第二章 学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋的定义域为( A )
A．[－1,2)∪(2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．[－1,2) D．[－1，＋∞)
[解析] 要使有意义，须满足x＋1≥0，即x≥－1；要使有意义，须满足2－x≠0，即x≠2，所以函数f(x)的定义域为{x|x≥－1，且x≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( D )
A．2 B．1
C．0 D．－2
[解析] ∵f(x)为奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋)＝－2.
3．下列四个图像中，表示的不是函数图像的是( B )
[解析] 选项B中，当x取某一个值时，y可能有2个值与之对应，不符合函数的定义，它不是函数的图像．
4．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是( C )
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
[解析] 因为二次函数开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．
5．已知集合A和集合B的元素都属于N，映射f：A→B，若把集合A中的元素n映射到集合B中为元素n2＋n，则在映射f下，像20的原像是( A )
A．4 B．5
C．4或－5 D．－4或5
[解析] 由题意，得n2＋n＝20，
∴n2＋n－20＝0，
∴(n＋5)(n－4)＝0，
∴n＝－5或n＝4.
∵n∈N，∴n＝4，故选A．
6．(2019·山东烟台高一期中测试)已知函数y＝f(x)的部分x与y的对应关系如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
3
2
1
0
0
－1
－2
－3
则f[f(4)]＝( D )
A．－1 B．－2
C．－3 D．3
[解析] 由图表可知，f(4)＝－3，∴f[f(4)]＝f(－3)＝3.
7．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( D )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
[解析] ∵f(x)为R上的奇函数，f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝1，
由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3，故选D．
8．若奇函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1，则它在[－7，－3]上是( B )
A．增函数且最小值是－1 B．增函数且最大值是－1
C．减函数且最大值是－1 D．减函数且最小值是－1
[解析] ∵奇函数在对称区间上的单调性相同，最值互为相反数．∴y＝f(x)在[－7，－3]上有最大值－1且为增函数．
9．定义在[1＋a,2]上的偶函数f(x)＝ax2＋bx－2在区间[1,2]上是( B )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减函数 D．先减后增函数
[解析] ∵函数f(x)是偶函数，∴b＝0.定义域为[1＋a,2]，则1＋a＝－2，∴a＝－3.
又二次函数f(x)＝－3x2－2的图像开口向下，对称轴为y轴，则在区间[1,2]上是减函数．
10．若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围为( D )
A．(0，) B．(，＋∞)
C．(－∞，0) D．[0，)
[解析] ∵函数的定义域为R，
∴kx2＋4kx＋3恒不为零，则k＝0时，成立；
k≠0时，Δ<0，也成立．∴0≤k<.
11．函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像过点(－1,0)，则＋－的值是( A )
A．－1 B．1
C． D．－
[解析] ∵函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像过(－1,0)点，则有a＋b＋c＝0，
即a＋b＝－c，b＋c＝－a，a＋c＝－b.
∴＋－＝－1.
12．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图像的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝( B )
A．0 B．m
C．2m D．4m
[解析] 因为y＝f(x)，y＝|x2－2x－3|都关于x＝1对称，所以它们交点也关于x＝1对称，当m为偶数时，其和为2×＝m，当m为奇数时，其和为2×＋1＝m，因此选B．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是y＝x2＋4x＋2.
[解析] y＝(x＋2)2＋1－3＝(x＋2)2－2
＝x2＋4x＋2.
14．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)函数f(x)＝＋的定义域是{x|x≤2且x≠－1}.
[解析] 由题意得，
解得x≤2且x≠－1，
∴函数f(x)的定义域为{x|x≤2且x≠－1}．
15．已知函数f(x)＝x2－|x|，若f(－m2－1)
[解析] 因为f(x)＝x2－|x|＝|x|2－|x|＝(|x|－)2－，所以f(x)为偶函数，且在区间(，＋∞)上为增函数．
又f(－m2－1)＝f(m2＋1)所以m2＋1<2.所以m2<1，即－116．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如：解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”有三个：①y＝2x2＋1，x∈{－2}；②y＝2x2＋1，x∈{2}；③y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有3个．
[解析] 根据定义，满足函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”有：y＝2x2＋1，x∈{0，}；y＝2x2＋1，x∈{0，－}，y＝2x2＋1，x∈{－，0，}共3个．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝.
(1)求f{f[f()]}的值；
(2)求f(a)＝3，求a的值；
(3)画出函数的图像．
[解析] (1)∵－1<<2，∴f()＝()2＝3.
又 3≥2，∴f[f()]＝f(3)＝2×3＝6.
又6≥2，∴f{f[f()]}＝f(6)＝2×6＝12.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2.若f(a)＝3，则a＋2＝3，
∴a＝1(舍去)．
当－1∴a＝，或a＝－(舍去)．
当a≥2时，f(a)＝2a.若f(a)＝3，则2a＝3，
∴a＝(舍去)．综上可知，a＝.
(3)函数f(x)的图像如图所示，
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－3,3]．
(1)当a＝－5时，求f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－3,3]上是单调函数．
[解析] (1)当a＝－5时，f(x)＝x2＋10x＋2＝(x＋5)2－23，x∈[－3,3]，
又因为二次函数开口向上，且对称轴为x＝－5，
所以当x＝－3时，f(x)min＝－19，当x＝3时，f(x)max＝41.
(2)函数f(x)＝(x－a)2＋2－a2的图像的对称轴为x＝a，因为f(x)在[－3,3]上是单调函数，
所以a≤－3或a≥3.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增加的；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
[解析] (1)设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝(－)－(－)
＝－＝.
∵00.
∴<0.∴f(x1)∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增加的．
(2)∵f(x)在[，2]上的值域是[，2]，
又∵f(x)在[，2]上是增加的，
∴，即.∴a＝.
20．(本小题满分12分)已知幂函数y＝f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
[解析] 由{x|－2(1)由－2m2－m＋3>0，
∴2m2＋m－3<0，∴－由(2)知f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2为偶函数，舍去．
当m＝0时，f(x)＝x3为奇函数．
∴f(x)＝x3.
当x∈[0,3]时，f(x)在[0,3]上为增函数，
∴f(x)的值域为[0,27]．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)证明：f(x)是偶函数；
(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(3)求函数的值域．
[解析] (1)证明：∵定义域关于原点对称，
f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x<0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝.
根据二次函数的作图方法，可得函数图像，如图
函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)，[0,1]上为减函数，
在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(3)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2.
当x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.
故函数f(x)的值域为[－2,2]．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋x3，x∈R.
(1)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若a，b∈R，且a＋b>0，试比较f(a)＋f(b)与0的大小．
[解析] (1)函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数，
证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1f(x1)－f(x2)＝(x1＋x)－(x2＋x)＝(x1－x2)＋(x－x)＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x＋1)
＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x＋1]．
因为x10.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以函数f(x)＝x＋x3，x∈R是增函数．
(2)由a＋b>0，得a>－b，由(1)知f(a)>f(－b)，
因为f(x)的定义域为R，定义域关于坐标原点对称，
又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x－x3
＝－(x＋x3)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，从而f(a)＋f(b)>0.
课件57张PPT。第二章函 数本章归纳总结知识结构知识整合函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终，配方法、换元法、待定系数法等基本方法，特殊化思想、分类讨论思想、数形结合等数学思想在本章中有较大应用，通过学习幂函数、二次函数，体会函数思想在数学和其他学科中的重要性，因此说函数是中学数学的一条主线，是中学数学的重要内容，是学习数学其他知识和分支的基础．1．函数的概念
函数的实质是两个非空数集之间的一种特殊映射．
学习时要注意体会用函数的思想解方程、不等式，要善于总结归纳求函数的定义域、值域的常见题型及相应的求解思路．
2．函数的图像
函数的图像可以形象地揭示函数的有关性质．在考试题中主要考查基本初等函数的图像特征及函数的图像变换．要学会利用函数的图像来解题，若题目中已给出图像，应注意深入挖掘图像中所反映出的有助于解题的明显信息和隐含信息；若题目中未给出图像，应有意识地画出函数的草图．3．函数的性质
函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性，这是考试考查的重点中的重点，与此相关的综合题，不仅局限于函数本身的综合，还可以是与不等式的交叉综合，但归根结底都要利用函数的性质来进行解题．
4．二次函数
熟练掌握二次函数的三种表示方式：
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－k)2＋h(a≠0)；
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．专题突破函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，它是两个非空数集间的映射，它要求任给一个自变量的值，都有唯
一的函数值与之对应，由此可判断在某种对应关系f的作用下，从非空数集A到非空数集B的对应是否是函数．函数的表示方法主要有列表法、图像法、解析法．在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是非常重要的．函数的图像是变量间关系的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势．函数图像广泛地应用于解题过程当中，利用数形结合解题直观、明了、易懂，在历届高考中，常出现有关函数图像和利用图像解题的试题．专题一 ?函数的概念及表示法 已知函数f(x)的定义域为[－1,3]，在同一坐标系下，函数y＝f(x)的图像与直线x＝1的交点个数为
( )
A．0 B．1
C．2 D．0或1
[解析] ∵f(x)的定义域为[－1,3]，而1∈[－1,3]，∴点(1，f(1))在函数y＝f(x)的图像上，又在直线x＝1上．
由于函数的定义知，函数是一种特殊的对应，即对于定义域[－1,3]中的任意一个元素，在其值域中有唯一确定的元素与之对应，故直线x＝1与y＝f(x)的图像有且只有一个交点．典例 1 B 客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图像中，正确的是( )典例 2 C1.直接法
求基本初等函数(正、反比例函数，一次、二次函数)的最值，应用基本初等函数的最值结论，直接写出其最值．专题二 ?求函数最值(值域)的方法 函数f(x)＝x2－4x＋3在[0,3]上的值域是( )
A．[0,3] B．[－1,0]
C．[0,2] D．[－1,3]典例 3 D 求下列函数的值域．
(1)y＝3x－1，x∈{1,2,3,4}；(2)y＝|x|＋1.典例 4 典例 5 典例 6 5．图像法
画出函数图像，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值． 函数y＝|x＋1|－|x－1|的最大值是________.典例 7 2 6．单调性法
先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值．常用到下面的结论：①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增加的，在区间[b，c)上是减少的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减少的，在区间[b，c)上是增加的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．典例 8 典例 9 研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求．其中，单调性是在某个区间上刻画函数值随自变量的变化而变化的趋势；奇偶性是从整个定义域内反映函数的对称性质．对函数的这两个性质，不仅会从图像上直观感知，还要能利用它们解决有关函数问题．专题三 ?函数的性质及应用 典例 10 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开．抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等．主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题．专题四 ?抽象函数问题 典例 11 1.函数与方程思想
函数与方程思想就是利用函数、方程的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式．函数与方程思想体现了动与静、变量与常量的辩证统一．函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关最值、解不等式或方程以及讨论参数的取值范围问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的．专题五 ?函数中的思想方法 已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(1，－1)且图像经过原点．
(1)求该函数的表达式；
(2)作出函数y＝|f(x)|的图像；
(3)根据函数图像指出当k为何值时，方程|f(x)|＝k有2个根，3个根，4个根．典例 12 典例 13 2 典例 14 B B 3．二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，又f(x)在[0,2]上是增函数，且f(a)≥f(0)，那么实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)CA 5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1B6．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是_________________________.[－1,1]，[3，＋∞) 8．函数f(x)是定义域为R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0]上为减函数，则f(1.5)，f(π)，f(－2)的大小顺序为(用<号连接起来)_______________________.f(1.5)f(0)对t∈R均成立？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．