第三章 3.1
A级 基础巩固
1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有( D )
①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D．
2．函数y＝()x，x∈N＋的值域是( D )
A．R B．[0，＋∞)
C．N D．{，，，…}
[解析] ∵n∈N＋，∴把n＝1,2,3，…代入可知选D．
3．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；
③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．
其中是正整数指数函数的个数为( B )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析] 由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B．
4．函数y＝()x，x∈N＋是( D )
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
[解析] ∵0<<1，当x∈N＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D．
5．函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是( D )
A．R B．N＋
C．[0，＋∞) D．不存在
[解析] 由于函数y＝7x，x∈N＋的定义域是N＋，而N＋不是区间，则该函数不存在单调区间．
6．满足3x2－1＝的x的值的集合为( C )
A．{1} B．{－1,1}
C．? D．{0}
[解析] 3x2－1＝3－2，∴x2－1＝－2，即x2＝－1，无解．
7．已知函数f(x)＝(m－1)·4x(x∈N＋)是正整数指数函数，则实数m＝2.
[解析] 由m－1＝1，得m＝2.
8．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机经过15年价格应降为2_400元.
[解析] 5年后价格为8 100×；10年后价格为8 100×2；15年后价格为8 100×3＝2 400(元)．
9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
[解析] 设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，
则＝，
因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以>1，即M>N.
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．
10．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2014年某地区农民人均收入为23 150元(其中工资性收入为17 800元，其他收入为5 350元)．预计该地区自2013年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加1 160元．根据以上数据，求2019年该地区农民人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34，1.066≈1.42)
[解析] 农民人均收入来源于两部分，一是工资性收入即17 800×(1＋6%)5＝17 800×1.065＝23 852(元)，二是其他收入即5 350＋5×1 160＝11 150(元)，
∴农民人均收入为23 852＋11 150＝35 002(元)．
答：2019年该地区农民人均收入约为35 002元．
B级 素养提升
1．若f(x)＝3x(x∈N且x>0)，则函数y＝f(－x)在其定义域上为( B )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
[解析] ∵f(x)＝3x(x∈N且x<0)，
∴y＝f(－x)＝3－x＝()x，
∴函数为减函数，故选B．
2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2005年到2014年这10年间每两年上升2%,2013年和2014年种植植被815万m2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2015年到2018年种植绿色植被面积为(四舍五入)( B )
A．848万m2 B．1 679万m2
C．1 173万m2 D．12 494万m2
[解析] 2015～2016年为815×(1＋2%)，
2017～2018年为815×(1＋2%)×(1＋2%)．
共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1 679.
3．不等式()3－x2<32x(x∈N＋)的解集是{1,2}.
[解析] 由()3－x2<32x得3x2－3<32x.
∵函数y＝3x，x∈N＋为增函数，
∴x2－3<2x，即x2－2x－3<0，
∴(x－3)(x＋1)<0，解得－1
又∵x∈N＋，∴x＝1或x＝2.
4．当x∈N＋时，用“>”“<”或“＝”填空：
()x<1,2x>1，()x<2x，()x>()x,2x<3x.
[解析] ∵x∈N＋，
∴()x<1,2x>1.
∴2x>()x.又根据对其图像的研究，知2x<3x，()x>()x.也可以代入特殊值比较大小．
5．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明原因．
[解析] (1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，因为函数f(x)的图像经过点(3,27)，
所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)因为f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)无最大值．
6．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?
[解析] (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)3.
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．
(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．
C级 能力拔高
截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．
[解析] (1)1999年年底的人口数13亿；
经过1年，2000年年底的人口数13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；
经过2年，2001年年底的人口数13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；
经过3年，2002年年底的人口数13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．
∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．
∴经过x年后的人口数13(1＋1‰)x(亿)，
∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．
(2)理论上指数函数定义域为R，
∵此问题以年作为单位时间，∴x∈N是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，
∵1＋1‰>1,13>0，∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
课件37张PPT。第三章指数函数和对数函数公元1797年，拿破仑将军参观国立卢森堡小学时，赠送了一束价值3个金路易的玫瑰花，并许诺说：“只要法兰西共和国存在一天，我将每年送一束价值相当的玫瑰花，以作两国友谊的象征．”
此后，由于连年征战，拿破仑忘却了这一诺言．
公元1894年，卢森堡王国郑重地向法兰西共和国提出了“玫瑰花悬案”，要求法国政府在拿破仑声誉和1 363 148.76法郎的债款中，选取其一．这笔高达百万法郎的巨款，就是3个金路易的本金以5%的年利率，在97年的指数效应下的产物．
这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，97年后的结果，会变得这么巨大！事实的确如此，因为拿破仑将军碰到了“指数爆炸”．一种事物如果成倍成倍地增大(如2×2×2×…)，则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人．在科学领域中，常常需要研究这一类问题．例如，生物学中研究某种细胞的分裂问题：
某个细胞第一次分裂，1个分裂为2个；第二次分裂，2个分裂为4个；……这样下去，问第8次，第10次，第20次……分裂后分别共有多少个细胞？
有时，还要求解上述问题的逆问题：经过多少次分裂，细胞总数为512个，或为4 096个？……这样我们就要研究指数运算的逆运算．
这一章我们要学习指数运算和指数运算的逆运算：对数运算．在此基础上，我们分别从实际问题中抽象出指数函数和对数函数模型，并分别研究它们的性质.§1 正整数指数函数自主预习学案
1．正整数指数函数
一般地，函数___________________________叫作正整数指数函数，其中________是自变量，正整数指数函数的定义域为____________________.
2．正整数指数函数的增减性
由本节课本的问题1与问题2可知，对正整数指数函数y＝ax(a>0且a≠1，x∈N＋)，当a>1时，函数图像是________的，当00，a≠1，x∈N＋) x 正整数集N＋ 上升 下降 D D 互动探究学案命题方向1 ?正整数指数函数的概念典例 1 [思路分析] 严格按照正整数指数函数的定义进行判断，注意它的形式特征．『规律总结』 一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.
注意：①底数是大于0不等于1的常数；②指数是自变量x；③系数为1.〔跟踪练习1〕
下列函数中一定是正整数指数函数的是( )
A．y＝x5(x∈N＋) B．y＝3x＋2(x∈N＋)
C．y＝4－x(x∈N＋) D．y＝4×3－x(x∈N＋)C命题方向2 ?正整数指数函数的图像典例 2
『规律总结』 正整数指数函数的图像是由一些孤立的点组成的．当01时，函数y＝ax(x∈N＋)是增函数． 解下列不等式：
(1)4x>23－2x(x∈N＋)；
(2)0.3×0.4x<0.2×0.6x(x∈N＋)．
[思路分析] 根据正整数指数函数的性质，将所给不等式化为一元一次不等式的形式，再进行求解，一定要注意题中所给未知数的取值范围．命题方向3 ?利用正整数指数函数的性质解不等式(或方程)典例 3 某林区2018年木材蓄积量为200万m3，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万m3，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)作出函数y＝f(x)的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3.典例 4 [辨析] 第x年的木材蓄积量不是200(1＋5%·x)，而是200(1＋5%)x，是指数关系．『规律总结』 正确地建立函数模型，用好函数模型，此类问题就不难了．1．我国工农业总产值从1998年到2018年的20年间翻了两番，设平均每年的增长率为x，则有( )
A．(1＋x)19＝4 B．(1＋x)20＝3
C．(1＋x)20＝2 D．(1＋x)20＝4D3．若正整数指数函数y＝(a－1)x(x∈N＋)在N＋上是减函数，则实数a的取值范围是________.
[解析] 依题意，应有0