第四章 4.1.1
A级 基础巩固
1．函数y＝x2－5x＋6的零点是( A )
A．2,3 B．－2，－3
C．1,6 D．－1，－6
[解析] 由x2－5x＋6＝0得x＝2或3，所以y＝x2－5x＋6的零点是2,3，故选A．
2．函数f(x)＝x3＋x－1的零点所在的区间是( C )
A．(，2) B．(1，)
C．(，1) D．(0，)
[解析] 因为f()·f(1)＝－×1＝－<0，且函数f(x)在R上连续，所以函数f(x)＝x3＋x－1的零点所在区间是(，1)．
3．若方程2ax2－x－1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( D )
A．a<－1 B．－1
C．0≤a<1 D．a>1
[解析] 令f(x)＝2ax2－x－1，
因为方程f(x)＝0在区间(0,1)内恰有一解，所以函数f(x)在区间(0,1)内恰有一个零点．
所以f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0.
所以a>1.故选D．
4．函数f(x)＝x3－2x2＋2x的零点个数为( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ∵f(x)＝x3－2x2＋2x＝x(x2－2x＋2)，
又x2－2x＋2＝0，Δ＝4－8<0，
∴x2－2x＋2≠0，∴f(x)的零点只有1个，故选B．
5．函数f(x)＝的零点个数为( B )
A．3 B．2
C．1 D．0
[解析] 令f(x)＝0，
则x2＋2x－3＝0(x≤0)或x2－2＝0(x>0)，
解得：x＝－3或x＝符合题意，故选B．
6．(2019·山东临沂高一期末测试)函数f(x)＝lnx＋x－2有零点的一个区间是( C )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] f(1)＝－2＝－<0，
f(2)＝ln2＋1－2＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋－2＝ln3－>0.
∴f(2)·f(3)<0，故选C．
7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的方程f(x)＝c(c∈R)有两个实根m，m＋6，则实数c的值为9.
[解析] 由函数f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)知方程x2＋ax＋b＝0有两相等实根，从而Δ＝a2－4b＝0，①，方程f(x)＝c可化为x2＋ax＋b－c＝0，由一元二次方程根与系数的关系可得，
∴，
代入①，得
(－2m－6)2－4(m2－6m＋c)＝0，
整理，得c＝9.
8．设函数f(x)＝，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是3.
[解析] 由已知，得，
∴f(x)＝，作图像如图所示．
由图像可知f(x)＝x的解的个数为3.
9．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
[解析] 由已知方程得x2－ax－b＝0的两根为2和3.
∴，∴.
∴g(x)＝－6x2－5x－1.
令－6x2－5x－1＝0得6x2＋5x＋1＝0，
∴x＝－或x＝－.
∴函数g(x)＝－6x2－5x－1的零点是－，－.
10．已知二次函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5.
(1)当函数f(x)有两个不同零点时，求k的取值范围；
(2)若－1和－3是函数的两个零点，求k的值．
[解析] (1)令f(x)＝0，得x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0.
由Δ＝(k－2)2－4(k2＋3k＋5)＝－3k2－16k－16>0，
知3k2＋16k＋16<0，
即(3k＋4)(k＋4)<0，∴－4∴当函数有两个不同零点时，k的取值范围为(－4，－)．
(2)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根．
∴，解之得k＝－2.
B级 素养提升
1．已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是( C )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
[解析] 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)，故选C．
2．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的范围是( A )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(2，＋∞) D．(0,1)∪(1,2)
[解析] 令y1＝ax，y2＝x＋a，则f(x)＝ax－x－a有两个零点，即函数y1＝ax与y2＝x＋a有两个交点．
(1)当a>1时，y1＝ax过(0,1)点，而y2＝x＋a过(0，a)点，而(0，a)点在(0,1)点上方，∴一定有两个交点．
(2)当0∴a的取值范围为a>1.
3．关于x的方程mx2＋2x＋1＝0至少有一个负根，则m的范围为m≤1.
[解析] ①m＝0时，x＝－适合题意．
②m≠0时，应有m<0或
解得m<0或04．方程lgx＋x＝0的实数解的存在区间为(，1).
[解析] 令f(x)＝lgx＋x，则f()＝lg＋＝－<0，f(1)＝lg1＋1＝1>0.
∴f()f(1)<0.而f(x)＝lgx＋x在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)仅有一个零点，且在(，1)内．
5．设函数f(x)＝ax＋2a＋1(a≠0)在[－1,1]上存在一个零点，求实数a的取值范围．
[解析] 因为函数f(x)在[－1,1]上存在零点，
所以或.即f(－1)·f(1)≤0.
所以(－a＋2a＋1)·(a＋2a＋1)≤0，
即(a＋1)(3a＋1)≤0.解得－1≤a≤－.
6．讨论方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内实数解的存在性，并说明理由．
[解析] 令f(x)＝4x3＋x－15，
∵y＝4x3和y＝x－15在[1,2]上都为增函数．
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上为增函数，
∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0，
∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一个零点，
∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]内有一个实数解．
C级 能力拔高
求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点．
[解析] (1)当a＝0时，令y＝0得x＝－2；
(2)当a≠0时，令y＝0得x＝或x＝－2.
①当a＝－时，函数的零点为－2；
②当a≠－时，函数的零点为，－2.
综上所述：当a＝0或－时，零点为－2；
当a≠0且a≠－时，零点为，－2.
课件47张PPT。第四章函数的应用相传诸葛亮一日与众将士闲聊．向他们出了这样一道题：你从1～1 024中任意选择一个数字，然后我问你十个问题，而你只能选择回答“是”与“不是”，就一定可以猜出你选的数字是什么．一位将士选好数字后，诸葛亮开始问：“你选的数字是否大于512？”“不是”；“是否大于256？”……，如此问了十个问题以后，诸葛亮说：你选的数字一定是1！众将士当然是惊奇不已．这方法其实很简单，他每次将1 024个数字分半，这样分了10次以后，就将每一个数字分完(因为210＝1 024)，所以任何一个数字都能用这种方法确定，比如数字51：是否大于512？不是；是否大于256？不是；是否大于128？不是；是否大于64？不是；是否大于32？是；(数字一定是在64和32之间)是否大于48？是；(数字一定是在64和48之间)是否大于56？不是；(数字一定是在56和48之间)是否大于52？不是；(数字一定是在52和48之间)是否大于50？是；(数字一定是在52和50之间)
那你猜的数字一定是51了(符合条件的数字只有51).§1 函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在自主预习学案二次函数是我们很熟悉的一类函数，以前我们曾研究过其图像与性质，请大家画几个函数的图像(画草图即可)：(1)y＝x2－2x－3；(2)y＝x2－2x＋1；(3)y＝x2－2x＋3.画完以后，请说出你能知道的知识．如果我们把二次函数与其相关的方程：x2－2x－3＝0，x2－2x＋1＝0，x2－2x＋3＝0放在一起观察，又会有什么发现呢？你能再找几个函数与相应的方程看看我们的想法是否正确吗？1．函数的零点
我们把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的________称为这个函数的零点．
2．零点存在定理
一般地，如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且有_______________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个c∈(a，b)，使得f(c)＝________.这个c就是方程f(x)＝0的解．横坐标 f(a)·f(b)<0 0 3．二次函数零点与二次方程实根个数的关系1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是( )
A．1，－4 B．4，－1
C．1,3 D．不存在
[解析] 令x2－3x－4＝0，解得x＝4或－1，
∴零点为4，－1.B2．(2019·广州荔湾区高一期末测试)函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] f(1)＝－1＋log21＝－1，
f(2)＝log22＝1，
∴f(1)·f(2)<0，故选B．B3．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点有________个．
[解析] 因为Δ＝b2－4ac>0，所以二次函数与x轴有两个交点，故函数有两个零点．两 (2,3)，(3,4)，(4,5) 互动探究学案命题方向1 ?求函数的零点典例 1 『规律总结』 1.函数零点的求法：解方程f(x)＝0，所得实数解就是f(x)的零点．解三次以上的高次方程时，一般需要因式分解．
2．对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴交点的横坐标即为函数的零点．D 命题方向2 ?函数零点个数的判断典例 2 [思路分析] 构造函数y＝lnx和函数y＝－x＋3，从而将原问题转化为判断这两个函数图像交点的个数问题．也可利用函数的单调性借助函数零点的存在性定理来判断．『规律总结』 判断函数零点的个数的方法主要有：
(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．
(2)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，利用图像判定方程根的个数．命题方向3 ?函数零点的性质典例 3 B 『规律总结』 这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法；只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否有f(a)·f(b)<0，并且看函数f(x)的图像在[a，b]上是否是连续曲线即可．
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用零点的性质依次检验所提供的区间，即可得到答案．D 由函数的零点求参数的值或取值范围 已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的a的取值范围．
(1)函数f(x)没有零点；
(2)函数f(x)有两个零点；
(3)函数f(x)有三个零点；
(4)函数f(x)有四个零点．典例 4 『规律总结』 把函数的零点问题转化为两个函数图像交点问题，两个函数的引入要遵照图像容易作出且交点容易找到的原则．〔跟踪练习4〕
若函数f(x)＝x2＋2x－a的两个零点中一个大于1，另一个小于1，那么实数a的取值范围是________.
[解析] 依题意，由图像可知f(1)<0，即12＋2×1－a<0，解得a>3.a>3 关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．典例 5 『规律总结』 解决此类问题首先应将方程问题转化为函数图像问题，然后列不等式(组)求解，若二次项系数含有参数，需对系数分大于0和小于0两种情况分类讨论．C 2．函数f(x)＝lnx－1的零点所在的大致区间为( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
[解析] 因为在给出的区间中，只有f(2)·f(3)<0，而在其余区间两个端点处的函数值均同号．B3．若f(x)＝x|x|－2，则y＝f(x)的零点个数为________.1－2 课时作业学案第四章 4.1.2
A级 基础巩固
1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上( B )
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数个零点
[解析] ∵f(x)＝－(x－2)2＝0，∴x＝2∈[1,3]，故选B．
2．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是不间断的，并且f(a)·f(b)<0，则这个函数在该区间上( D )
A．只有一个零点 B．有二个零点
C．不一定有零点 D．至少有一个零点
[解析] 若y＝f(x)在[a，b]上单调，f(a)·f(b)<0说明只有一个零点且为变号零点．若不单调，零点个数有可能多于一个．故选D．
3．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上( C )
A．有3个零点 B．有2个零点
C．有1个零点 D．没有零点
[解析] ∵f(0)＝1>0，f(1)＝0，f(2)＝3>0，∴有一个零点．
4．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( C )
[解析] A中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B中函数的图像不连续；D中函数在x轴下方没有图像，故选C．
5．已知连续函数y＝f(x)，有f(a)·f(b)<0(aA．在区间[a，b]中可能没有零点
B．在区间[a，b]中至少有一个零点
C．在区间[a，b]中零点的个数为奇数
D．在区间[a，b]中零点的个数为偶数
[解析] 因为f(a)·f(b)<0，所以由函数零点的性质判断，得f(x)在区间[a，b]中至少存在一个零点．
6．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0，在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( A )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
[解析] ∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，
∴根落在区间(1.25,1.5)间，故选A．
7. 若函数y＝mx2＋x－2没有零点，则实数m的取值范围是(－∞，－).
[解析] 当m＝0时，函数有零点，
所以应有，解得m<－.
8．已知函数f(2x)＝3x2＋1，则f(x＋5)有0个零点．
[解析] ∵f(2x)＝3x2＋1，∴f(x)＝＋1，
∴y＝f(x＋5)＝＋1，
令y＝0，方程无解．
即f(x＋5)无零点．
9．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
[解析] 设f(x)＝5x2－7x－1，
则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，
f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.
而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有一个零点，
即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．
10．求函数y＝x3－4x的零点，并画出它的图像．
[解析] ∵x3－4x＝x(x2－4)＝x(x－2)(x＋2)，
∴函数y＝x3－4x的零点为0，－2,2，这三个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)．
列出这个函数的对应值表：
x
…
－2.5
－2
－1
－0.5
0
0.5
1
2
2.5
…
y
…
－5.625
0
3
1.875
0
－1.875
－3
0
5.625
…
在直角坐标系中描点作图，图像如图所示：
B级 素养提升
1．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.7)的一个根所在的区间是( C )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A．(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
[解析] 判断ex－(x＋2)＝0的一个根所在的区间转化为f(x)＝ex－(x＋2)零点的位置，
∵f(1)＝e1－(1＋2)<0，f(2)＝7.39－4>0.∴零点在(1,2)内．
2．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( C )
A．一定有零点 B．一定没有零点
C．可能有两个零点 D．至多有一个零点
[解析] 如图，若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)如图(1)或图(2)所示，可知A错，若如图(3)所示，可知B错、D错，C对．
3．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下的对应值表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
－136
－21
6
19
13
－1
－8
－2
4
29
则下列判断正确的是(1)(2)(3).
(1)函数f(x)在区间(－1,0)内至少有一个零点；
(2)函数f(x)在区间(2,3)内至少有一个零点；
(3)函数f(x)在区间(5,6)内至少有一个零点；
(4)函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．
[解析] 观察对应值表，不难得到f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，故函数f(x)在区间(－1,0)，(2,3)，(5,6)内至少各有一个零点．而(－1,7)内至少有三个零点．故应填(1)(2)(3)．
4．设函数f(x)＝.
①若a＝1，则f(x)的最小值为－1；
②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a<1或a≥2.
[解析] ①a＝1时f(x)＝.
函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，函数值大于1，在为减函数，在为增函数，当x＝时，f(x)取得最小值为－1.
②若函数f(x)＝2x－a在x<1时与x轴有一个交点，则a>0，并且当x＝1时，f(1)＝2－a>0，则0若函数f(x)＝2x－a与x轴无交点，则函数f(x)＝4(x－a)(x－2a)与x轴两个交点，当a≤0时f(x)与x轴无交点，f(x)＝4(x－a)(x－2a)在x≥1与x轴无交点，不合题意；当f(1)＝2－a≥0时，a≥2，f(x)与x轴有两个交点，x＝a和x＝2a，由于a≥2，两交点横坐标均满足x≥1；综上所述a的取值范围≤a<1或a≥2.
5．图像连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
14
8
－2
2
7
3
－2
－1
8
试判断函数f(x)在哪几个区间内一定有零点？
[解析] ∵f(2)＝8>0，f(3)＝－2<0，函数f(x)图像又是连续不间断的，
∴一定存在x0∈(2,3)，使f(x0)＝0，
即f(x)在(2,3)内有零点．
同理，f(x)在区间(3,4)，(6,7)，(8,9)上也有零点，而且是变号零点．
6．中央电视台曾有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价的过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
[解析] 取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．
C级 能力拔高
求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)．
[解析] 由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，
f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，
∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点，
取区间[1,1.5]作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
a0＝1，b0＝1.5
f(1)＝－1，f(1.5)＝0.875
[1,1.5]
x0＝＝1.25
f(x0)<0
[1.25,1.5]
x1＝＝1.375
f(x1)>0
[1.25,1.375]
x2＝＝1.312 5
f(x2)<0
[1.312 5,1.375]
x3＝
＝1.343 75
f(x3)>0
[1.312 5,1.343 75]
∵区间[1.312 5,1.343 75]两个端点精确到0.1的近似值都是1.3，∴原函数精确到0.1的近似零点为1.3.
课件35张PPT。第四章函数的应用§1 函数与方程
1.2 利用二分法求方程的近似解自主预习学案在一档娱乐节目中，主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格，若猜中了，就把物品奖给选手．某次竞猜的物品为价格在800元～1 200元之间的一款手机，选手开始报价：
选手：1 000.
主持人：低了．
选手：1 100.
主持人：高了．
选手：1 050.
主持人：祝贺你，答对了．
问题1：主持人说“低了”隐含着手机价格在哪个范围内？
问题2：选手每次的报价同竞猜前手机价格所在范围有何关系？1．二分法
每次取区间的中点，将区间________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．
2．函数零点的性质
对于图像是连续不间断的函数，其函数零点具有下列性质：
(1)当函数图像通过零点(不是二重零点)时，其函数值的符号________.(填“改变”或“不改变”)
(2)在相邻的两个零点之间所有的函数值保持________.(填“同号”或“异号”)一分为二 改变 同号 1．函数y＝x2－bx＋1有二重零点，则b的值为( )
A．2 B．－2
C．±2 D．不存在
[解析] ∵y＝x2－bx＋1有二重零点，
∴Δ＝b2－4＝0，即b＝±2，故选C．C2．下列函数中能用二分法求零点的是( )C3．对于函数f(x)＝x3＋x＋m，若满足f(a)<0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内有________个零点．
[解析] 易知该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，又f(a)<0，f(b)>0，故该函数在区间(a，b)内有且只有一个零点．
4．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点2.5，那么下一个有根区间是________.
[解析] 由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所以下一个有根区间是[2，2.5]．1[2,2.5] 互动探究学案 判断下列函数是否有变号零点：
(1)y＝x2－5x－14；
(2)y＝x2＋x＋1；
(3)y＝－x4＋x3＋10x2－x＋5；
(4)y＝x4－18x2＋81.命题方向1 ?函数零点类型的判断典例 1 『规律总结』 1.判断零点类型一般先求出零点，再根据零点两侧函数值与0的大小来判断，而有f(a)·f(b)>0并不一定代表f(x)在[a，b]上没有零点．
2．若给出函数图像，主要去看图像是否与x轴有交点，图像是否穿过了x轴来判定零点类型．A 试判断方程x3＋3x－5＝0在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01)．
[思路分析] 可利用函数零点存在性的判定方法判断方程在(0,3)内有实数解，然后再利用二分法求出其近似值．命题方向2 ?二分法求函数零点的近似值典例 2 [规范解答] 设函数f(x)＝x3＋3x－5，由于f(0)＝－5<0，f(3)＝31>0，因此f(0)·f(3)<0，所以f(x)在(0,3)内至少存在一个零点，即原方程在(0,3)内必有实数解．
以下用二分法求方程在(0,3)内的近似解．
由于f(1)＝－1<0，f(2)＝9>0，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故可取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：『规律总结』 二分法求解步骤
(1)确定区间[a，b]．验证f(a)·f(b)<0，初始区间的选择不宜过大，否则将增加运算的次数；
(2)求区间[a，b]的中点c.
(3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点．
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈[a，c])．
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈[c，b])．
(4)判断a，b的两端的近似值是否相等且满足要求的精确度，若是，得零点的近似解；否则，重复(2)～(4)步．特别注意要运算彻底．〔跟踪练习2〕
用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精确到0.01)．数学来源于生活又服务于生活，二分法在实际生活中也有许多应用，其思想的一个显著特点就是将事物一分为二，然后分析其中一份，如果满足条件，就继续分析，如果不满足条件，则分析另外一份，从而达到简化分析问题的目的．二分法在实际生活中的应用 新泰电器公司生产某型号的笔记本电脑，2015年平均每台这种型号的笔记本电脑的生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2016年开始，公司更新设备，加强管理，逐渐推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2019年平均每台这种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2015年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高利率．
(1)求2019年平均每台这种型号的笔记本电脑的生产成本；
(2)以2015年的生产成本为基数，用二分法求2015年～2019年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01)．典例 3 [思路分析] 用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．
[规范解答] (1)设2019年平均每台这种型号的笔记本电脑的生产成本为p元，根据题意，得p(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得p＝3 200.
(2)设2015年～2019年平均每年生产成本降低的百分数为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝3 200(0列出x，f(x)的部分对应值表如下：观察上表，可知f(0)·f(0.15)<0，说明此函数在区间(0,0.15)内有零点x0.取区间(0,0.15)的中点x1＝0.075，用计算器可算得f(0.075)≈460，∵f(0.075)·f(0.15)<0，
∴x0∈(0.075,0.15)．再取(0.075,0.15)的中点x2＝0.112 5，用计算器可算得f(0.112 5)≈－98.
∵f(0.075)·f(0.112 5)<0，∴x0∈(0.075,0.112 5)，同理，可得x0∈(0.093 75,0.112 5)，x0∈(0.103 123,0.112 5)，x0∈(0.103 125,0.107 812 5)，x0∈(0.105 468 75,0.107 812 5)．由于区间(0.105 468 75,0.107 812 5)的长度不大于0.01，因此所列方程的近似解为0.11.
答：(1)2019年平均每台这种型号的笔记本电脑的生产成本为3 200元．
(2)2015年～2019年生产成本平均每年降低的百分数约为11%.『规律总结』 本题实际上是二分法在实际问题中的应用，通过取区间中点，依次使区间的长度减半，就逐步逼近了函数的零点，从而使问题得以解决．事实上，二分法不仅仅用于方程根的求解，它在我们的日常生活中也非常有用，如用于实验设计，用于资料查询，还能用于查找线路中电线故障及水管、气管故障等． 用二分法求方程x2－5＝0的一个非负近似解(精确到0.1)．
[误解] 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间[2.2,2.4]内有零点x0，
取区间[2.2,2.4]的中点x1＝2.3，f(2.3)＝2.32－5＝0.29>0，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈[2.2,2.3]，
再取区间[2.2,2.3]的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5>0，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈[2.2,2.25]，
所以原方程的非负近似解为2.2.
[辨析] 本题产生错解的原因是对精确度的理解不正确，2.25取近似值为2.3.典例 4 [正解] 令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0，说明这个函数在区间[2.2,2.4]内有零点x0，
取区间[2.2,2.4]的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29>0，
因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈[2.2,2.3]，
再取区间[2.2,2.3]的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5>0，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈[2.2,2.25]，
同理可得x0∈[2.225,2.25]，x0∈[2.225,2.237 5]，
因为2.237 5－2.225＝0.012 5<0.1，区间[2.225，2.237 5]的左、右端点精确到0.1所取的近似值2.2，所以2.2就是所给方程的一个非负近似解．『规律总结』 用二分法求函数的零点，首先是大致区间的确定，使区间长度尽量小，否则会增加运算量．虽然此类问题要求用计算器运算，但也应注意运算的准确性．另外，在计算到第n步时，区间[an，bn]的长度应小于精确度．C 2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
[解析] 二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0，
显然f(－2)＝－3，f(1)＝6.
∴f(－2)·f(1)<0.A 3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
[解析] 先分2组，每组13个，挑出质量小一点的一组，再把13枚分成一组6个，另一组也6个，把两组分别放入托盘中，若天平不平衡，则假币应在6枚中，挑出轻的一组，再分成2组，每组3个，挑出轻的一组，剩余3个，最后再拿出2枚放入托盘即可．
4．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a、b的关系是________.
[解析] 二次函数有零点，但不能用二分法求出，则有Δ＝a2－4×1×b＝0，即a2－4b＝0.4 a2－4b＝0 课时作业学案