第二章 2.3
A级 基础巩固
1．下列函数中，在区间(0,2)上是增加的是( B )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x|
[解析] A，C，D在(0，＋∞)上都是减少的，只有y＝x2＋1是在(0,2)上增加的．
2．若函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则m＝( C )
A．2 B．－2
C．10 D．－10
[解析] 函数y＝5x2＋mx＋4的图像为开口向上对称轴是x＝－的抛物线，要使函数y＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减少的，在区间[－1，＋∞)上是增加的，则－＝－1，∴m＝10.
3．函数y＝(k＋2)x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数，则k的范围是( D )
A．{k|k≥－2} B．{k|k≤－2}
C．{k|k<－2} D．{k|k>－2}
[解析] 由题意结合一次函数的图像可知k＋2>0，即k>－2.
4．函数f(x)的定义域为(a，b)，且对其内任意实数x1，x2均
有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，则f(x)在(a，b)上是( B )
A．增加的 B．减少的
C．不增不减 D．既增又减
[解析] ∵(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，
∴或.
即当x1f(x2)或当x1>x2时，f(x1)不论哪种情况，都说明f(x)在(a，b)上是减少的．
5．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是( D )
A．2 B．3
C．－1 D．1
[解析] 容易判断f(x)在区间[1,3]上是增加的，所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)＝1.
6．函数f(x)＝2x2－3|x|的递减区间是( D )
A．[，＋∞)
B．(－∞，－]
C．[－，0]和[，＋∞)
D．(－∞，－]和[0，]
[解析] 作出f(x)＝2x2－3|x|＝的图像，由图像易知选D．
7．如图所示，已知函数y＝f(x)的图像，则函数的单调减区间为(－∞，－)，(0，＋∞).
[解析] 根据单调减函数的概念与其图像形状可知：函数的单调减区间为(－∞，－)，(0，＋∞)．
8．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)[解析] 依题意，由不等式组
解得9．利用函数的单调性定义证明函数f(x)＝在x∈[2,4]是单调递减函数，并求函数的值域．
[证明] 在[2,4]上任取x1，x2且x1∴f(x1)－f(x2)＝－＝
∵2≤x10，x1－1>0，x2－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)是在[2,4]上的减函数．
∴f(x)min＝f(4)＝，f(x)max＝f(2)＝2，
因此，函数的值域为[，2]．
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)求证：函数f(x)在定义域上是增加的；
(3)求函数f(x)的最小值．
[解析] (1)要使函数有意义，自变量x的取值需满足x＋1≥0，解得x≥－1，
所以函数f(x)的定义域是[－1，＋∞)．
(2)证明：设－1≤x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝＝.
∵－1≤x1∴x1－x2<0，≥0，>0.
∴f(x1)∴函数f(x)在定义域上是增加的．
(3)∵函数f(x)在定义域[－1，＋∞)上是增加的，
∴f(x)≥f(－1)＝0，
即函数f(x)的最小值是0.
B级 素养提升
1．(2019·山东潍坊高一期中测试)设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( D )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)[解析] ∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴a2＋1>a，
又∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴f(a2＋1)2．已知y＝f(x)是R上的增函数，令F(x)＝f(1－x)－f(3＋x)，则F(x)在R上是( B )
A．增函数 B．减函数
C．先增加后减少 D．先减少后增加
[解析] 设任意的x1，x2∈R，且x1则F(x2)－F(x1)
＝f(1－x2)－f(3＋x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)
＝f(1－x2)－f(1－x1)＋f(3＋x1)－f(3＋x2)
因为x11－x2,3＋x2>3＋x1，
所以F(x2)－F(x1)<0，即F(x)在R上是减函数．
3．设函数f(x)满足：对任意的x1、x2∈R都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是f(－3)>f(－π).
[解析] 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数，又－3>－π，∴f(－3)>f(－π)．
4．若f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2在(－∞，4]上是减少的，则实数a的取值范围为a≥3.
[解析] ∵函数f(x)＝x2－2(1＋a)x＋2的对称轴为x＝1＋a，∴要使函数在(－∞，4]上是减少的，应满足1＋a≥4，∴a≥3.
5．利用单调性的定义证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是减少的．
[解析] 设x1>x2>－1，则x2－x1<0，
y1－y2＝－＝
∵x1>x2>－1，x1＋1>0，x2＋1>0，
x2－x1<0.
∴<0.y1－y2<0.
∴y＝在(－1，＋∞)上是减少的．
6．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
[解析] (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
C级 能力拔高
已知f(x)的定义域为R，且有f(－x)＝f(x)，而且在(0，＋∞)上是减少的，判断在(－∞，0)上是增加的还是减少的，并加以证明．
[解析] f(x)在(－∞，0)上为增加的．
证明：设x1∈(－∞，0)，x2∈(－∞，0)，
且x1且－x1>－x2.
又f(x)在(0，＋∞)上为减少的，∴f(－x1)又∵f(－x1)＝f(x1)，f(－x2)＝f(x2)，
∴f(x1)∴f(x)在(－∞，0)上为增加的．
课件44张PPT。第二章函 数§3 函数的单调性自主预习学案
德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线．如下图：
这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？1．函数的递增与递减
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两个数x1，x2∈A，当x1f(x2) 递减的 2．函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称A为________.在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是________；如果函数是________，那么它的图像是下降的．对于函数y＝f(x)的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1，x2∈A，当x1f(x2) 减少的 3．函数的单调性
如果函数__________________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________.在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 增函数 减函数 单调函数 1．函数y＝x2在区间[－1,2]上( )
A．是增加的 B．是减少的
C．既是增加的又是减少的 D．不具有单调性
[解析] 由y＝x2的图像知在区间[－1,2]上函数的图像先下降后上升，既不是上升的，也不是下降的，所以不具有单调性．DD (3，＋∞) 互动探究学案 已知四个函数的图像如下图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )命题方向1 ?函数单调性的判断B典例 1 [思路分析] 已知函数的图像判断其单调性应从它的图像是上升的还是下降的角度来考虑．
[规范解答] 根据函数单调性的定义结合函数图像可知函数B在定义域内为单调递增函数．D 命题方向2 ?利用定义证明或判断函数的单调性典例 2 『规律总结』 证明函数在某个区间上的单调性的步骤：
(1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1(2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法变形；
(3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
(4)结论：根据差的符号，得出单调性的结论． 命题方向3 ?求函数单调区间典例 3
A (2)函数y＝3x2＋6x－12在区间___________________上为增函数，在区间___________________上为减函数．
[解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.
∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1]上为减函数．[－1，＋∞) (－∞，－1] 已知单调性求参数范围 典例 4 『规律总结』 利用函数的单调性求参数的取值范围的步骤：①把自变量“装在”定义域内；②找出x1，x2的关系，得出函数的单调性，从而得出函数值之间的关系(注意也可逆用)；③最后再应用分类讨论、数形结合等思想解决问题． 〔跟踪练习4〕
已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减少的，且f(1－a)[分析] 不等式f(1－a)[错解] 函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝1－a，由于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，
即a≤－3.
[辨析] 错解中把单调区间误认为是在区间上单调．典例 5 [正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，
所以有1－a＝4，即a＝－3.
[答案] a＝－3『规律总结』 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．D 2．函数f(x)的图像如图所示，则( )
A．函数f(x)在[－1,2]上是增加的
B．函数f(x)在[－1,2]上是减少的
C．函数f(x)在[－1,4]上是减少的
D．函数f(x)在[2,4]上是增加的
[解析] 结合图像可知函数f(x)在[－1,2]上是“上升”的，故A正确．A3．函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是_______________________.(－∞，1]，(1，＋∞) 4．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.－6 课时作业学案
