第四章 4.2
A级 基础巩固
1．一段导线，在0℃时的电阻为2Ω，温度每增加1℃，电阻增加0.008Ω，那么电阻R(Ω)表示为温度t(℃)的函数关系式为( B )
A．R＝0.008t B．R＝2＋0.008t
C．R＝2.008t D．R＝2t＋0.008
[解析] 由题意知电阻R与温度t构成一次函数关系，故选B．
2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )
A．3 B．4
C．6 D．12
[解析] 设隔墙的长为x，则矩形的长为.由＝12－2x>0，得0
设矩形面积为y，则y＝x·＝2x(6－x)，0由y＝2x(6－x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，知当x＝3时，y最大且ymax＝18.
3．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2018年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2018年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是( A )
A．y＝0.95·m
B．y＝(1－0.05)·m
C．y＝0.9550－x·m
D．y＝(1－0.0550－x)·m
[解析] 设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的q%，则(q%)50＝0.95，∴q%＝0.95，
即x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为y＝0.95·m.
4．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( C )
A．14 400亩 B．172 800亩
C．17 280亩 D．20 736亩
[解析] 因为年增长率为20%，所以第四年造林为10 000×(1＋20%)3＝17 280(亩)，故选C．
5．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
2
5
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( D )
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
[解析] 代入数值检验，把x＝2代入可排除A、B、C，把x＝1,2,3 代入D选项，符合题意．
6．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( B )
(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
[解析] 设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝log1.12＝≈3.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年，选B．
7．为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密函数为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是4.
[解析] 依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，
故6＝a3－2，解得a＝2，
所以加密函数为y＝2x－2，
因此当y＝14时，由14＝2x－2，
解得x＝4.
8．已知气压p(hPa)与海拔高度h(m)的关系式为p＝1 000×()，则海拔6 000m处的气压为4.9hPa.
[解析] 把h＝6 000代入p＝1 000()，得p＝4.9.
9．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
(1)设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？(服装厂售出一件服装的利润＝实际出厂的单价－成本)
[解析] (1)当0当100所以P＝f(x)＝(x∈N＋)．
(2)设销售商一次订购量为x件时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(P－40)x＝(x∈N＋)．
当x＝450时，L＝5 850，
因此，当销售商一次订购450件服装时，该厂获得的利润是5 850元．
10．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过1‰，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)
[解析] 解法1：∵每次过滤杂质含量降为原来的，过滤n次后杂质含量为·n.
依题意，得·n≤，即n≤，
∵7＝>，8＝<，
∴由题意知至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．
解法2：接解法1：()n≤，
则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，
即n≥≈7.4，又n∈N＋，
∴n≥8，即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求．
B级 素养提升
1.如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m2、4m2、8m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.
其中正确的是( D )
A．①② B．①②③④
C．②③④⑤ D．①②⑤
[解析] 设此指数函数为y＝ax(a>0且a≠1)，
由图像可知：(1,2)，(2,4)代入可得：
a＝2，∴y＝2x，故①正确．
当x＝5时，y＝25＝32>30，②正确．
当y＝4时，x＝2，当y＝12时，x＝log212>log22，从而可知浮萍从4m2蔓延到12m2用时超过1.5个月，③错，显然④错误．
把y＝2,4,8代入y＝2t分别得t1＝1，t2＝2，t3＝3，故⑤正确．因此选D．
2．某食品的保鲜时间y(单位：h)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是( C )
A．16h B．20h
C．24h D．21h
[解析] 由题意，，得.
于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝()3×192＝24(h)．
3．日本东京为成功举办2020年奥运会，决定从2016年底到2019年底三年间更新市内全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2017年底已更新现有总车辆数的百分比约为30.2%(保留3位有效数字)．
[解析] 设现有车辆总数为a,2017年底更新了现有总车辆数的百分比为x，则a·x＋a·x(1＋10%)＋ax(1＋10%)2＝a.
∴x(1＋1.1＋1.12)＝1.∴x≈30.2%.
4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．
[解析] 由图像可知，当0≤t<0.1时，y＝10t；
当t＝0.1时，由1＝0.1－a，得a＝0.1，
∴当t＞0.1时，y＝.
5．某工厂生产商品A，每件售价80元，每年产销80万件，工厂为了开发新产品，经过市场调查，决定提出商品A的销售金额的p%作为新产品开发费(即每销售100元提出p元)，并将商品A的年产销量减少了10p万件．
(1)若工厂提出的新产品开发费不少于96万元，求p的取值范围；
(2)若工厂仅考虑每年提出最高的开发费，求此时p的值．
[解析] 由题意知，当开发费是商品A的销售金额的p%时，销售量为(80－10p)万件，此时销售金额为80×(80－10p)万元，
新产品开发金额f(p)＝80×(80－10p)×p%(万元)．
(1)由题设知
解得2≤p≤6.
即新产品开发费不少于96万元时，p的取值范围为2≤p≤6.
(2)当0＝－8(p－4)2＋128.
∴当p＝4时，f(p)max＝128.
即当p＝4时，开发金额最多，可达到128万元．
6．要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？
[解析] 设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则窗框总长l＝＋x＋2y，
y＝，由y>0，得x∈(0，)．
S＝x2＋xy＝x2＋·x
＝－(x－)2＋，x∈(0，)．
当x＝时，Smax＝，此时，y＝＝.
答：窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光面积最大．
C级 能力拔高
某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选择二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
[解析] 设两个函数
y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)；
y2＝g(x)＝a·bx＋c.
依题意，有，解得.
∴y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
∴f(4)＝1.3(万件)，
依题意，也有，解得.
∴y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4，
g(4)＝－0.8×(0.5)4＋1.4＝1.35(万件)．
经比较可知，g(4)＝1.35(万件)，比f(4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件．
∴选用y2＝g(x)＝－0.8×(0.5)x＋1.4作为模拟函数较好．
课件45张PPT。第四章函数的应用§2 实际问题的函数建模自主预习学案
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件．于是商场经理决定每件衬衫降阶15元．那么经理的决定正确吗？
这需要把实际问题转化为数学问题用函数模型来解决．1．用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作________，用图示表示数学建模的过程如图所示．数学建模 kx＋b k≠0 k≠0 1．一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )
A．一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
[解析] 由图像是一条射线知其所对应的函数模型是一次函数模型．A2．某物体一天中的T(℃)是时间t(小时)的函数：T＝t3－3t＋60.t＝0表示12?00，其中下午t取值为正，则上午8?00的温度是( )
A．112℃ B．58℃
C．18℃ D．8℃
[解析] 上午8?00的温度可以表示为T＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8，故选D．D4．某物体从高处以静止状态下落，下落的路程与下落所经过的时间的平方成正比，已知下落的最初两秒钟，物体下落了19.6m，如果下落时间为5s，则下落距离是________m.
[解析] 设路程y与时间t满足y＝kt2(k≠0)，则19.6＝k×4，解得k＝4.9.
所以y＝4.9t2.
当t＝5时，y＝4.9×52＝122.5(m)122.5 互动探究学案 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．命题方向1 ?一次函数模型的应用典例 1 (1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？
[思路分析] 利用待定系数法求y1，y2与x的函数关系，然后比较y1与y2的大小，确定答案．『规律总结』 1.一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般情况下可以用“问什么，设什么，列什么”这一方法来处理．
2．这是一个一次函数在实际问题中的应用的题目，认真读题，审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．〔跟踪练习1〕
某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30天)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份．设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？ A，B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km，已知每个城的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域．
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
[思路分析] (1)分别写出甲、乙两城月份用电费用，进而可求出两地的月供电总费用；(2)建立二次函数模型，利用二次函数求最值的方法求解．命题方向2 ?二次函数模型应用典例 2 『规律总结』 二次函数模型是实际应用题中常见的类型，也是高考考查的重点题型．特别是在解决实际问题中的最大、最小值问题时，可用配方法、函数的单调性等方法． 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表．已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠将会死亡．如注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.命题方向3 ?指数函数、对数函数模型典例 3 (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，已知：lg2＝0.301 0)
[思路分析] 根据题意，建立病毒细胞个数y与时间t的函数关系y＝2t－1，然后利用不等式求解．『规律总结』 随着新课标的逐渐铺开(如计算器的广泛使用)，以往对于指数运算的困难便已不再是困难．换句话说，指数函数的应用型问题将可以堂而皇之地进入到各级各类考试中．就本题而言，难度并不大，在读懂题意的基础上，只需要最基本的归纳推理能力和观察能力，便能发现病毒细胞个数关于时间的函数关系式，在此基础上问题的解决只是计算上的问题了．〔跟踪练习3〕
20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅；A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差)．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级；(精确到0.1)
(2)5级地震给人震感已比较明显，计算8级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍．“勾”函数模型 典例 4 『规律总结』 本题的关键是用年产量x吨把每吨的平均成本及年获得总利润表示出来，然后再求其最值，在求解最值时我们要用到“勾”函数的单调性，记住这个结论可简化计算过程． 某工厂今年前五个月每月生产某种产品的总量C(件)关于时间t(月)的函数图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4,5两月生产总量逐月减少
B．1月至3月生产总量逐月增加，4,5两月生产总量与3月持平
C．1月至3月每月生产总量逐月增加，4,5两月均停止生产
D．1月至3月每月生产总量不变，4,5两月均停止生产典例 5 B[错解] C
[辨析] 对4,5月份的图像含义不明确，误以为这两个月停产．
[正解] B 观察图像可知，该厂生产这种产品，1月份生产总量是C1,2月份生产总量是C2,3月份生产总量是C3,4,5月份的生产总量均为C3，而C1A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)
B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)
D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
[解析] 因为自行车x辆，∴电动车4 000－x辆，y＝0.2x＋0.3(4 000－x)＝－0.1x＋1 200，故选D．DB 3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应为每个________元．
[解析] 设每个涨x元，利润为y元．
则销售量为400－20x.
由题意得y＝(10＋x)(400－20x)
＝－20x2＋200x＋4 000
＝－20(x－5)2＋4 500
所以当x＝5时，y取最大值4 500元．
故当每个商品售价定为95元时，利润最大．95 4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2014年产生的垃圾量为a吨，由此预测该区2019年的垃圾量应为________吨．
[解析] 2015年的垃圾量为a(1＋b)吨，从2014年开始经过5年到2019年时该区的垃圾量应为a(1＋b)5吨．a(1＋b)5 课时作业学案