第二章 2.2.1
A级 基础巩固
1．已知区间[－a,2a＋1)，则实数a的取值范围是( C )
A．R B．[－，＋∞)
C．(－，＋∞) D．(－∞，－)
[解析] 结合区间的定义可知－a<2a＋1，
∴a>－.
2．(2019·吉林乾安七中高一期末测试)函数y＝的定义域是( C )
A．[－1，＋∞) B．[－1,0]
C．(－1，＋∞) D．(－1,0)
[解析] 要使函数y＝有意义，应满足x＋1>0，
∴x>－1，
∴函数y＝的定义域为(－1，＋∞)．
3．函数f(x)＝(x∈R)的值域是( C )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
[解析] ∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<≤1，
∴值域为(0,1]，故选C．
4．下列各组函数中，表示同一函数的是( D )
A．y＝x＋1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
[解析] 只有D是相等的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．
5．函数f(x)的定义域是[0,3]，则f(2x－1)的定义域是( A )
A．[，2] B．[0,3]
C．[－1,5] D．(，2)
[解析] 由f(x)定义域为[0,3]知，
0≤2x－1≤3，即≤x≤2.
6．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)已知f(x)＝2x＋3，f(m)＝6，则m＝.
[解析] ∵f(x)＝2x＋3，∴f(m)＝2m＋3＝6，
∴2m＝3，∴m＝.
7．下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数有④(只填序号)．
①y＝2x＋1(x>0) ②y＝x2
③y＝ ④y＝(x>0)
[解析] ∵x>0，y＝2x＋1>1，故①不正确；
∵y＝x2≥0，∴②不正确；
由y＝得x2＝＋1≥0.
∴y>0或y≤－1，
∴③不正确；
∵x>0，y＝>0，
∴④正确．
8．(2019·安徽合肥高一期末测试)已知f(x)＝，x∈R.
(1)求f(2)，f()，f(3)，f()的值；
(2)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[解析] (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝.
(2)由(1)知，
f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1.
∴f(a)＋f()＝＋＝＋·＝＋＝1，
∴f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＋f()＋f()＋…＋f()
＝f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋…＋f(2 018)＋f()
＝2 017.
9．求下列函数的值域：
(1)y＝(1≤x≤2)．
(2)y＝x－2＋3.
(3)y＝x2－4x＋6(0≤x<5)．
[解析] (1)∵y＝2－，又1≤x≤2，
∴2≤x＋1≤3，
∴1≤≤，
∴≤y≤1.故所求的值域为[，1]．
(2)∵y＝x－2＋3＝(－1)2＋2≥2，
故所求的值域为[2，＋∞)．
(3)作函数y＝(x－2)2＋2(0≤x<5)的图像如图所示，由图可知2≤y<11.
∴函数的值域为[2,11)．
B级 素养提升
1．函数y＝的定义域是( C )
A．{x|x>0} B．{x|x>0或x≤－1}
C．{x|x>0或x<－1} D．{x|0[解析] ∵≥0?1＋>0?>0
?x>0或x<－1.
2．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值是( A )
A．1 B．0
C．－1 D．2
[解析] f(－1)＝a－1，f[f(－1)]＝f(a－1)
＝a(a－1)2－1＝－1，所以a＝1.
3．已知函数f(x)＝2x－3，x∈A的值域为{－1,1,3}，则定义域A为{1,2,3}.
[解析] 值域为{－1,1,3}，即令f(x)分别等于－1,1,3求出对应的x，则由x组成的集合即为定义域{1,2,3}．
4．函数y＝的定义域为[－1,2]，值域为.
[解析] 由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，又设t＝－x2＋x＋2的对称轴为x＝，顶点的纵坐标为＝＝，∴0≤t≤，∴y∈.
5．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－3)，f()的值．
[解析] (1)要使f(x)有意义，需满足，
即x≥－4且x≠－2，
∴f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2，＋∞)．
(2)∵f(x)＝，
∴f(－3)＝＝－1，
f()＝＝.
6．已知函数f(x)＝x2＋x－1，求
(1)f(2)；
(2)f(＋1)；
(3)若f(x)＝5，求x的值．
[解析] (1)f(2)＝4＋2－1＝5.
(2)f(＋1)＝(＋1)2＋(＋1)－1＝＋＋1.
(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.
由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3.
课件47张PPT。第二章函 数§2 对函数的进一步认识
2.1 函数概念自主预习学案某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？
[答案] 如果西瓜不超过9斤，则价钱不会超过0.5×9＝4.5(元)；如果西瓜超过9斤，则价钱不会低于0.6×9＝5.4(元)，不会出现5元1角的情况．故该顾客认定店主骗人． 1．函数的概念非空数集 任何一个数x 唯一确定的数 f：A→B y＝f(x)，x∈A 自变量 集合A {f(x)|x∈A} 2.区间的概念
(1)一般区间的表示(a，b为实数，且aA．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了
C．数集都能用区间表示
D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应
[解析] 函数的定义域和值域都是非空的数值，故A错；函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了，故B错；数集不一定能用区间表示，故C错，选D．D2．函数符号y＝f(x)表示( )
A．y等于f与x的乘积
B．f(x)一定是一个式子
C．y是x的函数
D．对于不同的x，y也不同
[解析] y＝f(x)表示y是x的函数．C3．函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________.[－5,5] [－2,3] 互动探究学案命题方向1 ?函数关系的判断典例 1 [思路分析] 根据函数的定义，检验所给的对应关系是否满足以下几个条件：
(1)A，B是否是非空数集；
(2)A中的每一个元素是否在B中都有与之对应的元素；
(3)A中的每一个元素在B中与之对应的元素是否是唯一的．
[规范解答] (1)不能构成集合A到B的函数，因为A中的元素0在B中没有元素与之相对应．
(2)能构成集合A到B的函数，因为它满足函数的定义．
(3)不能构成集合A到B的函数，比如A中的元素－2在B中没有元素与之相对应．
(4)不能构成集合A到B的函数，比如A中的元素4在B中有两个元素与之相对应．『规律总结』 检验两个变量之间是否具有函数关系的方法
(1)定义域和对应法则是否给出；
(2)根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.A 命题方向2 ?相同函数的判断典例 2 『规律总结』 1.根据解析式判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的步骤是：(1)先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相同，如果定义域相同，再执行下一步；(2)化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相同，否则它们不相同．
2．函数与自变量及因变量的表示符号无关． B 命题方向3 ?求函数的定义域典例 3 『规律总结』 1.要使函数有意义应有：
(1)分式的分母不为0；
(2)偶次根下非负；
(3)y＝x0中要求x≠0；
(4)实际问题中函数的定义域，要考虑实际意义．
2．函数的定义域一定要用集合或区间形式表示． 命题方向4 ?求函数的值域典例 4 『规律总结』 求函数值域的方法及注意事项：
求函数值域应首先确定定义域，由定义域及对应法则确定函数的值域．对一些简单的函数，可用观察法直接求解；对于二次函数，常用配方法求值域；对于分式类型的函数，可采用分离常数法求解；对于带根号的函数，常用换元法求值域，要注意换元前后变量的取值范围． 复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的．复合函数的定义域 典例 5 B [1,2] 『规律总结』 (1)若已知函数f(x)的定义域为集合A，求函数f[g(x)]的定义域，其实就是已知函数g(x)的值域为集合A，求x的取值范围；
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为集合A，则求函数f(x)的定义域就是已知定义域为A时，求函数g(x)的值域；
(3)复合函数y＝f[g(x)]的定义域是先由y＝f(u)成立的条件确定u的取值范围，再由u的取值范围确定u＝g(x)中x的取值范围，则x的取值范围即为y＝f[g(x)]的定义域． 典例 6 『规律总结』 1.求函数的定义域时，不可对原表达式化简变形后再求自变量取值范围．
2．注意思维的全面性，定义域常从被开方数是否有意义，分母是否为零等角度列不等式(组)求解．1．(2019·山东莒县一中高一期末测试)下列四个图形中，是函数图像的为( )
A．③④
B．①
C．①②③
D．①③④DD 3．设f(x)＝5，则f(x2)等于________.
[解析] f(x)＝5是一个常数函数，函数值不随x的变化而变化．5 (2，＋∞) 课时作业学案第二章 2.2.2
A级 基础巩固
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是( A )
[解析] 因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s随t的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A图比较适合题意．
2．已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( A )
A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝x2＋2x－1 D．f(x)＝x2－2x－1
[解析] 令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝f(x－1)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( A )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
[解析] 由对应法则y＝x2－2x，得0→0,1→－1,2→0，3→3，所以值域为{－1,0,3}，故选A．
4．若f()＝，则当x≠0，且x≠1时，f(x)＝( B )
A． B．
C． D．－1
[解析] 令＝t，则x＝.
∵x≠0，且x≠1，∴t≠1，且t≠0.
∴f(t)＝＝.∴f(x)＝.故选B．
5．如图中的图像所表示的函数的解析式为( B )
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
[解析] 可将原点代入，排除选项A，C，再将点(1，)代入，排除选项D，故选B．
6．已知f(x)＝，则f{f[f(5)]}为( D )
A．0 B．－1
C．5 D．－5
[解析] 根据分段函数解析式可知，
f(5)＝0，而f(0)＝－1，
f(－1)＝2×(－1)－3＝－5.
故f{f[f(5)]}＝f[f(0)]＝f(－1)＝－5.
7．已知f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，则f[g(x)]＝4x2＋4x＋2.
[解析] ∵f(x)＝x2＋1，g(x)＝2x＋1，
∴f[g(x)]＝f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋1＝4x2＋4x＋2.
8．定义运算a*b＝，则对x∈R，函数f(x)＝x*(2－x)的解析式为f(x)＝.
[解析] 当x<1时，x<2－x；
当x＝1时，x＝2－x；
当x>1时，x>2－x.
故f(x)＝.
9．已知函数f(x)＝，
(1)求f(－8)，f(－)，f()，f()的值；
(2)作出函数的简图；
(3)求函数的值域．
[解析] 函数的定义域为[－1,0)∪[0,1)∪[1,2]＝[－1,2]．
(1)因为－8?[－1,2]，所以f(－8)无意义．
因为－1≤x<0时，f(x)＝－x，
所以f(－)＝－(－)＝.
因为0≤x<1时，f(x)＝x2，
所以f()＝()2＝.
因为1≤x≤2时，f(x)＝x，所以f()＝.
(2)在同一坐标系中分段画出函数的图像，如图所示：
(3)由第(2)问中画出的图像可知，函数的值域为[0,2]．
10．求下列函数的解析式．
(1)已知f(1－x)＝x2－3x＋2，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
[解析] (1)∵f(1－x)＝x2－3x＋2＝(1－x)2＋1－x，
∴f(x)＝x2＋x.
(2)令＋1＝t，则t≥1.即x＝(t－1)2.
则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)∵f(0)＝c＝0，
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1，
∴，解得，∴f(x)＝x2＋x.
B级 素养提升
1．设函数f(x)＝，则f[]的值为( A )
A． B．4
C． D．18
[解析] f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝，
∴f[]＝f()＝1－()2＝.
2．已知f＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于( A )
A．－ B．
C． D．－
[解析] 令2x＋3＝6，得x＝，所以m＝－1＝×－1＝－.或先求f(x)的解析式，再由f(m)＝6，求m的值．
3．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程数x(km)之间的函数关系式是y＝.
[解析] 根据行程是否大于100km来求出解析式，由题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x>100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x.
4．已知f(x)满足f(x)＋2f＝3x，则f(2)＝－1.
[解析] 设f(x)的定义域为C，由f(x)＋2f＝3x知，
x∈C，∈C，将原式中的x换为，
原式仍成立，即有f＋2f＝.
与原式联立，解得f(x)＝－x，
∴f(2)＝－2＝1－2＝－1.
5．(1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求f(x)；
(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
[解析] (1)∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f[f(x)]＝4x－1.∴a2x＋ab＋b＝4x－1.
即，解得或.
∴f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
(2)∵f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1知c＝1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.
左端展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x.
∴，即.∴f(x)＝x2－x＋1.
6．画出下列函数的图像：
(1)y＝|x－5|＋|x＋3|；
(2)y＝2x－3，x∈Z，且|x|≤2；
(3)y＝x2－2|x|－1；
(4)y＝.
[解析] (1)y＝|x－5|＋|x＋3|
＝.
图像如图(1)所示．
(2)y＝2x－3，∵x∈Z，且|x|≤2.
∴x＝±2，±1,0，图像如图(2)中的五个点．
(3)y＝x2－2|x|－1＝.
图像如图(3)所示．
(4)y＝的图像如图(4)所示．
C级 能力拔高
如图所示，半径为R的圆的内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x之间的关系式，并求出它的定义域．
[解析] 设腰长AD＝BC＝x，
作DE⊥AB交AE于点E，连接BD，
则∠ADB＝90°，∴Rt△ADE∽Rt△ABD．
∴AD2＝AE·AB，AE＝.∴CD＝AB－2AE＝2R－.
∴周长y满足关系式
y＝2R＋2x＋＝－＋2x＋4R.
即周长y与腰长x之间的关系式为y＝－x2＋2x＋4R.
∵四边形ABCD为圆内接梯形，∴AD>0，AE>0，CD>0.
即，解得0所以函数的定义域为{x|0课件45张PPT。第二章函 数§2 对函数的进一步认识
2.2 函数的表示法自主预习学案如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？1．函数的表示法表格 函数 图像 函数 对应关系 解析表达式 解析式 2.分段函数
(1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫________.
(2)分段函数的定义域是各段定义域的________，其值域是各段值域的________.(填“交集”或“并集”)分段函数 并集 并集 D B x 互动探究学案命题方向1 ?函数的三种表示方法典例 1 『规律总结』 这是一个综合了函数三种表示方法(列表法、图像法以及解析法)的问题．由表格可看到每一个销售单价与相应日销售量的关系，但却无法明确后面单价与日销售量的确切关系，在图像法中，看到日销售量的发展趋势，而解析法则能让我们明确其最终趋势，知道定什么样的价便有怎样的日销售量，不仅知道单价为35元时的日销售量，还能知道36元时的日销售量，通过此题能让我们充分认识到函数三种表示法的优点．〔跟踪练习1〕
某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(台)与收款总额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．命题方向2 ?求函数解析式典例 2 『规律总结』 1.换元法(或配凑法)是求函数解析式的重要方法：
若不清楚函数类型，比如已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法，配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法可令g(x)＝t及解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x)．
2．待定系数法是求函数解析式的常用方法：
若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数．〔跟踪练习2〕
(1)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3)．
(2)一次函数的图像过点(0，－1)，(1,1)，求其解析式．命题方向3 ?函数的图像及应用典例 3 『规律总结』 一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．〔跟踪练习3〕
某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数图像如图，下列四种说法：
①前三年中，产量增长的速度越来越快；
②前三年中，产量增长的速度越来越慢；
③第三年后，这种产品停止生产；
④第三年后，年产量保持不变．其中说法正确的是( )
A．②与③
B．②与④
C．①与③
D．①与④
[解析] 由于纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，故②③正确．A1．分段函数的概念：
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同对应法则的函数，叫做分段函数．分段函数的表达式因其特点分成两个或两个以上不同的表达式，所以它的图像也由几部分组成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点或几段线段．
2．关于分段函数，我们应注意以下几点：
(1)分段函数是一个函数，不能写成几个函数，求分段函数解析式时，可以分段求解，但最后结果一定要合并；分段函数 (2)分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，写定义域时，注意端点的值在取并集时不能遗漏；
(3)分段函数的值域是各段函数在各自自变量取值集合上函数取值集合的并集；
(4)已知分段函数求函数值，首先要确定自变量的值属于哪一个范围，然后选取相对应的对应法则求值；
(5)作分段函数的图像时，先分别作出各段的图像，在作各段的图像时，可以先不考虑自变量范围的限制，用虚线作出后，再用实线保留需要的部分(定义域内)；
(6)研究分段函数的性质，应根据“先分后合”的原则进行．典例 4 『规律总结』 研究分段函数常常借助于图像进行，利用分段函数求值域，其关键是准确作出图像．对含有绝对值的函数，要作出其图像，首先应根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图像．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．典例 5 D 2．下列表格中的x与y能构成函数的是( )CB －3 课时作业学案第二章 2.2.3
A级 基础巩固
1．下列对应为A到B的函数的是( D )
A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|
B．A＝Z，B＝N＋，f：x→y＝x2
C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
D．A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
[解析] 由函数的定义可知，对于A,0∈R，
且|0|＝0?B，故A不是f：A→B的函数；
对于B,0∈Z，且02＝0?N＋，
故B不是f：A→B的函数；
对于C，当x<0时，如－2∈Z，但无意义，
故C不是f：A→B的函数；
对于D，是多对一的情形，
符合函数的定义，是f：A→B的函数．
2．下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是( D )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必须参与对应．
只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．
3．已知(x，y)在映射下的像是(x＋y，x－y)，则像(1,2)在f下的原像为( D )
A．(，) B．(－，)
C．(－，－) D．(，－)
[解析] 根据题意得，∴.
4．设A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列能表示从集合A到集合B的映射的是( D )
[解析] 对于A，当x＝0时，y＝0?{y|1≤y≤2}，不是从A到B的映射；对于B，当x＝2时y＝0?{y|1≤y≤2}，也不是从A到B的映射；对于C，当x＝0时，y＝1且y＝2，即集合A中的一个元素0与集合B中的两个元素1和2相对应，所以也不是从A到B的映射；对于D，集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应，所以是从A到B的映射．
5．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( D )
A．M＝N＝R，f：x→y＝－，x∈M，y∈N
B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N
C．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N
D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N
[解析] 用排除法，A中集合M的元素0，在f下，N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故排除B；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，应排除；故选D．
6．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( A )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] ∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，
即B＝{1,2,3,4}．
7．已知集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，则由A到B的一一映射的个数为2.
[解析] 由题意可知如图：
共有2个一一映射．
8．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，对A中的每一个元素x总有x＋f(x)为偶数，那么从A到B的映射f的个数是1.
[解析] 从A到B的映射共有4个，
即
其中满足x＋f(x)为偶数的映射只有第3个，因此符合题意的映射共有1个．
9．已知映射f：(x，y)→(x＋y，xy)．
(1)求(－2,3)的像；
(2)求(2，－3)的原像．
[解析] (1)∵x＝－2，y＝3，
∴x＋y＝－2＋3＝1，xy＝－2×3＝－6，
∴(－2,3)的像是(1，－6)．
(2)由题意，解得或，
∴(2，－3)的原像是(3，－1)或(－1,3)．
10．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,4，m2}，x∈A，y∈B，映射f：A→B使A中元素x和B中元素y＝2x对应，求实数m的值．
[解析] 由对应关系f可知，集合A中元素0,2分别和集合B中的元素0,4对应，所以集合A中的元素4和集合B中的元素m2对应．
于是m2＝2×4，解得m＝±2.
B级 素养提升
1．已知A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列对应不表示从A到B的映射的是( C )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
[解析] 对于A，当0≤x≤4时，0≤x≤2，f：x→y＝x能构成A到B的映射；对于B,0≤x≤，也能构成集合A到集合B的映射；对于C,0≤x≤6，而[0,6] ?[0,2]，所以不能构成从A到B的映射；对于选项D,0≤≤2，能构成从A到B的映射．
2．设M＝{a，b，c}，N＝{－1,0,1}，从M到N的映射f满足f(a)>f(b)≥f(c)，则这样的映射f的个数为( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 根据f(a)>f(b)≥f(c)列表：
f(a)
0
1
1
1
f(b)
－1
－1
0
0
f(c)
－1
－1
－1
0
故符合条件的映射共有4个．
3．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{0,1}，若映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，则这样的映射的个数是3.
[解析] 由于f(a)＋f(b)＝f(c)，所以只能有f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1，或f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1，或f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，即这样的映射有3个．
4．下列对应是集合A到集合B的一一映射的是(2)(填正确序号)．
(1)A＝N，B＝{－1,1}，x∈A，y∈B，f：x→y＝(－1)x；
(2)A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}，f：x→y＝x；
(3)A＝{x|0≤x≤1}，B＝{y|y≥1}，f：x→y＝；
(4)A＝{三角形}，B＝R，f：三角形与它面积的对应．
[解析] (1)(2)(4)为映射，(3)不是映射(因为(3)中集合A中的元素0没有像)，只有(2)是一一映射．
5．设f，g都是由A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表：
映射f的对应关系
映射g的对应关系
原像
1
2
3
原像
1
2
3
像
2
3
1
像
2
1
3
设a＝g[f(3)]，b＝g[g(2)]，c＝f{g[f(1)]}．试判断a，
b，c的大小关系．
[解析] ∵a＝g[f(3)]＝g(1)＝2，
b＝g[g(2)]＝g(1)＝2，
c＝f{g[f(1)]}＝f[g(2)]＝f(1)＝2，
∴a＝b＝c.
6．下列对应是不是从A到B的函数？是不是从A到B的映射？
(1)A＝B＝N，f：x→|x－3|；
(2)A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}，
f：三角形的内切圆；
(3)A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1；
(4)A＝[－1,1]，B＝[－1,1]，f：x→y＝.
[解析] (1)当x∈N时，则|x－3|∈N，即A中的元素在B中都有像，所以(1)是映射，也是函数．
(2)由于A，B不是数集，所以(2)不是函数，但每个三角形都有唯一的内切圆，所以(2)是A到B的映射．
(3)A中的每一个数都与B中的数1对应，因此，(3)是A到B的函数，它是A到B的映射．
(4)取x＝0，y＝没有意义，即A中元素0在B中没有像，所以(4)不是函数，也不是映射．
C级 能力拔高
已知：集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤1}．对应f：x→y＝ax.若在f的作用下能够建立从A到B的映射f：A→B，求实数a的取值范围．
[解析] ①当a≥0时，集合A中元素的像满足－2a≤ax≤2a.若能够建立从A到B的映射，则[－2a,2a]?[－1,1]，即，∴0≤a≤.
②当a<0时，集合A中元素的像满足2a≤ax≤－2a，若能建立从A到B的映射，
则[2a，－2a]?[－1,1]，即，∴－≤a<0.综合①②可知－≤a≤.
课件34张PPT。第二章函 数§2 对函数的进一步认识
2.3 映 射自主预习学案
某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q为12，K为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？非空 1．映射的概念
两个________集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的________元素x，B中总有________的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的________，记作________.
2．像与原像
给定一个从集合A到集合B的映射f：A→B，A中的元素________称为原像，B中的_____________称为x的像，记作f：x→y.每一个 唯一 映射 f：A→B x 对应元素y 3．一一映射
如果映射f：A→B满足：A中每一个元素在B中都有________与之对应，A中的________的像也不同，B中的每一个元素都有________.我们把这种映射叫一一映射，也叫一一对应．
4．映射与函数
设A，B是两个________，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的________.在函数中，________的集合称为定义域，________的集合称为值域．唯一的像 不同元素 原像 非空数集 函数 原像 像 B D 3．已知f：x→y＝|x|＋1是从集合A＝R到集合B＝{正实数}的一个映射，则B中的元素8在A中的原像是________.
[解析] 因为y＝8，所以|x|＋1＝8，即|x|＝7.所以x＝±7.
4．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则从A到B的不同映射有________个．
[解析] 集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，从A到B的不同映射为：±7 4 互动探究学案命题方向1 ?映射、一一映射与函数的判断典例 1 [思路分析] 解答时可先从映射的定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应，然后再根据一一映射的定义及映射与函数的关系确定该对应关系是否为一一映射及是否是函数．(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．
(4)是映射，是函数，也是一一映射．因为对A中的任一个元素，其倒数是唯一的，即在B中有唯一的元素与之对应．又由于A，B都是非空数集，故此映射也是函数．又因为对于不同的正数，其倒数也是不同的，且B中每个正数都是A中某个正数的倒数，故这个映射也是一一映射．『规律总结』 判断一个对应是否构成从A到B的映射时，先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素．若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立．想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．若进一步判断该映射是否是函数，只需看两个集合A，B是否是非空数集即可．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原像，集合A中不同元素对应的像不同． 已知映射f：A→B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)．
(1)求A中元素(5,5)的像；
(2)求B中元素(5,5)的原像．命题方向2 ?求映射中的像与原像典例 2 『规律总结』 1.解答此类问题，关键是：(1)分清原像和像；(2)搞清楚由原像到像的对应法则．
2．一般已知原像求像时，常采用代入法，已知像求原像时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意像与原像的区别和联系． 〔跟踪练习2〕
若本例条件不变，问集合A中是否存在元素(a，b)使它的像仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由．关于集合A到集合B构成映射的个数问题，要充分利用映射的定义，用分类讨论的思想，使得集合A中的任何一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，从而确定出映射的个数．
已知A＝{a，b，c}，B＝{1,2}，映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝4，求满足条件的映射的个数．
[思路分析] 由条件f(a)＋f(b)＋f(c)＝4入手，分情况找出满足条件的映射，因此准确理解映射的概念是解答本题的关键．映射个数的确定 典例 3 『规律总结』 若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则A到B的映射有mn个；
对于给定的A到B的映射需要满足某些特殊要求，求映射的个数时，关键是将映射具体化、形象化(如列表法、图像法、数形结合法等)． 〔跟踪练习3〕
已知集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b}．求：
(1)A到B的不同映射f：A→B有多少个？
(2)B到A的不同映射f：B→A有多少个？
[解析] (1)1的像有2种情况，2的像有2种情况，3的像也有2种情况，结合映射定义知，对A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应．允许多对一，故有2×2×2＝8(种)情况即8个映射．
(2)a的像有1,2,3共3种情况，同时b的像也有3种情况，所以f：B→A的映射共有3×3＝9(种)情况即9个映射．典例 4 [错解] 根据映射与函数的定义知①②③是映射也是函数，而④中，x＝0时y不存在，∴④既不是映射也不是函数．
[辨析] 判断对应是否是A到B的映射，应考查集合A中的每一个元素是否在集合B中都有对应元素，且对应元素唯一．B 2．(2019·江西宜丰中学高一期末测试)已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f下的像是( )
A．3 B．4
C．5 D．6A1 课时作业学案
