第一章 1.1
A级 基础巩固
1．(2019·山东金乡县高一期中测试)下列各组对象可以组成集合的是( B )
A．数学必修1课本中所有的难题
B．小于8的所有素数
C．直角坐标平面内第四象限的一些点
D．所有小的正数
[解析] 由集合的含义，根据集合中元素的确定性，排除A、C、D，故选B．
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( D )
A．∈M B．0?M
C．1∈M D．－∈M
[解析] >1，故A错；－2<0<1，故B错；1不小于1，故C错；－2<－<1，故D正确．
3．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为( D )
A．{1,2}
B．{(1,2)}
C．{(1,1)，(2,2)}
D．{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}
[解析] x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.
∴集合{(x，y)|x∈{1,2}，y∈{1,2}}表示为{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，故选D．
4．给出下列语句：
①N中最小的元素是1；
②若a∈N，则－a?N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④0∈?.
其中正确语句的个数为( A )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确；空集不含有任何元素，所以④不正确．故选A．
5．若集合{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( B )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
[答案] B
[解析] 根据集合中元素的互异性，可知三角形的三边长不相等，故选B．
6．已知集合A＝{x|x≤10}，a＝＋，则a与集合A的关系是( A )
A．a∈A B．a?A
C．a＝A D．{a}∈A
[解析] 由于＋＜10，所以a∈A，故选A．
7．用符号“∈”或“?”填空：
(1)∈R; (2)∈Q；
(3)2∈N＋； (4)0.3?Z.
[解析] (1)∵是实数，∴∈R.
(2)∵是有理数，∴∈Q.
(3)∵N＋是正整数集，∴2∈N＋.
(4)∵0.3是小数，∴0.3?Z.
8．方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝－6，c＝－1.
[解析] 依题意得－＝＋且＝×，解得a＝－6，c＝－1.
9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A．
[解析] 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
解得x＝2.
此时集合A＝{2}．
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数k的值为0或1.
当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．
10．设A＝{2,3，a2＋2a－3}，B＝{|a＋3|,2}，已知5∈A，且5?B，求a的值．
[解析] ∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5.
∴a＝2或a＝－4.
又∵5?B，∴|a＋3|≠5.
∴a≠2且a≠－8.
∴a＝－4.
B级 素养提升
1．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( C )
A．1 B．－2
C．6 D．2
[解析] 解法1：验证法：若a＝1时，a2＝1,2－a＝1，不满足集合中元素的互异性；若a＝－2或2时，a2＝4，也不满足集合中元素的互异性，故a＝6，选C．
解法2：直接法：由集合中元素的互异性可知，a2≠4，
∴a≠±2.
又a2≠2－a，∴a2＋a－2≠0，
∴a≠1且a≠－2，故选C．
2．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( D )
A．0?M B．2∈M
C．－4?M D．4∈M
[解析] 当x>0时，＝1，当x<0时，＝－1，
故当x，y，z全为正时，原式＝4；
当x，y，z两正一负时，xyz<0，原式＝0；
当x，y，z两负一正时，xyz>0，原式＝0；
当x，y，z全为负时，xyz<0，原式＝－4，故M的元素有4,0，－4，∴4∈M.故选D．
3．集合{，，，，}可用特征性质描述法表示为{x|x＝，n∈N ＋，n≤5}.
[解析] 将分母改写为连续自然数，考虑分子与分母间的关系.，，，，，可得，n∈N ＋，n≤5.
4．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为2.
[解析] ∵－5是方程x2－ax－5＝0的根，
∴25＋5a－5＝0，
∴a＝－4，
∴x2－4x－a＝x2－4x＋4＝0，
∴x＝2，∴该集合中所有元素之和为2.
5．用另一种方法表示下列集合．
(1){－3，－1,1,3,5}；
(2){x||x|≤3，x∈Z}；
(3){1,22,32,42，…}；
(4)已知M＝{2,3}，P＝{(x，y)|x∈M，y∈M}，写出集合P；
(5)集合A＝{x∈Z|－2≤x≤2}，B＝{x2－1|x∈A}，写出集合B．
[解析] (1){x|x＝2k－1，k∈Z且－1≤k≤3}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3}．
(3){x|x＝n2，n∈N＋}．
(4)P＝{(2,2)，(3,3)，(2,3)，(3,2)}．
(5)A＝{－2，－1,0,1,2}，
所以B＝{3,0，－1}．
6．下列三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；
②{y|y＝x2＋1}；
③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们的各自含义是什么？
[解析] (1)它们是不相同的集合．
(2)集合①是函数y＝x2＋1的自变量x所允许的值组成的集合．因为x可以取任意实数，所以{x|y＝x2＋1}＝R.
集合②是函数y＝x2＋1的所有函数值y组成的集合．
由二次函数图像知y≥1，
所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合③是函数y＝x2＋1图像上所有点的坐标组成的集合．
C级 能力拔高
集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，C＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．
(1)若c∈C，是否存在a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立？
(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定有(a＋b)∈C？请证明你的结论．
[解析] (1)令c＝6m＋3，则c＝3m＋1＋3m＋2(m∈Z)．令a＝3m＋1，b＝3m＋2，则c＝a＋b，故若c∈C，一定有a∈A，b∈B，使c＝a＋b成立．
(2)不一定有(a＋b)∈C．证明如下：
设a＝3m＋1，b＝3n＋2，m，n∈Z，则a＋b＝3(m＋n)＋3，因此当m＋n＝2k(k∈Z)时，a＋b＝6k＋3∈C；当m＋n＝2k＋1(k∈Z)时，a＋b＝6k＋6?C．
课件46张PPT。第一章集 合康托尔(1845～1918)，德国数学家，集合论的创始人，生于俄国圣彼得堡．康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教．他早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此取得19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立．康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究．早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使函数f(x)在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立.1872年康托尔在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷集合的情形． §1 集合的含义与表示自主预习学案
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请你告诉我，集合是什么？”集合是不加定义的概念，数学家很难回答那位渔民．
有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”
问题1：数学家说的集合是指什么？
问题2：网中的“大鱼”能构成集合吗？
1．集合、元素
(1)集合定义
一般地，指定的________的全体称为集合．
(2)集合的记法
集合通常用________________________________标记．
(3)元素
集合中的________叫作集合的元素．某些对象 大写字母A，B，C，D，… 每个对象 2．元素与集合的关系a在集合A中 a不在集合A中 a∈A a?A 3.常用数集及表示符号NN＋ Z QR4.集合的表示方法
(1)列举法
把集合中的元素_________________写在________内的方法．
(2)描述法
用确定的条件表示某些对象___________________，并写在________内的方法．一一列举出来 大括号 属于一个集合 大括号 ? 有限集 无限集 1．下列各组对象中不能组成集合的是( )
A．清华大学2019年入校的全体学生
B．我国十三届全国人大二次会议的全体参会成员
C．中国著名的数学家
D．不等式x－1>0的实数解
[解析] “著名的数学家”无明确的标准，对于某人是否“著名”无法客观地判断，因此“中国著名的数学家”不能组成集合，故选C．C2．设不等式3－2x<0的解集为M，下列关系正确的是( )
A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈M
C．0∈M,2?M D．0?M,2?M
[解析] 从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不是不等式3－2x<0的解，故0?M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2是不等式3－2x<0的解，故2∈M.B3．下列集合中，不同于另外三个集合的是( )
A．{x|x＝1} B．{x|x2＝1}
C．{1} D．{y|(y－1)2＝0}
[解析] 选项A、C、D中集合的元素为1，而选项B中，集合中元素为±1，故选B．B4．用符号“∈”或“?”填空．
(1)若A＝{x|x2＝x}，则－1________A；
(2)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，则3________B；
(3)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，则8________C，
9．1________C．
[解析] (1)∵A＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴－1?A．
(2)∵B＝{x|x2＋x－6＝0}＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}
＝{－3,2}，∴3?B．
(3)∵C＝{x∈N|1≤x≤10}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，
∴8∈C,9.1?C．? ? ∈ ? 互动探究学案 判断下列语句能否确定一个集合？
(1)申办2020年奥运会的所有城市；
(2)举办2020年奥运会的城市；
(3)举办2024年奥运会的城市；
(4)大于零且小于1的所有的整数；
(5)大于零且小于1的所有实数．
[思路分析] 要判断每组对象能否构成集合，关键是分析各组对象所具有的条件是否明确．若明确，则能构成集合；否则不能构成集合．命题方向1 ?集合的含义典例 1 [规范解答] (1)申办2020年奥运会的是几个确定的不同的城市，能组成一个集合．
(2)举办2020年奥运会的城市也能组成一个集合．
(3)因为举办2024年奥运会的城市现在还不确定，因此它不能构成一个集合．
(4)大于零且小于1的所有整数能组成一个集合．
(5)大于零且小于1的每一个实数也是确定的，因此这样的所有实数也能组成一个集合．『规律总结』 判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性． 〔跟踪练习1〕
下列每组对象能否构成一个集合：
(1)我国的小城市；
(2)某校2019年在校的所有高个子同学；
(3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解．[解析] (1)“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，因此，“我国的小城市”不能构成一个集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个同学是否是“高个子”无法客观地判断，不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)由x2－9＝0，得x1＝－3，x2＝3.∴方程x2－9＝0在实数范围内的解为－3,3，能构成集合． 已知－3是由x－2,2x2＋5x,12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
[思路分析] －3是集合的元素说明x－2＝－3或2x2＋5x＝－3，可分类讨论求解．
[规范解答] 由题意可知，x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.
当x－2＝－3时，x＝－1，
把x＝－1代入2x2＋5x，得集合的三个元素分别为－3，－3,12，不满足集合中元素的互异性；命题方向2 ?元素与集合的关系典例 2 『规律方法』 解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． B 用适当的方法表示下列集合
(1)一次函数y＝x与y＝2x－1图像的交点组成的集合；
(2)方程x(x2－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(3)被5除余1的正整数组成的集合；
(4)坐标平面内坐标轴上的点集．
[思路分析] 当集合中元素较少且容易一一列举出来可用列举法；用描述法表示集合，关键是理解题目中元素是什么，满足什么条件．解答(1)可联立方程求解．解答(2)可先解方程，再按要求改写．(3)、(4)可根据集合中元素性质改写．命题方向3 ?集合的表示方法典例 3 『规律总结』 1.用列举法写集合应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素．另外还要弄清元素的个数．做到不重不漏，一一列举出来，写在大括号内．
2．用描述法表示集合，常用模式是{x|p(x)}，其中x是集合的代表元素，p(x)为集合中元素所具有的共同特征．要注意竖线不能省略，同时表达要力求简练、明确．
3．用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． 〔跟踪练习3〕
用适当的方法表示下列集合：
(1){15的正因数}；
(2)三角形的全体构成的集合；
(3)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N＋，y∈N＋}；
(4)满足不等式3x＋1≤0的所有实数的集合．集合中的元素含参数时，利用集合中元素的确定性、无序性确定集合的元素，再用元素的互异性进行检验，舍去增解．
已知集合A含有两个元素x－3和2x－1，若－3∈A，试求实数x的值．集合中元素的特性 典例 4 [规范解答] ∵－3∈A，∴－3＝x－3或－3＝2x－1，
若－3＝x－3，则x＝0.
此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．
若－3＝2x－1，则x＝－1，
此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，
综上所述，满足题意的实数x的值为0或－1.『规律总结』 1.根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．
2．利用集合中元素的特性解题要注意分类讨论思想的应用． A 典例 5
1．下列语句能确定一个集合的是( )
A．充分小的负数全体
B．爱好飞机的一些人
C．某班本学期视力较差的同学
D．某校某班某一天的所有课程
[解析] 由集合的含义，根据集合元素的确定性，易排除A、B、C，故选D．D 2．已知集合M＝{0，x－1}，则实数x应满足的条件是( )
A．x≠0 B．x≠1
C．x＝0或1 D．x≠0，且x≠1
[解析] 由题意得x－1≠0，则x≠1.
3．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.
[解析] ∵x2∈A，∴x2＝1，或x2＝0，或x2＝x.
∴x＝±1，或x＝0.
当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，
∴x＝－1.B －1 4．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则用列举法表示集合B＝________.
[解析] 当t＝－2时，x＝4；当t＝2时，x＝4；当t＝3时，x＝9；当t＝4时，x＝16，故B＝{4,9,16}．{4,9,16} 课时作业学案
