第二章 2.4.1
A级 基础巩固
1．若函数y＝(3－t)xt2－3t＋2＋tx＋1是关于x的二次函数，则t的值为( B )
A．3 B．0
C．0或3 D．1或2
[解析] 由题意可得解得
所以t＝0，故选B．
2．抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是( D )
A．(2，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(－1，－3)
[解析] 因为y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，
所以抛物线的顶点坐标为(－1，－3)．
3．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是( A )
A．y＝－x2－4x－1 B．y＝x2－4x－1
C．y＝x2＋4x－1 D．y＝－x2－4x＋1
[解析] 设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a(－3＋2)2＋3，
即a＝－1.
所以y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
4．将函数y＝x2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( A )
A．y＝2x2 B．y＝4x2
C．y＝x2 D．y＝x2
[解析] 由图像变换可知选A．
5．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为( D )
A．y＝2x2 B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6 D．y＝2(x＋2)2
[解析] 将y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y＝2(x＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y＝2(x＋2)2的图像，故选D．
6．已知f(x)＝2(x－1)2和g(x)＝(x－1)2，h(x)＝(x－1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( A )
A．g(x) B．f(x)
C．h(x) D．不确定
[解析] 因二次函数y＝a(x－h)2＋k的|a|越小，则二次函数开口越开阔．
7．二次函数f(x)＝x2－x＋的图像的顶点坐标为(1,1).
[解析] f(x)＝x2－x＋＝(x2－2x＋3)＝(x－1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．
8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是f(x)＝－x2＋2x＋3.
[解析] 设函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，
将点(1,4)代入，得a＝－1.
则f(x)＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式．
[解析] 解法1：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得解得.
∴函数的解析式为y＝3x2－6x.
解法2：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得，解得.
∴函数的解析式为y＝3x2－6x.
解法3：设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，则顶点坐标为(－h，k)，
已知顶点为(1，－3)，∴h＝－1，k＝－3，
即所求的二次函数y＝a(x－1)2－3.
又∵图像经过点P(2,0)，
∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3，
∴函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.
解法4：设解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标，
已知抛物线与x轴的一个交点P(2,0)，对称轴是x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0)，
∴x1＝0，x2＝2，
∴所求的解析式为y＝a(x－0)(x－2)，
又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3，
∴所求函数的解析式为y＝3x2－6x.
10．已知二次函数满足f(x－2)＝f(－x－2)，且其图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的表达式．
[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x－2)＝f(－x－2)得对称轴为x＝－＝－2，
∴b＝4a.
∵图像在y轴上的截距为1，∴c＝1，
又|x1－x2|＝＝2，
∴b＝2或b＝0(舍去)，a＝，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
B级 素养提升
1．如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于( B )
A． B．－
C．± D．以上都不对
[解析] ∵f(x)＝ax2＋bx＋c，∴f(0)＝c>0，a<0，
设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1·x2＝，
∴|OA|＝－x1，|OB|＝x2，
∴|OA|·|OB|＝－.故正确答案为B．
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的( A )
[解析] 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.故排除B、C，又因为当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，只有A正确．
3．把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y＝x2－2x＋1，则b＝－6，c＝6.
[解析] 由题意知y＝x2＋bx＋c的图像可由y＝x2－2x＋1＝(x－1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y＝x2＋bx＋c＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6.所以b＝－6，c＝6.
4．如图抛物线y＝－x2＋2(m＋1)x＋m＋3与x轴交于A，B两点，且OA＝3OB，则m的值为0.
[解析] 设A(x1,0)，B(x2,0)，则
x1＝－3x2.
由，得3m2＋5m＝0，
即m＝0或m＝－.由图像知，对称轴x＝m＋1>0，即m>－1，因此m＝－，不合题意，故m＝0.
5．已知二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，图像过原点，求g(x)的解析式．
[解析] 由题意设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，
∴，∴.∴g(x)＝3x2－2x.
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，试判断点(，)所在的象限．
[解析] 由抛物线开口向上知a>0，
∵抛物线与y轴的交点(0，c)在y轴负半轴，
∴c<0.又∵对称轴x＝－在y轴左边，
∴－<0.∴>0.∴a，b同号．
∵a>0，∴b>0.又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2－4ac>0.∴>0，<0.
∴点(，)在第四象限．
C级 能力拔高
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0)且x＋x＝，试问该抛物线由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到？
[解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为
y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－3＋k，
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，得
4－＝，解得k＝.
所以，该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋，
即y＝－3x2＋6x－.
课件36张PPT。第二章函 数§4 二次函数性质的再研究
4.1 二次函数的图像自主预习学案二次函数是非常重要的基本初等函数，在我们的生活中具有广泛的应用，如炮弹飞行的路线、篮球运动员投篮时篮球飞行的轨迹、烟花在空中爆裂、圆形喷泉的水流等等都可以看成是二次函数的图像．要控制这些曲线，就需要研究曲线的性质，下面我们就在初中学习的二次函数的基础上对其做进一步的研究．
同学们请在同一坐标系内画出下列函数的图像，看一看它们有怎样的内在联系．
(1)y＝x2 (2)y＝x2－2 (3)y＝2x2－4x1．二次函数
函数_________________________叫作二次函数．它的定义域是________.
如果b＝c＝0，则函数变为________.我们知道，它的图像是一条顶点为________的抛物线．________时，抛物线开口向上，________时，抛物线开口向下．
2．二次函数的图像变换
(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像____________________________________得到；
(2)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由y＝ax2的图像_____________ ___________________________________________________________得到；y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R y＝ax2 原点 a>0 a<0 横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a倍 向左(h>0)(或向 右(h<0))平移|h|个单位，再向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位 (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，可把它先________，再由y＝ax2的图像平移得到；
(4)函数y＝f(x＋a)的图像可由y＝f(x)的图像_____________________________得到；
(5)函数y＝f(x)＋k的图像可由y＝f(x)的图像_________________________________得到．
3．二次函数解析式的表示法
(1)________，形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)________，形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)________，形如y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．配方 向左(a>0)(或向右(a<0))平移|a|个单位 向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位 一般式 顶点式 两根式 D 2．已知二次函数f(x)＝x2－x，则其开口方向和与x轴交点的个数分别是( )
A．向上 2 B．向上 0
C．向下 1 D．向下 2
[解析] 因为a＝1>0，所以开口向上，又y＝x2－x＝x(x－1)，令y＝0得x＝0或1，所以f(x)与x轴有两个交点，故选A．A3．已知二次函数f(x)的图像经过点A(1，－1)，B(3,3)，C(－2,8)，则其解析式为____________________.f(x)＝x2－2x左 3 下 2 互动探究学案 当m为何值时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．
[思路分析] 根据定义y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．命题方向1 ?二次函数的定义典例 1 『规律总结』 不要忽略条件m－3≠0.〔跟踪练习1〕
已知函数y＝(4a＋3)x4a2－a－1＋x－1是一个二次函数，求满足条件的a的值． 如何由函数y＝2x2的图像变换为函数y＝2x2＋4x－6的图像？
[思路分析] 先配方，再平移．
[规范解答] 将y＝2x2＋4x－6配方得
y＝2(x＋1)2－8，因此，把函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，得到函数y＝2(x＋1)2的图像，再向下平移8个单位长度，得到函数y＝2(x＋1)2－8的图像，即函数y＝2x2＋4x－6的图像．命题方向2 ?二次函数的平移变换玉 典例 2 『规律总结』 1.函数y＝ax2(a≠0)的图像向左平移|h|个单位长度(h正左移，h负右移)得函数y＝a(x＋h)2的图像，再向上或向下平移|k|个单位长度(k正上移，k负下移)得y＝a(x＋h)2＋k的图像．
2．要得到y＝ax2＋bx＋c的图像，先把函数配方成y＝a(x＋h)2＋k的形式再由1变换得到．二次函数解析式的求法主要是待定系数法，它有三种基本形式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点；
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标．二次函数解析式的求法 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式．典例 3 『规律总结』 求二次函数的解析式常用待定系数法，已知对称轴或顶点坐标或最值等有关信息时，解析式可设为f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式；已知抛物线上三点坐标或解析式的性质时，解析式可设为一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 如果函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的图像恒在x轴下方，试求实数a的取值范围．典例 4 [辨析] 产生错误的原因是忘记了函数y＝ax2＋bx＋c是二次函数的条件为a≠0，此题在a＝2时f(x)＝－4，图像也恒在x轴下方．『规律总结』 函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数的条件是a≠0，如果二次项系数是字母或式子时，不能确定是否为0，也就是不能确定函数y＝ax2＋bx＋c是否为二次函数时，此时一定要分类讨论，注意二次项系数为0的情况．1．已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的( )
[解析] 排除法，A图中一次函数a>0，二次函数a<0；同理排除C；在B图中由直线知c>0，而二次函数中c<0故排除B．选D．DD C 4．下列四个函数中：
①y＝x2－3x＋2；②y＝5－x2；③y＝－x2＋2x；④y＝x2－4x
＋4.
(1)图像经过坐标原点的函数的序号是________；
(2)图像的顶点在x轴上的函数的序号是________；
(3)图像的顶点在y轴上的函数的序号是________.③ ④ ② 课时作业学案第二章 2.4.2
A级 基础巩固
1．下列区间中，使y＝－2x2＋x增加的是( D )
A．R B．[2，＋∞)
C．[，＋∞) D．(－∞，]
[解析] 由y＝－2(x－)2＋，
可知函数在(－∞，]上是增加的．
2．函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，则( B )
A．b>0且a<0 B．b＝2a<0
C．b＝2a>0 D．a，b的符号不定
[解析] 因为函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，所以a<0，且在对称轴x＝－＝－1处取最大值，故b＝2a<0，选B．
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增加的，那么区间A是( B )
A．(－∞，0) B．[0，]
C．[0，＋∞) D．(，＋∞)
[解析] 由函数y＝及其图像可知增区间为[0，]，故选B．
4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像的最高点为(－1，－3)，则b与c的值是( D )
A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4
C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4
[解析] ∵y＝－x2＋bx＋c＝－(x－)2＋最高点为(－1，－3)，
∴，解得.故选D．
5．函数f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]，则函数( A )
A．有最小值0，最大值9 B．有最小值2，最大值5
C．有最小值2，最大值9 D．有最小值1，最大值5
[解析] 由于f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
图像的对称轴是x＝－1，所以f(x)在x＝－1处取得最小值且f(－1)＝0.又f(－2)＝1，f(2)＝9.
因此函数的最大值等于9.
6．某生产厂家生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的解析式为y＝x2－85x，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为( C )
A．35 B．45
C．55 D．65
[解析] 生产x台时，所获利润f(x)＝25x－y＝－x2＋110x＝－(x－55)2＋3 025.
所以当x＝55时，f(x)取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55.
7．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[2,10]上具有单调性，则实数k的取值范围是k≤16或k≥80.
[解析] 函数f(x)的对称轴为x＝，
∴≤2或≥10，∴k≤16或k≥80.
8．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为(－，).
[解析] 把(1,4)的坐标代入y＝ax2与y＝kx＋1中得a＝4，k＝3.所以由，解得或.
9．已知函数f(x)＝x2＋2ax－3.
(1)如果f(a＋1)－f(a)＝9，求a的值；
(2)问a为何值时，函数的最小值是－4?
[解析] (1)∵f(a＋1)－f(a)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)－3－(a2＋2a2－3)＝4a＋1＝9，∴a＝2.
(2)∵由＝－4，
得a2＝1，∴a＝±1.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图像与y轴交于点(0,1)，且满足f(－2＋x)＝f(－2－x)(x∈R)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知函数在(t－1，＋∞)上是增加的，求实数t的取值范围．
[解析] (1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1)，知c＝1.
∵f(－2＋x)＝f(－2－x)，
∴函数f(x)的对称轴x＝－＝－＝－2.
∴a＝.∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上是增加的，
∴t－1≥－2.∴t≥－1.
11．(1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值；
(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值；
(3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围．
[解析] (1)作出函数的图像，如图(1)，开口向上，对称轴为x＝1，
所以当x＝1时，ymin＝－4；当x＝－2时，ymax＝5.
(2)作出函数的图像，如图(2)，开口向下，对称轴为x＝－.
所以当x＝1时，ymax＝－1；当x＝2时，ymin＝－5.
(3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图像，如图(3)．
可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值．
所以，当x≥0时，函数的取值范围是y≥－1.
B级 素养提升
1．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)．若x1
A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定
[解析] f(x1)－f(x2)＝ax＋2ax1＋4－ax－2ax2－4＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋2a(x1－x2)．
∵a>0，x1∴f(x1)－f(x2)＝2a(x1－x2)<0，∴f(x1)2．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( B )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
[解析] 函数f(x)的对称轴方程为x＝－，
当－≤0，即a≥0时，f(x)在[0,1]上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)＝b，f(x)max＝f(1)＝a＋b＋1，
∴M－m＝a＋b＋1－b＝a＋1.
当－≥1，即a≤－2时，f(x)在[0,1]上单调递减，
∴f(x)min＝f(1)＝a＋b＋1，f(x)max＝f(0)＝b，
∴M－m＝b－a－b－1＝－a－1.
当0<－<1，即－2＝－＋b.
f(x)max＝f(1)或f(0)，∴f(x)max＝a＋b＋1或f(x)max＝b，
∴M－m＝a＋1＋或，故M－m与a有关，但与b无关．
3．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的，则f(－1)＝1.
[解析] ∵＝－1，∴a＝－9.
∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.
4．对于二次函数y＝x2－2mx－3，有下列说法：
①它的图像与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，那么m＝1；
③如果将它的图像向左平移3个单位长度后过原点，那么m＝－1；
④如果当x＝4时的函数值与x＝2 008时的函数值相等，那么当x＝2 012时的函数值为－3.
其中正确的说法是①④.
[解析] 由x2－2mx－3＝0得Δ＝(－2m)2－4×1×(－3)＝4m2＋12>0，
∴方程x2－2mx－3＝0有两个不相等的实数根，即二次函数y＝x2－2mx－3的图像与x轴有两个公共点，故说法①正确．
∵y＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，而当x≤1时y随x的增大而减小，
∴m≥1，故说法②错误．
∵y＝x2－2mx－3＝(x－m)2－m2－3，
∴将它的图像向左平移3个单位长度后得y＝(x－m＋3)2－m2－3.
∵y＝(x－m＋3)2－m2－3经过原点，
∴0＝(0－m＋3)2－m2－3，解得m＝1，故说法③错误．由当x＝4时的函数值与x＝2 008时的函数值相等，得42－2·4m－3＝2 0082－2·2 008m－3，解得m＝1 006，∴当x＝2 012时的函数值为2 0122－2×2 012×1 006－3＝－3.故说法④正确．
综上所述，正确的说法是①④.
5．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，求实数m的取值范围．
[解析] y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，作出函数图像如图：
图像的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,2)．
∵函数的最小值为2，
∴1∈[0，m]．
又∵当y＝3时，
解x2－2x＋3＝3，得x＝0或x＝2.
再观察图像得1≤m≤2.
6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m的取值范围．
[解析] (1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，
故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数不单调，则2a<1(3)由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1，
化简得x2－3x＋1－m>0.
设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0，
因为x∈[－1,1]时，g(x)是减少的，
所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，
因此有－1－m>0，得m<－1.
7．某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比例．又当x＝0.65元/度时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价)) .
[解析] (1)∵y与(x－0.4)成反比例，
∴设y＝(k≠0)．
将x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝，解得k＝0.2.
∴y＝＝，
即y与x之间的函数关系式为y＝.(x≠)
(2)根据题意，得(1＋)·(x－0.3)
＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.
解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
∵x的取值范围是0.55～0.75之间，
故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x＝0.6.
当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
C级 能力拔高
设f(x)＝x2＋ax＋3－a，且f(x)在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a的取值范围．
[解析] f(x)＝2＋3－a－，f(x)≥0在x∈[－2,2]恒成立的条件是f(x)在x∈[－2,2]上的最小值非负．
(1)当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上是增函数，最小值为f(－2)＝7－3a，由7－3a≥0，得a≤，这与a>4矛盾，此时a不存在．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)在[－2,2]上的最小值为f＝3－a－，3－a－≥0?a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.
结合－4≤a≤4，可知此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上是减函数，最小值为f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，得a≥－7.
∵a<－4，∴－7≤a<－4.
由(1)(2)(3)可知，a的取值范围是[－7,2]．
课件42张PPT。第二章函 数§4 二次函数性质的再研究
4.2 二次函数的性质自主预习学案在实际生活中，有很多最优化问题可以通过建立二次函数模型，并借助二次函数的图像和性质加以解决，其解题的关键是列出二次函数解析式，转化为求二次函数的最值问题．例如：
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？二次函数(y＝ax2＋bx＋c)的性质
学习研究二次函数的性质，必须熟练掌握二次函数的图像，结合图像研究性质.向上 向下 1．函数f(x)＝x2－4在区间[－2，－1]上的最大值是( )
A．0 B．－3
C．3 D．1
[解析] 由图像易知f(x)＝x2－4在区间[－2，－1]上是递减的，故其最大值为f(－2)＝0.A2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1A 3．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________.10 －2 互动探究学案命题方向1 ?二次函数的单调性典例 1 『规律总结』 “配方法”是研究二次函数的主要方法，对一个具体的二次函数，我们对它进行配方，就可以知道这个二次函数的主要性质．〔跟踪练习1〕
求函数y＝5x2－4x－1的图像与x轴的交点坐标和对称轴，并判断它在哪个区间上是增加的，在哪个区间上是减少的．命题方向2 ?二次函数的对称性典例 2
〔跟踪练习2〕
已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0A 某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？命题方向3 ?二次函数的实际应用题典例 3 [思路分析] 解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．『规律总结』 解实际应用问题的方法步骤
〔跟踪练习3〕
某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30m，那么宽为________m时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是________m2.5 75 区间固定、对称轴不定：即抛物线处在运动状态之中，但区间固定．解决这类问题要对对称轴与区间的相对位置进行讨论(这是解决问题的关键)，可画出草图帮助我们分析．分类讨论思想在二次函数最值问题的应用 求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．典例 4 (2)当0≤a<1时，由图2可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1≤a≤2时，由图3可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图4可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.『规律总结』 1.分类讨论思想的实质是：整体问题化为部分问题，化成部分问题后相当于增加了题设条件，从而使问题符号顺利解决．
2．本题不是分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论，而是分四种情况：这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．〔跟踪练习4〕
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值；
(2)当a∈R时，求函数的最小值． 设α、β是方程4x2－4mx＋m＋2＝0(x∈R)的两个实根，当m为何值时，α2＋β 2有最小值？并求出这个最小值．典例 5 『规律总结』 此处的隐含条件就是m的取值范围不是R，而是Δ≥0的解集．1．若函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上为减函数，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)A2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] 因为f(x)＝－(x－2)2＋a＋4，
所以函数f(x)图像的对称轴为x＝2.
所以f(x)在区间[0,1]上为增加的，
因为f(x)min＝－2，即f(0)＝－2，即a＝－2.
所以f(x)max＝f(1)＝1.C3．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )
A．10件 B．15件
C．20件 D．30件
[解析] 由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675可知，当x＝15时，y取最大值．B4．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝________.6课时作业学案