第二章 2.1
A级 基础巩固
1．谚语“瑞雪兆丰年”说明( A )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
[解析] 积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．
2．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是( D )
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
[解析] 当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．
3．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是( D )
A．多边形的边数和它的内角和
B．正方形的边长和面积
C．球的体积和半径
D．人的体重和身高
4．张大明种植了10亩小麦，每亩施肥xkg，小麦总产量ykg，则( A )
A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系
C．y是x的函数 D．x是y的函数
[解析] 虽然小麦总产量y与每亩施肥量x之间存在依赖关系，但小麦总产量y还受气候、管理等其他因素的影响，所以x，y之间无函数关系．
5．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合小明散步情况的是( B )
A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才回家
[解析] 水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．故答案为B．
6．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数
24K
22K
21K
18K
14K
含金量%
99以上
91.7
87.5
75
58.5
K数
12K
10K
9K
8K
6K
含金量%
50
41.66
37.5
33.34
25
饰用K金的K数与含金量之间是函数关系，K数越大，含金量越高.
7．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(km)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11?00到12?00他骑了多少km?
(5)他在9?00～10?00和10?00～10?30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
[解析] (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30km.
(2)10?30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17km.
(4)11?00至12?00，他骑了13km.
(5)9?00～10?00的平均速度是10km/h；10?00～10?30的平均速度是14km/h.
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．
B级 素养提升
1．如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压成一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图像表示为( B )
[解析] 圆柱钢锭的体积不随高的变化而变化．
2．圆柱的高为10cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，圆柱底面半径是自变量，圆柱体积是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为V＝10πr2，当底面半径从2cm变化到5cm时，圆柱的体积由40π(cm3)变化到250π(cm3)．
[解析] 圆柱的体积为V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．
3．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．
(1)在这个变化过程中，有哪些变量？
(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？
(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？
[解析] (1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．
(2)圆的面积S与半径R存在着依赖关系，对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是S＝πR2.圆的面积S、半径R都是变量．
(3)C＝2πR.
4．在工作的状态下，饮水机会通过自动对水加热使机中水的温度保持在一定范围内．如图表示在饮水机的水温达到最高后，饮水机处于工作状态中的水的温度的变化情况：
根据图，设计一个问题，并解答所设计的问题.
[解析] 设计问题就是从图像中获取有关信息．例如，提出下列问题：
问题1：饮水机中水的最高温度是多少？最低温度是多少？
解：水的最高温度为96℃，最低温度为91℃，
问题2：水温上升到最高温度后，再经过10min饮水机中水的温度多高？35min时水的温度多高？
解：10min后水的温度约93℃高，35min时水的温度约95℃高．
问题3：哪段时间水的温度在不断下降？哪段时间水的温度在持续上升？
解：约从开始到27min时水的温度在不断下降，从27min到32min时水的温度在不断上升，后面又一个相同的下降与上升的过程．
课件40张PPT。第二章函 数无论是私家车还是公共汽车，经常在加油站经历汽车加油的过程，在看到工作人员调好油价，启动加油机开关后，表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动，直到达到顾客所需的加油量时才停下来，这时，加油机上已经准确地显示出了所加油的金额．其实金额y元与加油量x升之间有着函数关系．
函数是描述变量之间依赖关系和集合之间关系的一个基本的数学模型，是研究客观世界变化规律和集合之间关系的一个最基本的数学工具．几乎所有的科学研究领域都使用函数语言，大到宇宙起源、天体的运动，小到原子、分子的运动，以及研究人口的增长，金融市场的变化，国民经济的发展，工程技术的创新等等，都需要使用函数语言来描述．我们日常生活中碰到的各种各样的问题，也需要用变量的观点去思考．由此可见，我们学习函数的有关知识是多么的重要．本章在复习初中函数知识的基础上，用集合、对应的观点研究函数，加深对函数概念的理解；通过具体的实例，讨论一般函数的性质(如单调性、奇偶性)，初步体会函数思想的作用，为高中后续课程打下基础.§1 生活中的变量关系自主预习学案我们拨打国内长途电话时，要在拨打的号码前加上区号，每个区号对应着一个确定的地区，每个地区也对应着一个确定的区号，如北京的区号是010,0591是福州的区号．那么二者之间是一种什么样的关系呢？这种关系可以用两个变量来表示．这就是生活中的变量关系． 1．变量间的依赖关系
变量及变量之间的________在生活中随处可见，初中学习过的函数就描述了________随________而变化的依赖关系．
2．两个变量间的函数关系
(1)并非具有依赖关系的两个变量都有________关系；
(2)函数关系是指满足对于其中一个变量的________，另一个变量都有________的值与之对应．依赖关系 因变量 自变量 函数 每一个值 唯一确定 1．下列说法不正确的是( )
A．依赖关系不一定是函数关系
B．函数关系是依赖关系
C．如果变量m是变量n的函数，那么变量n也是变量m的函数
D．如果变量m是变量n的函数，那么变量n不一定是变量m的函数
[解析] 根据依赖关系与函数关系的区别可知A，B正确．若变量m是变量n的函数，因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一，此时若把m换成自变量，n换成因变量，显然对于m的每一个取值，会有多个n与之对应，所以变量n不是变量m的函数．C2．下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13℃
D．这天21时的温度是30℃C3．下图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行时，路程和时间的函数图像，由图可知，骑自行车者用了6h(含途中休息的1h)，骑摩托车者用了2h，有人根据这个函数图像，提供了这两个旅行者的如下信息，其中正确信息的序号是________.①[解析] 由图像可以看出骑自行车者早出发3h，而晚到1h，速度是先快后慢，然后再快，是变速运动．骑摩托车者也是变速运动，但速度变化不大．骑摩托车者在出发1h后追上骑自行车者．所以正确的序号是①.互动探究学案 一辆汽车由南京驶往相距300km的上海，它的平均速度是100km/h，则汽车距上海的路程s(km)与行驶时间t(h)的关系是s＝300－100t，在这里，常量是_____________，变量是________.
[规范解答] 判断常量与变量的关键是看它是否发生了变化，在这里，常量是南京与上海的距离300km和汽车行驶的平均速度100km/h，变量是汽车在行驶过程中距上海的路程s和行驶时间t.命题方向1 ?正确理解常量与变量300，－100 典例 1 s，t 『规律总结』 常量与变量必须存在于某一个变量过程中，判断一个量是常量还是变量，需看它在这个变化过程中的取值情况．常量与变量不是绝对的，而是对于某一个变化过程而言的． 〔跟踪练习1〕
关于x的一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，常量是________，变量是________.
[解析] 根据一次函数的概念，可知x是自变量，y是x的函数，而系数k，b是常数，属于常量．k，b x，y 下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？
其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)商品的销售额与广告费之间的关系；
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．命题方向2 ?依赖关系与函数关系的判断典例 2 [思路分析] 两个变量中的一个变量发生变化时，如果另一个变量也发生变化，则它们具有依赖关系；如果另一个变量发生变化且取值唯一，则它们具有函数关系．(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系．
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量．反之也是．
综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不具有函数关系．『规律总结』 1.判断两个变量之间是否具有依赖关系，只需分析当其中一个变量变化时，另一个变量是否也发生变化即可，如果发生变化，则它们具有依赖关系，如果不发生变化，则它们不具有依赖关系．
2．判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系时，可分以下两个步骤：
(1)确定因变量和自变量．
(2)判断对于自变量的每一个确定值，因变量是否有唯一确定的值与之对应．若满足，则是函数关系，否则不是函数关系．〔跟踪练习2〕
某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：B 用图像反映两变量间的关系是一种常用的表示两变量关系的方法．在解此类题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的相互依赖关系是如何变化的．通过图像反映两变量之间的关系 典例 3 (1)上午8时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0℃？
(3)大约在什么时刻，气温在0℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
[思路分析] 此题是一个通过图像来反映两个变量之间关系的问题，所以回答问题时应充分利用图像所反映出的关系．C 下面的变量与变量之间是否具有依赖关系？是否具有函数关系？
①一天中温度与时间的关系；
②汽车在行驶过程中的耗油量与时间的关系；
③油菜在生长期内株高与施肥量的关系；
④人的身高与体重之间的关系；
⑤一枚炮弹发射后，飞行高度与时间的关系．
[错解] ①②③④⑤中变量与变量之间都具有依赖关系，其中②④是函数关系．典例 4 [正解] ①②③④⑤中变量与变量之间都具有依赖关系．其中①②⑤中两个变量之间的依赖关系都具有一个共同的特点，即任给一个时间的值，该时的温度、汽车的耗油量、炮弹飞行的高度就唯一确定，也就是说，对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，所以它们之间的关系是确定性关系，即是函数关系．其中①中的自变量是时间，因变量是温度，反之不行，②中的自变量是时间，因变量是耗油量，反之也是，⑤中的自变量是时间，因变量是飞行高度，反之不行．而③④中两个变量尽管具有依赖关系，但油菜生长期内的株高除与施肥量有关外，还与灌水、光照等因素有关，人的身高越高，其体重不一定越重，所以它们之间的关系不具有确定性，不是函数关系．1．李明骑车上学，一开始以某一速度前进，途中车子发生故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上学时间，于是就加快了车速，在下面给出的四个函数示意图中(s为距离，t为时间)符合以上情况的是( )C[解析] 因为李明骑车上学路上停留了一段时，故该段图像平行于横轴，所以只有C符合条件．B 3．某公司生产某种产品的成本为1 000元，以1 100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入________，它们之间是________关系．
4．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点的纵坐标与该点的横坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________(只填序号)增加 函数 ①③④ 5．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
(1)试求图中阴影部分的面积，说明面积的实际含义，并分析面积与时间是否构成函数关系？
(2)假设汽车里程表在行驶这段路程前的读数为akm，当1
