第三章 3.5 第1课时
A级 基础巩固
1．已知f(x)＝log5x，则f(5)＝( B )
A．0 B．1
C．5 D．25
[解析] f(5)＝log55＝1.
2．函数y＝的定义域是( D )
A．(0,1] B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 由，
得，解得x≥1.
3．下列函数中是对数函数的是( A )
A．y＝x B．y＝ (x＋1)
C．y＝2x D．y＝x＋1
[解析] 形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数，只有A是对数函数，故选A．
4．函数y＝log3x的定义域为(0，＋∞)，则其反函数的值域是( A )
A．(0，＋∞) B．R
C．(－∞，0) D．(0,1)
[解析] 反函数值域为原函数定义域(0，＋∞)．
5．函数y＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
[解析] 由对数函数定义可知，解得.
即2
6．函数y＝|log2x|的图像是图中的( A )
[解析] 有关函数图像的变换是考试的一个热点，本题目的图像变换是翻折变换，可知这个函数是由y＝log2x经上折而得到的．
7．(2019·天津市南开区高一期末测试)函数y＝＋的定义域为[1,2)∪(2,3).
[解析] 由题意得，
∴1≤x<3且x≠2.
∴所求函数的定义域为[1,2)∪(2,3)．
8．已知函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)，其反函数的图像过点(2,0)，则a＝3，b＝1.
[解析] 由函数y＝ax＋b的图像过点(1,4)得a＋b＝4；由反函数的图像过点(2,0)知原函数的图像过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
9．已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝()x(－1≤x≤0)的值域为B．
(1)求A∩B；
(2)若C＝{y|y≤a－1}，且B?C，求a的取值范围．
[解析] (1)由题意知：
，解得x≥2.
∴A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}．∴A∩B＝{2}．
(2)由(1)知B＝{y|1≤y≤2}，
若要使B?C，则有a－1≥2，∴a≥3.
10．求下列函数的定义域：
[解析] (1)∵由 ，
得，
∴x>－1，且x≠999，
∴函数的定义域为{x|x>－1，且x≠999}．
(2)由题意可知
B级 素养提升
1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 本题考查了指、对函数的基本性质，复合函数的值域问题．
3x>0，∴3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>log21＝0，选A．
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( A )
A．log2x B．
C．x D．2x－2
[解析] 函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，所以，a＝2，
故f(x)＝log2x，选A．
3．函数f(x)＝的定义域是(0，)∪(2，＋∞).
[解析] 由题意可得(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或04．(1)函数f(x)＝log2[log2(log2x)]的定义域为{x|x>2}；
(2)已知y＝log2(ax＋1)(a≠0)的定义域为(－∞，1)，则a的取值是a＝－1.
[解析] 根据对数函数的定义域列出关于x的不等式．(1)由f(x)＝log2[log2(log2x)]知log2(log2x)>0，即log2x>1，∴x>2；
(2)∵f(x)的定义域为(－∞，1)，∴ax＋1>0的解集为(－∞，1)．∴x＝1是方程ax＋1＝0的根，∴a＋1＝0，即a＝－1.
5．求函数y＝3x－4(x≥2)的反函数．
[解析] ∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3(y＋4)，
∴y＝log3(x＋4)，
又∵x≥2，∴3x－4≥5，∴定义域为[5，＋∞)．
∴函数的反函数为y＝log3(x＋4)(x≥5)．
6．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图像；
(2)若f(a)[解析] (1)作出函数y＝log3x的图像如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，
解得x＝2.
由图像知：当0∴所求a的取值范围为(0,2)．
C级 能力拔高
已知f(x)＝loga(a>0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)若f()＝1，求a的值．
[解析] (1)∵f(x)＝loga，需有>0，
即(1＋x)(1－x)>0，(x＋1)(x－1)<0，∴－1∴函数f(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝loga＝loga()－1
＝－loga＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(3)∵f()＝loga＝loga3.
∴loga3＝1，故a＝3.
课件43张PPT。第三章指数函数和对数函数§5 对数函数
第1课时 对数函数的概念及对数函数y＝log2x的图像和性质 自主预习学案我们所处的地球正当壮年，地壳运动还非常频繁，每年用地震仪可以测出的地震大约有500万次，平均每隔几秒钟就有一次，其中3级以上的大约只有5万次，仅占1%,7级以上的大震每年平均约有18次，8级以上的地震每年平均仅1次，那么地震的震级是怎么定义的呢？这里面就要用到对数函数．1．对数函数的有关概念
(1)对数函数：我们把函数y＝________(a>0，a≠1)叫作对数函数，a叫作对数函数的________.
(2)常用对数函数与自然对数函数：称以10为底的对数函数y＝lgx为______________，以无理数e为底的对数函数y＝lnx为_______________.logax 底数 常用对数函数 自然对数函数 2．反函数
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，通常情况下，x表示自变量，y表示函数，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数________(a>0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)也是指数函数________(a>0，a≠1)的反函数．
3．y＝log2x的图像和性质
对数函数y＝log2x的图像过点________，函数图像都在
________，表示了________没有对数；当x>1时，y＝log2x的图像位于__________，当0A．关于y轴对称 B．关于x轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
[解析] 因为y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图像关于直线y＝x对称，故选D．D3．若f(x)＝log2x，x∈[2,3]，则函数f(x)的值域为________________.
[解析] ∵f(x)＝log2x在[2,3]上是单调递增的，
∴log22≤log2x≤log23，
即1≤log2x≤log23.[1，log23] 互动探究学案 下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[思路分析] 根据对数函数定义判定．
[规范解答] 形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的有③，④，其他的不符合．命题方向1 ?对数函数的定义B典例 1 『规律总结』 同指数函数一样，对数函数也是形式化定义，形如y＝logax(a>0且a≠1)的函数是对数函数，否则不是．〔跟踪练习1〕
下列函数是对数函数的是( )
A．y＝loga(x＋7)(a>0，且a≠1)
B．y＝log3x2
C．y＝lg(x＋1)
D．y＝log5x
[解析] 只有形如y＝logax(a>0，a≠1)的函数才是对数函数．D命题方向2 ?求对数函数的定义域典例 2 『规律总结』 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为分母不能为零，0的零次幂与负指数次幂无意义，偶次方根被开方式(数)非负，求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性． 命题方向3 ?求反函数典例 3 『规律总结』 要寻求函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来写成y＝g(x)的形式，如果这种表达式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x)．求对数型函数的值域或最值 典例 4 [思路分析] 第(1)问先求内层函数值域，再由对数函数单调性求值域；第(2)问先由对数运算法则将解析式变形成同底对数形式，再求解．
[规范解答] (1)①令u＝2x－1，∵2≤x≤14，
∴3≤2x－1≤27，即u∈[3,27]．又函数y＝log3u在区间[3,27]上是增加的，
∴log33≤log3u≤log327，即1≤y≤3.
∴函数y＝log3(2x－1)的值域为[1,3]．
②令u＝x2＋4.
∵x2＋4≥4，∴y＝log2(x2＋4)的定义域为R，
又∵y＝log2u在[4，＋∞)上为单调增函数，
∴y≥log24＝2，∴函数y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．『规律总结』 解决复合函数的值域或最值问题，必须坚持“定义域优先”的原则．解决由对数函数所组成的复合函数的最值问题，利用换元法来求解，但要注意中间变量的取值范围并利用函数单调性解题． 已知f(x)＝4x(x>0)，求函数f－1(x)的定义域和值域．典例 5 『规律总结』 由原函数与反函数的关系知，f(x)与f－1(x)的定义域、值域互换．B C 3．对数函数的图像过点P(9,2)，则此对数函数的解析式为________.
[解析] 设对数函数为y＝logax，
∴2＝loga9，
∴a＝3，∴解析式为y＝log3x.y＝log3x y＝－logπx(x>0) 课时作业学案第三章 3.5 第2课时
A级 基础巩固
1．如果xA．yC．1[解析] 因为y＝x为(0，＋∞)上的减函数，所以x>y>1.
2．已知y＝4x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝，则x0的值为( C )
A．－2 B．－1
C．2 D．
[解析] ∵y＝4x的反函数f(x)＝log4x，
又f(x0)＝，∴log4x0＝.
∴x0＝2.
3．(2019·天津文，5)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为( A )
A．cC．b[解析] a＝log27>log24＝2，log38log33＝1，∴1c＝0.30.2<0.30＝1，∴c4．设a＝log2π，b＝π，c＝π－2，则( C )
A．a>b>c B．b>a>c
C．a>c>b D．c>b>a
[解析] ∵a＝log2π>1，b＝π<0，c＝π－2＝∈(0,1)，∴a>c>b.
5．(2019·浙江高考，6)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)，(a>0且a≠0)的图像可能是( D )
[解析] 令x＋＝1，得x＝，
∴函数y＝loga(x＋)的图像过点(，0)，排除A、C；又函数y＝与y＝loga(x＋)的单调性相反，排除B，故选D．
6．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( D )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
[解析] 由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.
令g(x)＝x2－2x－8，函数g(x)在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
7．函数y＝ (1－2x)的单调递增区间为(－∞，).
[解析] 令u＝1－2x，函数u＝1－2x在区间(－∞，)内递减，而y＝u是减函数，
故函数y＝ (1－2x)在(－∞，)内递增．
8．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝1.
[解析] 由题知y＝ln(x＋)是奇函数，
所以ln(x＋)＋ln(－x＋)
＝ln(a＋x2－x2)＝ln a＝0，解得a＝1.
9．已知f(x)＝ln.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求使f(x)>0的x的取值范围．
[解析] (1)要使函数有意义，应满足>0，
∴(x－1)(x＋1)<0，
∴－1(2)要使f(x)＝ln>0，
则有>1，∴－1>0，
∴>0，∴x(x－1)<0，∴0∴使f(x)>0的x的取值范围为(0,1)．
10．(1)已知loga>1，求a的取值范围；
(2)已知log0.72x[解析] (1)由loga>1得loga>logaa.
①当a>1时，有a<，此时无解．
②当0∴a的取值范围是(，1)．
(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上是减少的，
∴由log0.72x1.
即x的取值范围是(1，＋∞)．
B级 素养提升
1．(2019·天津理，6)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( A )
A．aC．b[解析] a＝log52b＝log0.50.2>log0.50.5＝1,0.51<0.50.2<0.50，
∴<0.50.2<1，∴2．(2019·全国卷Ⅲ理，11)设f(x)为定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( C )
A．f(log3)>f(2)>f(2)
B．f(log3)>f(2)>f(2)
C．f(2－)>f(2)>f(log3)
D．f(2－)>f(2)>f(log3)
[解析] ∵f(x)的定义域为R的偶函数，∴f(log3)＝f(－log34)＝f(log34)．
又log34>log33＝1,0<2<1,0<2<1，且2>2－，
∴log34>2>2>0，
又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(log34)∴f(2－)>f(2)>f(log3)，故选C．
3．已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意x∈[3，＋∞)都有|f(x)|≥1成立，则a的取值范围是[，1)∪(1,3].
[解析] 由题意知，在区间[3，＋∞)上，当a>1时，
因为|f(x)|≥1，∴f(x)≥1，∴loga3≥1.
所以1因为|f(x)|≥1，∴f(x)≤－1，∴loga3≤－1.
所以≤a<1.
综上，可得a的取值范围是[，1)∪(1,3]．
4．已知函数f(x)＝logax(0①若x>1，则f(x)<0；
②若00；
③若f(x1)>f(x2)，则x1>x2；
④f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)．
其中正确的序号是①②④.(写出所有叙述正确的序号)
[解析] f(x)＝logax(05．比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
[解析] (1) 因为函数y＝lnx是增函数，且0.3<2，
所以ln0.3(2)当a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1<5.2，
所以loga3.1当0又3.1<5.2，
所以loga3.1>loga5.2.
(3)解法1：因为0>log0.23>log0.24，所以<，即log30.2解法2：如图所示
由图可知log40.2>log30.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π>3，
所以log3π>log33＝1.
同理，1＝logππ>logπ3，所以log3π>logπ3.
6．(2019·河北沧州市高一期中测试)已知x满足(x)2－x－6≤0，求f(x)＝(1＋log2x)log2的最大值与最小值及相应x的值．
[解析] 由(x)2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
∴≤x≤4.
f(x)＝(1＋log2x)(log2x－2)，
令t＝log2x∈[－3,2]，
∴y＝(t＋1)(t－2)＝t2－t－2＝(t－)2－，
∴当 t＝，即log2x＝，x＝时，函数取最小值－；当t＝－3，即log2x＝－3，x＝时，函数的最大值(－3－)2－＝10.
C级 能力拔高
已知f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)(其中a>0且a≠1)．
(1)求f(x)＋g(x)的定义域；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性并说明理由；
(3)求使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合．
[解析] (1)f(x)＋g(x)的定义域需满足，
∴－1(2)f(x)＋g(x)为偶函数
设F(x)＝f(x)＋g(x)，则
F(－x)＝loga(－x＋1)＋loga(1＋x)＝F(x)，
又因为F(x)的定义域为(－1,1)关于原点对称，
所以f(x)＋g(x)为偶函数．
(3)由f(x)＋g(x)<0得loga(x＋1)＋loga(1－x)<0，
∴，
当a>1时，
得x∈(－1,0)∪(0,1)；
当0综上所述当a>1时，使f(x)＋g(x)<0成立的x的集合为(－1,0)∪(0,1)；当0课件43张PPT。第三章指数函数和对数函数§5 对数函数
第2课时 对数函数的图像和性质自主预习学案一个驾驶员喝了酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒之后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少．为了保证交通安全，某地交通规则规定：驾驶员血液中的酒精含量应不大于0.08mg/mL，问若喝了少量酒的驾驶员至少过多少时间才能驾驶？ 1．对数函数的图像与性质(0，＋∞) R 增函数 减函数 (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] 反函数 y＝x B D 4．若a＝log0.20.3，b＝log26，c＝log0.24，则a，b，c的大小关系为________.
[解析] 因为f(x)＝log0.2x为减函数，且0.2<0.3<1<4.
则log0.20.2>log0.20.3>log0.21>log0.24，
即1>a>0>c.
同理log26>log22＝1，可知结果．b>a>c 互动探究学案命题方向1 ?对数函数的图像典例 1 A C 『规律总结』 1.函数y＝logax(a>0，且a≠1)的底数a的变化对图像位置的影响如下，如图所示：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，底数大于1时，底数越大，图像越靠近x轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图像越靠近x轴．
(2)左右比较(比较图像与y＝1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．2．函数y＝f(x)的图像同y＝f(x±a)±b的关系(其中a，b>0)．
〔跟踪练习1〕
作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图像．命题方向2 ?利用对数函数单调性比较大小典例 2 『规律总结』 比较两个对数值的大小，常用的三种方法：
命题方向3 ?对数函数奇偶性的判定典例 3 [思路分析] 从奇偶函数的定义出发给予判别．『规律总结』 判断函数的奇偶性关键是：①求定义域，定义域必须关于原点对称；②变形过程中，要注意分子、分母有理化，或计算f(－x)±f(x)＝0.〔跟踪练习3〕
函数f(x)＝lg|x|为( )
A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减少的
B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增加的
C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的
D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减少的
[解析] 已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．
当x>0时，|x|＝x，即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增加的．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减少的．故选D．D对数型函数的单调区间和单调性 求函数f(x)＝log0.4(8－2x－x2)的单调区间．典例 4 『规律总结』
1．求复合函数单调区间应按下列步骤完成：
(1)求出函数的定义域；
(2)将复合函数分解为基本初等函数；
(3)分别确定各个基本初等函数的单调性；
(4)根据复合函数原理求出复合函数的单调区间．
2．求单调区间要注意定义域．〔跟踪练习4〕
将本例中的函数改为y＝log4(8－2x－x2)又如何求解？
[解析] 由8－2x－x2>0得函数f(x)的定义域是(－4,2)，令u＝8－2x－x2＝－(x＋1)2＋9，
可知当x∈(－4，－1]时，u是增加的，x∈[－1,2)时，u是减少的，
∵f(x)＝log4u在u>0上是增加的，
∴函数f(x)＝log4(8－2x－x2)的单调区间是(－4，－1]，[－1,2)，
且在(－4，－1]上是增加的，在[－1,2)上是减少的． 求函数y＝loga(x2－1)(a>0，a≠1)的单调区间．
[错解] 令u＝x2－1，则y＝logau，
∵u＝x2－1是二次函数，且对称轴为x＝0，
∴当x∈(－∞，0]时，u＝x2－1递减；
当x∈(0，＋∞)时，u＝x2－1递增．
又当a>1时，函数y＝logau递增；当0∴当a>1时，函数y＝loga(x2－1)在(－∞，0]上递减，在(0，＋∞)上递增；
当0[正解] 由x2－1>0，可得x>1或x<－1，
令u＝x2－1.
当x∈(－∞，－1)时，u＝x2－1随着x的增大而减小；
当x∈(1，＋∞)时，u＝x2－1随着x的增大而增大．
∴当a>1时，函数y＝loga(x2－1)在(－∞，－1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的；
当0D 2．(2019·全国卷Ⅰ理，3)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c[解析] a＝log20.220＝1，c＝0.20.3<0.20＝1，又0.20.3>0，∴0[解析] 因为当x＝1时，2－x＝1，则不论a为何值，只要a>0，且a≠1，都有y＝1－loga1＝1－0＝1.
所以函数图像恒过定点(1,1)．
4．(2018·全国卷Ⅰ文，13)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________.
[解析] ∵f(x)＝log2(x2＋a)，
∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7.(1,1) －7 课时作业学案