课件28张PPT。一个无数零
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课件26张PPT。
“课下梯度提能”见“课时跟踪检测(二十一)”
(单击进入电子文档)
谢观看THANK YOU FOR WATCHING谢课时跟踪检测（二十一） 点到直线的距离、两条平行线间的距离
一、题组对点训练
对点练一 点到直线的距离
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5
C．3 D．2
解析：选A 直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
2．已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为( )
A．－3 B．3
C．－3或3 D．1或3
解析：选C 由题意得＝，解得a＝－3或3.
3．倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．
解析：因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5?|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
答案：x－y＋10＝0或x－y－10＝0
4．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为________．
解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，∴点M在直线x＋y－6＝0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
答案：3
对点练二 两条平行线间的距离
5．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为( )
A．1 B.
C. D．2
解析：选B 在l1上取一点(1，－2)，则点到直线l2的距离为＝.
6．两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0＜d≤5 B．0＜d≤13
C．0＜d＜12 D．5≤d≤12
解析：选B 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，|AB|＝13，所以0＜d≤13.
7．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
对点练三 距离的综合应用
8．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )
A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0
C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0
解析：选C 由已知可知，l是过A且与AB垂直的直线，∵kAB＝＝，∴kl＝－3，由点斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.
9．已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
解：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a,8－2a)．
又P(0,1)是AB的中点，∴A(－a,2a－6)．
∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即B(4,0)．
故直线l的方程是x＋4y－4＝0.
(2)由(1)，知A(－4,2)．
又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6.
点A到直线l1的距离d＝＝，
|AD|＝ ＝4，
∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28.
二、综合过关训练
1．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于( )
A. B.
C. D.
解析：选C l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝＝.
2．若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离分别为1和2，则这样的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C ①若直线l的斜率不存在，取直线l：x＝2，满足条件．②若直线l的斜率存在，当A，B两点在直线l的两侧时，易知直线l不存在．当A，B两点在直线l的同侧时，设直线l的方程为y＝kx＋b，由题意可得解得或可得直线l：y＝x＋或y＝－x－.综上，满足条件的直线l共有3条．故选C.
3．已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，]
解析：选C 当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.
4．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是__________．
解析：由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
答案：x－2y＋2＝0
5．已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________________．
解析：法一：由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
法二：由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1.
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
6．已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程．
解：点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝.
∵lAB∥lCD，∴可设lAB：x＋3y＋m＝0.
点P(1,5)到lAB的距离也等于d，
则＝ .
又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.
∵lAD⊥lCD，∴可设lAD：3x－y＋n＝0，
则P(1,5)到lAD的距离等于P(1,5)到lBC的距离，
且都等于d＝，
＝，n＝5，或n＝－1，
则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.
所以正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0.
7．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程；
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线的方程，并求出最大距离；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)①当直线的斜率不存在时，方程x＝2符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
根据题意，得＝2，解得k＝.
则直线方程为3x－4y－10＝0.
故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线．
则其斜率k＝2，所以其方程为y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.最大距离为，
(3)不存在．理由：由于原点到过点(2，－1)的直线的最大距离为，而6＞，故不存在这样的直线．
课时跟踪检测（二十） 两条直线的交点坐标、两点间的距离
一、题组对点训练
对点练一 两条直线交点的坐标
1．下列各直线中，与直线2x－y－3＝0相交的是( )
A．2ax－ay＋6＝0(a≠0) B．y＝2x
C．2x－y＋5＝0 D．2x＋y－3＝0
解析：选D 直线2x－y－3＝0的斜率为2，D选项中的直线的斜率为－2，故D选项正确．
2．若两直线l1：x＋my＋12＝0与l2：2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值为( )
A．6 B．－24
C．±6 D．以上都不对
解析：选C 分别令x＝0，求得两直线与y轴的交点分别为：－和－，由题意得－＝－，解得m＝±6.
3．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
4．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
解：解方程组得交点P(1,1)．
(1)若直线与l1平行，
∵k1＝2，∴斜率k＝2，
∴所求直线方程为y－1＝2(x－1)，
即： 2x－y－1＝0.
(2)若直线与l2垂直，∵k2＝，∴斜率k＝－＝－，
∴所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即： 2x＋3y－5＝0.
对点练二 两点间的距离公式
5．已知平面上两点A(x，－x)，B，则|AB|的最小值为( )
A．3 B.
C．2 D.
解析：选D ∵|AB|＝＝≥，当且仅当x＝时等号成立，∴|AB|min＝.
6．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C 根据两点间的距离公式，得|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝3，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．
7．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．
解析：设A(x,0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，
∴|AB|＝＝2.
答案：2
8．过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，则直线l的方程为________．
解析：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，
∴B(3,0)，C(3,6)．
此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，
∴直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，显然k≠0且k≠2.
令y＝0，得x＝3＋，∴B.
由得点C的横坐标xC＝.
∵|BC|＝2|AB|，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|，
∴＝2，
∴－－3＝或－－3＝－，
解得k＝－或k＝.
∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.
答案：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0
对点练三 对称问题
9．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为( )
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．3x－4y＋5＝0 D．3x－4y－5＝0
解析：选B 令x＝0，解得y＝；令y＝0，解得x＝－，故和是直线3x－4y＋5＝0上两点，点关于x轴的对称点为，过两点和的直线即为所求，由两点式或截距式可得3x＋4y＋5＝0.
10．已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程．
解：(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点在直线l上，且PP′⊥l.
所以
解得
即P′点的坐标为.
(2)设直线l关于点A(1,1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．
由得
将(x1，y1)代入直线l的方程得，x＋2y－4＝0，
即直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
二、综合过关训练
1．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
解析：选B ∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，∴m－n＋p＝20.
2．若非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，且直线＋＝1恒过一定点，则定点坐标为( )
A. B．(1,3)
C．(－3，－2) D.
解析：选A ∵非零实数a，b满足3a＝2b(a＋1)，
∴＝＋.
∵＋＝1，∴＋·y＝1，
∴6x＋(a＋1)y＝3a，∴(6x＋y)＋a(y－3)＝0.
令y－3＝0，且6x＋y＝0，得x＝－，y＝3，
∴定点坐标为.
3．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(2,3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0,1)
解析：选A 由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2,3)．
4．设直线l经过2x－3y＋2＝0和3x－4y－2＝0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线l的方程为________．
解析：法一：联立得
所以两直线的交点坐标为(14,10)．
由题意可得所求直线的斜率为1或－1，
所以所求直线的方程为y－10＝x－14或y－10＝－(x－14)，
即x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
法二：设所求的直线方程为(2x－3y＋2)＋λ(3x－4y－2)＝0，整理得(2＋3λ)x－(4λ＋3)y－2λ＋2＝0，由题意，得＝±1，解得λ＝－1或λ＝－，所以所求的直线方程为x－y－4＝0或x＋y－24＝0.
答案：x－y－4＝0或x＋y－24＝0
5．已知在平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(7,1)，D(4,6)，点M是边AB的中点，CM与BD交于点P.
(1)求直线CM的方程；
(2)求点P的坐标．
解：(1)设点C的坐标为(x，y)，
因为在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，
所以线段AB，DC所在直线的斜率相等，线段AD，BC所在直线的斜率相等，
则解得即C(10,6)．
又点M是边AB的中点，
所以M(4,1)，
所以直线CM的方程为＝，即5x－6y－14＝0.
(2)因为B(7,1)，D(4,6)，
所以直线BD的方程为＝，
即5x＋3y－38＝0.
由解得即点P的坐标为.
6．直线l过定点P(0,1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A、B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程．
解：法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0,2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，
∴?
∴kAP＝＝－，
故所求直线l的方程为： y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.
法二：设所求直线l方程为：y＝kx＋1，l与l1、l2分别交于A、B.
解方程组?A，
解方程组?B.
∵A、B的中点为P(0,1)，则有：＝0，∴k＝－.
故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
法三：设所求直线l与l1、l2分别交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，P(0,1)为AB的中点，则有：
?代入l2的方程，得： 2(－x1)＋2－y1－8＝0即2x1＋y1＋6＝0.
解方程组?A(－4,2)．
由两点式：所求直线l的方程为x＋4y－4＝0.
法四：同法一，设A(x0，y0)，
两式相减得x0＋4y0－4＝0，(1)
观察直线x＋4y－4＝0，一方面由(1)知A(x0，y0)在该直线上；另一方面，P(0,1)也在该直线上，从而直线x＋4y－4＝0过点P、A.根据两点决定一条直线知，所求直线l的方程为： x＋4y－4＝0.
7．求函数y＝＋的最小值．
解：原式可化为y＝
＋.
考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．
作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，
由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
故|PA|＋|PB|的最小值为|A′B|的长度．
由两点间的距离公式可得
|A′B|＝＝5，
所以函数y＝＋的最小值为5.
