数学高中人教版A必修5学案：第二章数列复习（2）Word版含解析

第二章　数列
本章复习
本章复习(第2课时)
/
合作学习
一、通过提高型题组来进一步提高学生解决数列综合问题的能力
提高型题组
1.数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变负,回答下列问题:
(1)求此等差数列的公差d;
(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;
(3)当Sn是正数时,求n的最大值.
2.设数列{an}的前n项和为Sn.已知首项a1=3,且Sn+1+Sn=2an+1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn.
3.已知数列{an}的前n项和Sn=
1
3
n(n+1)(n+2),试求数列
1
??
??
的前n项和.
二、通过反馈型题组让学生自主训练,进一步掌握所学知识,形成能力
反馈型题组
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=1,a3=3,则S4等于(　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
2.设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+x3+…+x10=10,则x11+x12+x13+…+x20的值为(　　)
A.10×211 B.10×210
C.11×211 D.11×210
3.已知{an}为等比数列,Sn是其前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为
5
4
,则S5等于(　　)
A.35 B.33 C.31 D.29
4.设{an}是任意等比数列,它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是(　　)
A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X)
C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X)
5.已知数列{an}是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且有S9A.S9C.S7与S8均为Sn的最大值 D.a8=0
6.将正偶数分为数组:(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),…,则第n组各数的和是　　　　　　.(用含n的式子表示)?
7.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2009=　　　　;a2014=　　　　.?
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为　　　　.?
9.数列{an}的通项an=(n+1)
10
11
??
(n∈N*).试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.
10.已知数列{an}中,前n项和为Sn,a1=5,且Sn+1=Sn+2an+2n+2(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(2)设bn=
??
??
+λ
2
??
,若实数λ使得数列{bn}为等差数列,求λ的值;
(3)在(2)的条件下,设数列
1
??
??
??
??+1
的前n项和为Tn,求证:Tn<
1
5
.
三、反思小结,观点提炼
通过本节课的学习,进一步熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式,掌握其重要性质,并能应用定义、公式的基本方法解决简单的等差数列、等比数列的综合问题.
参考答案/
提高型题组
解:(1)由a6=23+5d>0和a7=23+6d<0,且公差为整数,得公差d=-4.
(2)由a6>0,a7<0,得S6最大,S6=6a1+
6×5
2
d=6×23+15×(-4)=78.
(3)由a1=23,d=-4,则Sn=
1
2
n(50-4n),
设Sn>0,得n<12.5.故整数n的最大值为12.
2.解:∵a1=3,∴S1=a1=3.
在Sn+1+Sn=2an+1中,设n=1,有S2+S1=2a2.而S2=a1+a2.即a1+a2+a1=2a2.
∴a2=6.
由Sn+1+Sn=2an+1,　①
n≥2时,Sn+Sn-1=2an,　②
①-②,得Sn+1-Sn-1=2an+1-2an,∴an+1+an=2an+1-2an,
即an+1=3an.
此数列从第2项起成等比数列,公比q=3.故n≥2时,an=6×3n-2=2×3n-1.当n=1时,不满足上式.故{an}的通项公式为an=
3(??=1),
2×
3
??-1
(n≥2).
此数列的前n项和为Sn=3+2×3+2×32+…+2×3n-1=3+
2×3(
3
??-1
-1)
3-1
=3n.
3.解:n≥2时,an=Sn-Sn-1=
1
3
n(n+1)(n+2)-
1
3
(n-1)n(n+1)=n(n+1).
当n=1时,a1=S1=
1
3
×1×(1+1)×(1+2)=2,∴n=1时满足上式.
则{an}的通项公式为an=n(n+1).∴
1
??
1
+
1
??
2
+…+
1
??
??
=
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
??(??+1)
=
1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
??
-
1
??+1
=1-
1
??+1
=
??
??+1
.
反馈型题组
1.C　提示:S4=
4(
??
1
+
??
4
)
2
=
4(
??
2
+
??
3
)
2
=2×(1+3)=8.
2.B　提示:∵log2xn+1-log2xn=1,
∴log2
??
??+1
??
??
=1,∴
??
??+1
??
??
=2.
∴{xn}为等比数列,其公比q=2,
又∵x1+x2+…+x10=10,
∴x11+x12+…+x20=q10(x1+x2+…+x10)=210×10.
3.C　提示:由a2·a3=2a1,又∵a2·a3=a1·a4,故a1·a4=2a1,∴a4=2.
又由a4+2a7=2×
5
4
,得a7=
1
4
.
∴q3=
??
7
??
4
=
1
4
2
=
1
8
,∴q=
1
2
,a1=
??
4
??
3
=
2
1
8
=16,S5=
16
1-
1
2
5
1-
1
2
=31.
4.D　提示:设等比数列{an}的公比为q(q≠0),由题意得,
X=a1+a2+…+an,
Y=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n,
Z=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a2n+a2n+1+a2n+2+…+a3n,
∴
??-??
??
=qn,
??-??
??
=qn,所以Y(Y-X)=X(Z-X),故D项正确.
5.A　提示:由题意知d<0,且a8=0,所以a106.n3+n　提示:前n-1组共有偶数的个数为1+2+3+…+(n-1)=
??(??-1)
2
.
故第n组共有n个偶数,且第一个偶数是正偶数数列{2n}的第
??(??-1)
2
+1项,即2×
??(??-1)
2
+1
=n2-n+2,
所以第n组各数的和为n(n2-n+2)+
??(??-1)
2
×2=n3+n.
7.1　0　提示:依题意,得a2009=a4×503-3=1,a2014=a2×1007=a1007=a4×252-1=0.
8.4　提示:∵a4=15,S5=55,
∴55=
5(
??
1
+
??
5
)
2
=5a3,∴a3=11.
∴公差d=a4-a3=15-11=4.
a10=a4+6d=15+24=39.
∴P,Q两点的坐标分别为P(3,11),Q(10,39).
kPQ=
39-11
10-3
=4.
9.解:方法一:∵an+1-an=(n+2)
10
11
??+1
-(n+1)
10
11
??
=
10
11
??
·
9-??
11
,
∴当n<9时,an+1-an>0,∴an+1>an.
当n=9时,an+1-an=0,∴an+1=an.
当n>9时,an+1-an<0,∴an+1故a1a11>a12>…,
∴数列{an}中最大项为a9或a10,其值为10×
10
11
9
,其项数为9或10.
方法二:∵an=(n+1)
10
11
??
(n∈N*),
∴
??
??
≥
??
??+1
,
??
??
≥
??
??-1
.
即
(??+1)
10
11
??
≥(n+2)
10
11
??+1
,
(??+1)
10
11
??
≥n·
10
11
??-1
,
解得
??≥9,
??≤10.
∵n∈N*,∴n=9或n=10.
∴数列{an}中最大项为a9或a10,其值为10×
10
11
9
,其项数为9或10.
10.(1)解:由Sn+1=Sn+2an+2n+2(n∈N*)得,
Sn+1-Sn=2an+2n+2,即an+1=2an+2n+2(n∈N*),
∵a1=5,
∴a2=2a1+21+2=10+8=18,
a3=2a2+22+2=36+16=52.
(2)解:由条件得b1=
??
1
+λ
2
=
5+??
2
,
b2=
??
2
+λ
2
2
=
18+??
4
,
b3=
??
3
+λ
2
3
=
52+??
8
.
∵{bn}为等差数列,
∴2b2=b1+b3,
即2×
18+??
4
=
5+??
2
+
52+??
8
,
解得λ=0.
∴bn=
??
??
2
??
,且b1=
5
2
,b2=
9
2
,
∴b2-b1=2,
即数列{bn}是首项为b1=
5
2
,公差为d=2的等差数列.
(3)证明:由(2)得,bn=
5
2
+(n-1)×2=
4??+1
2
(n∈N*),
∴
1
??
??
??
??+1
=
4
(4??+1)(4??+5)
=
1
4??+1
?
1
4??+5
,
∴Tn=
1
??
1
??
2
+
1
??
2
??
3
+…+
1
??
??
??
??+1
=
1
5
-
1
9
+
1
9
-
1
13
+…+
1
4??+1
-
1
4??+5
=
1
5
?
1
4??+5
<
1
5
,
∴Tn<
1
5
.