c平行．
若令C′C所在直线为c，则a和c异面．
若令D′D所在直线为c，则a和c相交．
4．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．
解析：直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
答案：相交
5．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
答案：③
对点练二 公理4及等角定理
6．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为( )
A．60° B．120°
C．30° D.60°或120°
解析：选D 由等角定理可知，β为60°或120°.
7．如图所示，在三棱锥S-MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
解析：选A ∵E、F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.
8．已知∠ABC＝120°，异面直线MN、PQ.其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成的角为________．
解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60°.
答案：60°
对点练三 异面直线所成角的计算
9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D.90°
解析：选C 连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
10.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′-DEF，则HG与IJ所成角的大小为________．
解析：如图所示，在三棱锥A′-DEF中，因为G，H，I，J分别为A′F，A′D，A′E，DE的中点，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG与IJ所成角与A′D与DF所成角相等．显然A′D与DF所成的角的大小为60°，所以HG与IJ所成角的大小为60°.
答案：60°
二、综合过关训练
1．异面直线a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
解析：选D 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c( )
A．一定平行
B．一定相交
C．一定是异面直线
D．平行、相交或异面都有可能
解析：选D 当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．
3.如图，在四面体A-BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是( )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
解析：选D 由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQ綊BD，NP綊BD，所以MQ綊NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确．
4.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．CC1与B1E是异面直线
B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
解析：选C 由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．故选C.
5．已知a，b，c是空间中的三条相互不重合的直线，给出下列说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的说法是________(填序号)．
解析：由公理4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正确；当a?平面α，b?平面β时，a与b可能平行、相交或异面，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可能相交、平行，也可能异面，故④不正确．
答案：①
6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是________．
解析：如图，连接EG，GB1，可得A1B1綊EG，所以四边形A1B1
GE为平行四边形，所以A1E∥B1G，连接FB1，则∠FGB1就是异面直线所成的角．因为FB1＝，GB1＝，FG＝＝＝，所以FB＝FG2＋GB，即∠FGB1＝90°.
答案：90°
7．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
解： 如图所示，在平面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.
8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.
解：连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB＝BC＝2，
所以△ACD1是等腰直角三角形，
所以AD1＝AC.
因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
所以AC＝2×sin 60°×2＝6，∴AD1＝AC＝3，
所以AA1＝＝＝.
