第三章 3.6
A级 基础巩固
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( D )
A．y＝100x B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
[解析] 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
2．若－1
A．5－x<5x<0.5x B．5x<0.5x<5－x
C．5x<5－x<0.5x D．0.5x<5－x<5x
[解析] 在同一坐标系内作出y＝5x，y＝0.2x，y＝0.5x的图像，由－13．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，有( A )
A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x)
C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)
[解析] 在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x的图像的上方，则f(x)>g(x)．
4．某个企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元．从今年起，计划每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么第x年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成x的函数，其表达式为( A )
A．y＝(3x＋5)1.1x＋2.4
B．y＝8×1.1x＋2.4x
C．y＝(3x＋8)1.1x＋2.4
D．y＝(3x＋5)1.1x－1＋2.4
[解析] 第一年企业付给工人的工资总额为
8×1.1＋3×0.8(万元)，
第二年应付给工人的工资总额为
(8＋3)×1.12＋3×0.8(万元)，
依次类推：第x年企业付给工人的工资总额应为
y＝[8＋3(x－1)]×1.1x＋2.4＝(3x＋5)×1.1x＋2.4.
5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( A )
A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
[解析] 由题意得函数f(x)是减函数，在四个选项中，只有A符合，故选A．
6．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则y与x的函数关系为( A )
A．y＝0.957 6 B．y＝0.957 6100x
C．y＝x D．y＝1－0.042 4
[解析] 设镭每年放射掉其质量的百分比为t，则有95.76%＝(1－t)100，所以t＝1－，所以y＝(1－t)x＝0.957 6.
7．方程2x＝2－x的解的个数为1.
[解析] 分别作出函数y＝2x与y＝2－x的图像如图所示，易得两图像只有一个交点，即原方程只有一个解．
8．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的
函数关系是y＝2x(x∈N＋).
[解析] 该函数为指数函数型y＝2x(x∈N＋)．
9．求方程logax＝x－2(0[解析] ∵求方程logax＝x－2(010．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的单调性．
[解析] (1)由ax－1>0得ax>1，
∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
当0证明如下：
当a>1时，设0∴0即f(x1)故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
同理可证：当0B级 素养提升
1．当2A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2x
C．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像．
所以x2>2x>log2x.
2．设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是( A )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
[解析] ∵y＝x在(0，＋∞)上是增加的，∴a>c.
∵y＝()x(x∈R)为减函数，∴c>b.∴a>c>b.
3．函数y＝的反函数是y＝.
[解析] ∵x<0时，y＝x＋1，∴x＝y－1，
∵x<0，∴y<1，∴其反函数为y＝x－1(x<1)．
又x≥0时，y＝ex，∴x＝lny.
∵x≥0，∴y≥1，∴其反函数为y＝lnx(x≥1)，
∴反函数为y＝.
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝－1.
[解析] 设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝log3(1－x)，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－log3(1－x)(x<0)．所以f(－2)＝－log33＝－1.
5．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[解析] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入函数关系式得y＝5log2＝5log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
6．比较下列各题中两个值的大小．
(1)30.8,30.7； (2)0.213,0.233；
(3)2，1.8； (4)log2.10.9，log2.20.9.
[解析] (1)函数y＝3x是增函数，∴30.8>30.7.
(2)函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233.
(3)∵函数y＝x在[0，＋∞)上递增，∴2>1.8，
又∵函数y＝1.8x在R上递增，∴1.8>1.8，故2>1.8.
(4)注意到两个对数的真数相同，
可先比较log0.92.1与log0.92.2的大小．
∵0<0.9<1,2.1<2.2，
∴由对数函数的单调性得log0.92.1>log0.92.2，如图
又∵log0.92.2∴<，
即log2.10.9另外，也可以利用对数函数图像，当底数大于1时，底数越大，在直线x＝1左侧图像越靠近x轴，由图可得，log2.10.9C级 能力拔高
已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．
[解析] (1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.
(2)依题意知x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值．当xx3，即f(x)>g(x)；
当x1x2时，f(x)>g(x)．
由于f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1,2]，即a＝1；
又因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，
f(8)f(10)＝210＝1024，g(10)＝103＝1 000，f(10)>g(10)，所以x2∈[9,10]，即b＝9.
课件40张PPT。第三章指数函数和对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较自主预习学案一天，一个叫杰米的百万富翁碰上一件奇怪的事：一个叫韦伯的人对他说：“我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米说：“真的？！你说话算数？”合同生效了，杰米由最初的欣喜若狂直到最后破产，指数爆炸让杰米吃了大苦头．本节课我们就来研究此类问题． 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)，y＝xn(n>0)都是________(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax________xn________ax.增 < < 1．函数y1＝2x与y2＝x2，当x>0时，图像的交点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 当x＝2或x＝4时，y1＝y2，当x>4时，y1>y2，故交点个数是2.CA 3．函数y＝x2与函数y＝lnx在区间(0，＋∞)上增长较快的是________.y＝x2 3 互动探究学案 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上函数的增长情况．
[思路分析] 解答本题时，应分析对于相同的自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．命题方向1 ?比较函数增长的差异典例 1 C 命题方向2 ?比较大小问题典例 2 『规律总结』 1.比较同底数的对数值大小，考虑使用对数函数的单调性．
2．底数与真数都不相同时，经常采用放缩法或借助第三个量来比较大小．
3．利用函数图像及其相互位置关系来比较大小．在解决实际问题时，我们要根据实际情况灵活选取函数模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数型函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数型函数模型．(3)幂函数模型y＝xα(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，α值较小(0<α≤1)时，增长速度较慢；α值较大(α>1)时，增长速度较快．拟合函数模型 某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
[思路分析] 若逐一计算考证，则非常繁琐，故可先通过画图像筛选出较好的方案，再从理论上通过计算进行确认，达到事半功倍的效果．典例 3 [规范解答] 借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．『规律总结』 数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益． 在所有的增函数中，指数增长是最快的增长，称为“指数爆炸”，不学数学的人还真不敢想象．有好多有关传说．相传古代印度国王要奖励国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说“请在棋盘的第1格中放上1颗麦子，在第2格中放上2颗麦子，第3格中放上4颗麦子，第4格中放上8颗麦子，依次类推，每格中放的麦子数都是前一格的2倍，直到第64格”．国王以为小事一桩，马上答应了．我们算算国际象棋的发明者的要求到底高不高．
[辨析] 对于函数y＝ax(a>1)，随着x的增大，增长速度会越来越快，会超过并远远大于y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)的增长．典例 4 [正解] 显然是指数函数f(x)＝2x－1(x∈{1,2,3，…，64})的模型，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)＝263≈9.22×1018.假定每1 000颗麦子重40克，f(64)≈3 688亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．
我们再算一算f1(x)＝log2x，f1(64)＝log264＝6，f2(x)＝x2，f2(64)＝4 096，f3(x)＝2x，得f3(64)＝128.如下图(1)、图(2)是f(x)＝2x与f2(x)＝x2的图像．当x>4时，总有log2x<2xA．4年 B．5年
C．8年 D．10年
[解析] 30 000(1＋10%)x>60 000(x∈N＋)?1.1x>2?x≥8，x∈N＋.C3．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2(填“>”“＝”或“<”)．
[解析] 由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2.< －2 课时作业学案