第三章 3.3.1 3.3.2
A级 基础巩固
1．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3，其中指数函数的个数是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①中，3x的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x＋1，不是x，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B．
2．函数y＝2－x的图像是下图中的( B )
[解析] ∵y＝2－x＝()x，
∴函数y＝()x是减函数，且过点(0,1)，故选B．
3．设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( C )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－1
0}∪{x|－1－1}．
4．已知函数f(x)＝2x－1＋1，则f(x)的图像恒过定点( C )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(1,1)
[解析] 代入选项易知C正确．
5．经过点(－，)的指数函数的解析式为( A )
A．y＝()x B．y＝()x
C．y＝()x D．y＝()x
[解析] 将点(－，)代入指数函数y＝ax(a>0且a≠1)中，则a＝，即()＝()3，所以＝，即a＝.
6．设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝( C )
A．[0,2] B．(1,3)
C．[1,3) D．(1,4)
[解析] 本题考查指数函数集合的运算．
|x－1|<2，∴－2即－1∴20≤y≤22，即1≤y≤4
∴A∩B＝[1,3)．
7．函数f(x)＝＋m(a>1)恒过点(1,10)，则m＝9.
[解析] ∵函数f(x)＝＋m(a>1)恒过点(1,10)，
∴10＝a0＋m，∴m＝9.
8．若函数f(x)的图像与函数g(x)＝()x的图像关于y轴对称，则满足f(x)≥2的x的取值范围是[1，＋∞).
[解析] 由题意知，f(x)的解析式是f(x)＝()－x＝2x，由f(x)≥2得2x≥2，解得x≥1.
9．若函数y＝(4－3a)x是指数函数，求实数a的取值范围．
[解析] y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：
解得a<且a≠1，
故a的取值范围为{a|a<且a≠1}．
10．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(－1，＋∞)上的单调性．
[解析] (1)只需x＋1≠0时，f(x)都有意义，故f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠－1}．
(2)设x1，x2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1＝(ax1－ax2)＋.
∵－10，x2＋1>0.
又a>1，∴ax1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是增加的．
B级 素养提升
1．已知函数f(x)＝，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于( A )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[解析] 本题考查分段函数求值．
∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知 f(a)＝－2.
当a>0时 2a＝－2不成立．
当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.
2．函数y＝2x＋1的图像是图中的( B )
[解析] x＝0时，y＝2；且y＝2x＋1的图像是y＝2x的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．
3．(2019·吉林乾安七中期中测试)若指数函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f(3)＝8.
[解析] 设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，因为图像经过点(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.因为a>0且a≠1，得a＝2，即函数的解析式为f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.
4．已知函数，则满足f(x)>1的x的取值范围是{x|x>1或x<－1}.
[解析] 由已知f(x)>1可化为或，解得x>1或x<－1，故{x|x>1或x<－1}．
5．已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数的值域．
[解析] ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．
即＋a＝－[＋a]，
∴2a＝－－＝1，∴a＝.
∵2x－1≠0，∴x≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0，
∴<－1或>0，∴y<－或y>.
∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)．
6．画出函数y＝|2x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|2x－1|＝k无解？有一解？有两解？
[解析] 函数y＝|2x－1|的图像是由函数y＝2x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，图像如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像无交点，即方程无解；
当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；
当0C级 能力拔高
设f(x)＝，若0(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[解析] (1)f(a)＋f(1－a)
＝＋＝＋
＝＋＝＋
＝＝1.
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()
＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝500×1＝500.
课件33张PPT。第三章指数函数和对数函数§3 指数函数
3.1 指数函数的概念自主预习学案有一天，数学课上甲同学顺手拿起桌上的草稿纸，折起飞机来．但很快被老师发现．老师没有动怒，还笑着说：“喜欢折叠的人，我总会给予机会的，但只要回答一个问题：一张纸究竟最多可对折多少次？”甲同学顺口说：“20次．”随即把手上的纸对折起来．可他无论怎样努力，折到第8次就再也折不了了．然而，甲同学不服气地说：“我用报纸可以折得更多！”
甲同学再一次失望，他把老师给的报纸勉强折上8次后，便不能再折下去了．这是为什么呢？
通过本节课的学习，你就会理解这一有趣的现象．y＝ax a>0且a≠1 R (0，＋∞) x轴 (0,1) 上升的 下降的 B 2．集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1} D．{－1,0,1}B3．指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________.
[解析] 由指数函数y＝2x的图像和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞)．
4．把函数y＝f(x)的图像向左、向下分别平移2个单位，得到函数y＝2x的图像，则f(x)＝________.
[解析] 因为将函数y＝2x的图像向上平移2个单位得到函数y＝2x＋2的图像，再向右平移2个单位得到函数y＝2x－2＋2的图像，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－2＋2.R (0，＋∞) 2x－2＋2 互动探究学案 下列函数中，哪些是指数函数？
①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；
⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；
⑦y＝x10.
[思路分析] 根据指数函数的定义，必须是形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数才叫指数函数．命题方向1 ?指数函数的概念典例 1 『规律总结』 在指数函数的定义表达式y＝ax中，参数a必须大于0，且不等于1，ax前的系数必须是1，自变量x必须在指数的位置上，否则，就不是指数函数． 2 命题方向2 ?指数函数的定义域、值域典例 2
指数函数图像的变换规律 利用y＝2x的图像，如何变换得到下列函数的图像？试作出它们的图像．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2－x；(4)y＝－2x；(5)y＝－2－x；(6)y＝2|x|.
[思路分析] 以y＝2x的图像为基础，通过平移、对称、翻折等变换可得问题中七个函数的图像．典例 3 [规范解答] (1)将y＝2x图像向右平移1个单位可得到y＝2x－1的图像，如图①.
(2)将y＝2x图像向上平移1个单位可得到y＝2x＋1的图像，如图②.
(3)将y＝2x图像关于y轴对称，可得到y＝2－x的图像，如图③.
(4)将y＝2x图像关于x轴对称，可得到y＝－2x的图像，如图④.
(5)将y＝2x图像关于原点对称，可得到y＝－2－x的图像，如图⑤.
(6)将y＝2x图像位于y轴左边的部分删除，由y＝2|x|是偶函数，图像应关于y轴对称，只要作y轴右边部分的图像然后再作关于y轴的对称图像，就可得到y＝2|x|的图像，如图⑥.『规律总结』 前五个小题的图像变换方法我们已在前边学过，后两个小题是图像翻折问题．由y＝f(x)变到y＝|f(x)|，把x轴下方的图像上翻；由y＝f(x)变到y＝f(|x|)，把y轴左边图像删除，利用偶函数图像对称性补充完整．〔跟踪练习3〕
指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图像过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值． 函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，求实数a的值．
[错解] 因为f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，所以有a2－3a＋3＝1.解得a＝1或a＝2.故a的值为1或2.
[辨析] 指数函数y＝ax中要求a>0且a≠1，解题中忽视了a的范围，导致出错．典例 4 B B 3．函数y＝ax＋2－1(a>0，且a≠1)的图像必定经过点________.(－2,0) (－1,2) 课时作业学案第三章 3.3.3
A级 基础巩固
1．设x>0，且ax0，b>0)，则a与b的大小关系是( B )
A．bC．1[解析] 取x＝1，则a2．如果函数y＝ax(a>0，a≠1)的图像与函数y＝()x的图像关于y轴对称，则a的值为( C )
A． B．－
C． D．－
[解析] 由题意知a·＝1，即a＝.
3．(2019·安徽合肥众兴中学高一期末测试)函数y＝ax－2＋1(a>0且a≠1)的图像必经过点( D )
A．(0,1) B．(1,1)
C．(2,0) D．(2,2)
[解析] 令x－2＝0，即x＝2，y＝a0＋1＝2，故选D．
4．下列函数为偶函数的是( D )
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x
[解析] 此题考查函数奇偶性的判断．
A、B非奇非偶，C为奇函数，D，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)．
5．若0A．2x<0.2x<()x B．2x<()x<0.2x
C．()x<0.2x<2x D．0.2x<()x<2x
[解析] 由指数函数性质可知，当020＝1，()x<()0＝1，而y＝0.2x与y＝()x在06．函数y＝(a>1)的图像的大致形状为( C )
[解析] 因为当x>0时，y＝＝ax；
当x<0时，y＝－ax.
所以y＝，所以其图像大致形状与选项C吻合．
7．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为m[解析] ∵a＝，∴0函数f(x)＝ax在x∈R上是单调递减的且f(m)>f(n)，∴m8．函数的定义域是[－1,2]，值域为[，1].
[解析] 由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，
此时－x2＋x＋2∈[0，]
∴u＝∈[0，]，
∴y＝u∈[，1]．
9．若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
[解析] 当a>1时，函数f(x)＝ax－1在[0,2)上是增函数，
由题意可知，，解得a＝.
当0由题意可知，，此时a无解．
综上所述，a＝.
10．比较下列两组数的大小：
(a－1)1.3与(a－1)2.4(a>1且a≠2)．
[解析] 由于a>1且a≠2，所以a－1>0且a－1≠1，
若a－1>1即a>2，则y＝(a－1)x是增函数，
∴(a－1)1.3<(a－1)2.4；
若0∴(a－1)1.3>(a－1)2.4.
B级 素养提升
1．定义运算a*b＝，如1]( D )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0,1]
[解析] 由题意知函数f(x)的图像如图，
∴函数的值域为(0,1]，故选D．
2．函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像可能是( D )
[解析] 当a>1时，函数y＝ax单调递增，0<<1，函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像由y＝ax的图像向下平移个单位得到，故A不正确；因为y＝ax－恒不过点(1,1)，所以B不正确；当01，函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图像由y＝ax的图像向下平移个单位得到，故C不正确，故选D．
3．指数函数f(x)＝(2a－1)x满足f(π)[解析] ∵π>3，又f(π)∴0<2a－1<1，∴4．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于1.
[解析] 因为f(x)＝2|x－a|，所以f(x)的图像关于直线x＝a对称．又由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)的图像关于直线x＝1对称，故a＝1.且f(x)的增区间是[1，＋∞)，由函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，知[m，＋∞)?[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值为1.
5．已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1,2]，求函数的值域．
[解析] y＝9x－2·3x＋2＝(3x)2－2·3x＋2，
设t＝3x，
∵x∈[1,2]，∴t∈[3,9]，
则函数化为y＝t2－2t＋2，t∈[3,9]．
∵f(t)＝(t－1)2＋1，f(t)在[3,9]上递增，
∴f(3)≤f(t)≤f(9)．
∴5≤f(t)≤65，即值域为[5,65]．
6．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y＝()x－1－4·()x＋2的最大值和最小值．
[解析] 由已知得(3x)2－10·3x＋9≤0，
得(3x－9)(3x－1)≤0.
∴1≤3x≤9，故0≤x≤2.
而y＝()x－1－4·()x＋2＝4·()2x－4·()x＋2，
令t＝()x(≤t≤1)．
则y＝f(t)＝4t2－4t＋2
＝4(t－)2＋1.
当t＝即x＝1时，ymin＝1；
当t＝1即x＝0时，ymax＝2.
C级 能力拔高
已知f(x)＝.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)证明：f(x)是定义域内的增函数；
(3)求f(x)的值域．
[解析] (1)∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)证法1：f(x)＝＝＝1－.
令x2>x1，则Δx＝x2－x1>0，
课件38张PPT。第三章指数函数和对数函数§3 指数函数
3.3 指数函数的图像和性质自主预习学案宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入．只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止呼吸碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失．对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代．这就是考古学家常用的碳14测年法．你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？1．指数函数的图像与性质R (0，＋∞) (0,1) 增 减 相等 y轴 < < (0,1) > > 越快 1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
[解析] ∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.DA (1，＋∞) 4．已知f(x)＝a－x(a>0且a≠1)且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是________.
[解析] ∵f(x)＝a－x且f(－2)>f(－3)，
即a2>a3，∴a<1.
又∵a>0，故0A．aC．1〔跟踪练习1〕
已知函数y＝ax＋b的图像经过第一、三、四象限，试确定a，b的取值范围．命题方向2 ?利用指数函数单调性比较大小典例 2 『规律总结』 两个幂值大小比较的一般方法：
(1)同底数的幂考查指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性．
(2)底数、指数各不相同，寻找“中间数”来传递大小关系．如第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小．解决形如y＝af(x)的函数单调性问题时，一定要根据a的值分清底数a>1还是01和0y＝af(x)的单调性见如下表格.指数型复合函数的单调性 典例 3 『规律总结』 关于指数型复合函数的单调性，我们有：①对于y＝af(x)型的函数，其单调性可根据“同增异减”原则进行讨论，即当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)的增减性相同；当00及f(u)的单调性进行讨论．典例 4 『规律总结』 在利用换元法求函数值域、最值时，经过换元，函数的定义域可发生变化．1．若指数函数y＝(1－a)x在R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－1,1)
[解析] ∵函数y＝(1－a)x在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴0<1－a<1，∴0