第四章 学业质量标准检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)＝0的实数解的个数是( D )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)＝0有3个实数解．
2．函数y＝x的零点是( A )
A．0 B．(0,0)
C．(1,0) D．1
[解析] 函数y＝x的零点是其图像与横轴交点的横坐标0，它是一个实数，而不是点，故选A．
3．方程lgx＋x＝0的根所在区间是( B )
A．(－∞，0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,4)
[解析] 若lgx有意义，∴x>0，故A不正确，
又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B．
4．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点．
5．若f(x)是一个二次函数，且满足f(2＋x)＝f(2－x)，该函数有两个零点x1，x2，则x1＋x2＝( C )
A．0 B．2
C．4 D．无法判断
[解析] 由f(2＋x)＝f(2－x)知f(x)的图像关于x＝2对称．
∴x1＋x2＝4.
6．下图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．在下列四个区间中，存在不能用二分法求出的零点，则该零点所在的区间是( B )
A．[－2，－1] B．[1,2]
C．[4,5] D．[5,6]
[解析] 在区间[1,2]上的零点为不变号零点，故不能用二分法求．
7．夏季高山温度从山脚起每升高100m，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为( C )
A．1 750m B．1 730m
C．1 700m D．1 680m
[解析] 设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度，根据题意得y＝26－0.7x，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x＝17(百米)，
∴山的相对高度是1 700m.
8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( B )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[解析] ∵f(x)＝2x＋3x，∴f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，故选B．
9．若方程lnx＋x－4＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a的值为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 设f(x)＝lnx＋x－4，f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3－1>0，f(2)f(3)<0，
∴根在区间(2,3)内，∴a＝2.故选B．
10．若方程x2＋(m－2)x＋(5－m)＝0的两根都大于2，则m的取值范围是( A )
A．(－5，－4] B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4]
[解析] 考查函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)，由条件知它的两个零点都大于2，其图像如图所示．
由图可知，
，即，
∴－5
11．已知函数f(x)在区间[0，a]中有唯一的变号零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为[0，]，[0，]，[0，]，则下列说法正确的是( D )
A．函数f(x)在区间[0，]中有零点
B．函数f(x)在区间[0，]或[，]中有零点
C．函数f(x)在区间[，a]中无零点
D．函数f(x)在区间[0，]或[，]中有零点，或零点是
[解析] 由二分法的定义可知，只有D正确．
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( D )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
[解析] 令x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x，
又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋3x，
∴f(x)＝－x2－3x(x<0)，
∴f(x)＝.
∴g(x)＝.
当x≥0时，由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.
当x<0时，由－x2－4x＋3＝0，得x＝－2－，
∴函数g(x)的零点的集合为{－2－，1,3}．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝(x2－3)(x2－2x－3)的零点为±，3，－1 .
[解析] 令f(x)＝0，得x＝±，或x＝3，或x＝－1.
14．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9m2.
[解析] 设框架的一边长为xm，则另一边长为(6－x)m.
设框架面积为ym2，则y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9(015．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为4_025.
[解析] 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2 012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2 012个零点，又x∈R，所以f(0)＝0，因此共4 025个零点．
16．函数f(x)＝的零点个数是2.
[解析] 当x≤2，令x2－2＝0，得x＝－；
当x>0时，令2x－6＋lnx＝0，
即lnx＝6－2x，
在同一坐标系中，画出函数y＝6－2x与y＝lnx的图像如图所示．
由图像可知，当x>0时，函数y＝6－2x与y＝lnx的图像只有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
综上可知，函数f(x)有2个零点．
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求函数y＝x3－7x＋6的零点．
[解析] ∵x3－7x＋6＝(x3－x)－(6x－6)
＝x(x2－1)－6(x－1)
＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1)
＝(x－1)(x2＋x－6)
＝(x－1)(x－2)(x＋3)，
∴由x3－7x＋6＝0即(x－1)(x－2)(x＋3)＝0得x1＝－3，x2＝1，x3＝2.
∴函数y＝x3－7x＋6的零点为－3,1,2.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋m的零点都在区间(0,2)内，求实数m的范围．
[解析] 由题意可得，即，
解得019．(本小题满分12分)(济南一中月考，有改动)判断方程x3－4x－2＝0在区间[－2,0]内实数根的个数．
[解析] 设f(x)＝x3－4x－2，则f(x)的图像是连续曲线，而f(－2)＝－2<0，f(0)＝－2<0，若取区间[－2,0]内一点－1，得f(－1)＝1>0，取x＝3，得f(3)＝13>0，因此函数f(x)满足f(－2)·f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(0)·f(3)<0，
∴f(x)分别在[－2，－1)，(－1,0)，(0,3)内至少存在一个零点，
又∵x3－4x－2＝0最多有3个根，
∴方程x3－4x－2＝0在区间[－2,0]内有2个实数根．
20．(本小题满分12分)某公司从2009年的年产值100万元，增加到10年后2019年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年的平均增长率是多少？(ln(1＋x)≈x，lg2＝0.3，ln10＝2.30)
[解析] 设每年年增长率为x，
则100(1＋x)10＝500，即(1＋x)10＝5，
两边取常用对数，得
10·lg(1＋x)＝lg5，
∴lg(1＋x)＝＝(lg10－lg2)＝.
又∵lg(1＋x)＝，
∴ln(1＋x)＝lg(1＋x)·ln10.
∴ln(1＋x)＝×ln10＝×2.30＝0.161＝16.1%.
又由已知条件ln(1＋x)≈x得x≈16.1%.
故每年的平均增长率约为16.1%.
21．(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出范围；若不存在，请说明理由．
[解析] 若实数a满足条件，则只需f(－1)f(3)≤0即可．
f(－1)f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，所以a≤－或a≥1.
检验：(1)当f(－1)＝0时a＝1，所以f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
(2)当f(3)＝0时a＝－，此时f(x)＝x2－x－.
令f(x)＝0，即x2－x－＝0.
解得，x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)．
22．(本小题满分12分)某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．
[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：
(1)当一顶点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大，
∴S1＝SBCDB1＝5 600m2.
(2)当一顶点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，
∴S2＝SAA1DE＝6 000m2.
(3)当一顶点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.
设MQ＝x(0≤x≤20)，∴MP＝PQ－MQ＝80－x.
又OA＝20，OB＝30，则＝，
∴＝，∴QB＝x，
∴MN＝QC＝QB＋BC＝x＋70，
∴S3＝SMNDP＝MN·MP＝(70＋x)·(80－x)
＝－(x－)2＋，
当x＝时，S3＝.比较S1，S2，S3，得S3最大，
此时MQ＝m，BM＝m，
故当长方形一顶点落在AB边上离B点m处时公寓占地面积最大，最大面积为m2.
课件50张PPT。第四章函数的应用本章归纳总结知识结构知识整合1．方程的根与函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．
方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
零点性质：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
对于区间[a，b]上图像连续不断，且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．专题突破1.函数零点的判断
由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以函数问题可转化为方程问题，方程问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件，我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用．专题一 ?基本题型归纳 典例 1 2．方程根的区间分布
求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋
2(m－1)x＋2m＋6＝0.
(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2)有两个实根，且都大于1；
(3)有两实数根α、β，且满足0<α<1<β<4；
(4)至少有一个正根．
[分析] 利用函数零点的性质和根的判别式求解．典例 2 3．二分法求近似解典例 3 [点评] 1.求根式的近似值，实质上就是将根式转化为方程的无理根，利用函数零点的性质，通过二分法求解．
2．二分法思想实质上是一种逼近思想，所求值与近似值间的差异程度取决于精确值．4．函数建模应用问题典例 4 D 图1 1.函数与方程思想
在数学上，解方程是很重要的内容，但是能够将精确解求出来的方程不是很多，五次以上的一般代数方程，一般的超越方程，以及实际生活和物理研究中的方程，我们只能求它的有理近似解．而将解方程的问题转化为函数零点的问题，利用函数的整体性质来认识局部性质是求方程近似解的一般方法．解方程实际是求函数的零点，这样指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程就可转化为求函数零点的求解问题．专题二 ?数学思想方法 典例 5 C 典例 6 我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．
若每月用水量不超过最低限量am3，只付基本费8元和每户每月定额损耗费c元；若用水量超过am3时，除了付以上的基本费和损耗费外，超过部分按b元/m3支付超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．
该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示，根据表中的数据求a，b，c.典例 7 [分析] 易知2月份，3月份的用水量已超过了最低限量am3，但1月份的用水量是否已超过最低限量，需要进行分类讨论．1．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[解析] ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，
即f(0)f(1)<0，
∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．C2．若函数f(x)是偶函数，定义域为{x∈R|x≠0}且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断BC 4．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4B 5．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是( )
A．a<－1 B．a>1
C．－10)有两个零点，若f(m)<0，则在(m，m＋1)上函数零点的个数是________.1 7．现有含盐7%的食盐水200g，要将它制成工业生产上需要的含盐在5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需加入4%的食盐水xg，则x的取值范围是________.(100,400) A、B、E或B、D、E、F 9．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%.
(1)写出水中杂质含量y与过滤的次数x之间的函数关系式．
(2)要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？(lg2≈0.301 0)