数学高中人教版A必修5学案：3.3.2简单的线性规划问题（第1课时）Word版含解析

第三章　不等式
3.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3.3.2　简单的线性规划问题
3.3.2　简单的线性规划问题(第1课时)
学习目标
1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念.
3.了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题情境:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.
例如,某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,两种产品所需配件、耗时、利润如下表:
产品
所需配件及数量
耗时(小时/件)
利润(万元/件)
甲产品
A配件4个
1
2
乙产品
B配件4个
2
3
该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,怎样安排生产才能使利润最大?
问题1:利润由哪些量来决定?有哪些数量关系?
根据这些数量关系,可以设出几个未知数?
请你用这些未知数,表达出问题中的数量关系.
问题2:有了上面的分析过程,这个实际问题可以转化为怎样的数学问题?
问题3:我们前面碰到过求最值的问题吗?一般方法有哪些?这个问题能转化为前面所学的函数问题吗?那么,怎样获取符合条件的x,y的值呢?
二、信息交流,揭示规律
问题4:若把不等式组改变为x+2y≤8,x≤4,y≤3,x≥0,y≥0.求z=2x+3y的最大值,这种方法还可以用吗?那样如何求解呢?
问题5:大家在刚才的代入法求解中,有没有发现点A(0,3),B(3,1)使得z=2x+3y都为9,也就是使2x+3y=9成立,你能用所学的知识解释这一现象吗?那么在平面区域内还有这样的点吗?点(4,1)会对应着类似的直线吗?
问题6:如何从几何角度认识z=2x+3y?它对应的图形是什么?有什么条件约束这组平行直线?那么,怎样求z的最大值呢?请大家自己探究一下.
三、运用规律,解决问题
【例题】设z=2x+y,式中变量x,y满足条件x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,求z的最大值和最小值.
问题7:请大家反思一下,解答线性规划问题的一般步骤是什么.
四、变式训练,深化提高
变式训练1:设z=6x+10y,式中x,y满足条件x-4y≤-3,3x+5y≤25,x≥1,求z的最大值和最小值.
变式训练2:请大家在上面的线性约束条件下,探究目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的哪个点?
问题8:目标函数z=ax+by中,z与纵截距的关系主要由哪个字母决定?
问题9:刚才有的同学得出目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行域中的点C和点B,这是什么原因造成的呢?
五、反思小结,观点提炼
问题10:目标函数z=ax+by中有几个自变量?我们这节课学习的线性规划问题,体现了什么数学思想?那么我们在四个步骤中应该注意什么问题?
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题情境:
问题1:生产的甲、乙产品的数量.
等量关系:使用的A配件数量=甲产品数量×4;
使用的B配件数量=乙产品数量×4;
利润=2×甲产品数量+3×乙产品数量.
不等关系:生产甲产品总耗时+生产乙产品总耗时≤8;
使用的A配件数量≤16;
使用的B配件数量≤12;
甲、乙产品的数量都是自然数.
甲产品数量x、乙产品数量y、利润z.
x+2y≤8,4x≤16,4y≤12,x,y∈N.即x+2y≤8,x≤4,y≤3,x,y∈N.
问题2:已知实数x,y满足x+2y≤8,x≤4,y≤3,x,y∈N.求z=2x+3y的最大值.
问题3:碰到过;用函数求最值、几何法求最值;不能,因为没有关于x,y的等式,不能消元;可以画出不等式组表示的平面区域,然后从中把符合条件的有限个点的坐标求出,代入z=2x+3y,通过比较求得最大值.
二、信息交流,揭示规律
学生探究1:画出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.
可以求得平面区域内满足x,y∈N的点有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2).
将坐标代入,比较知道,当x=4,y=2时,z最大为14.
问题4:不能,点有无数个,不可能一一验证.
问题5:2x+3y=9表示一条直线,而点A(0,3),B(3,1)都在直线2x+3y=9上,所以都能使得2x+3y=9成立;有,如图所示的平面区域内位于线段AC上的所有的点,都使2x+3y=9,即z的值等于9;对应着直线2x+3y=11.
问题6:当z变化时,它表示一族平行直线.将z=2x+3y化为斜截式为y=-23x+z3,所以直线的斜率确定;而且这组直线必须和平面区域有公共点.因为当纵截距z3最大时,z就最大.所以,只需作出平行直线后,找到与y轴的交点最靠上的那条直线所经过的一个点就可以求z的最大值了.
学生动手操作后,得出结论:当直线平移经过点P时,位置最靠上,也就是纵截距最大,从而z最大.把点P(4,2)代入z=2x+3y后,得到zmax=14.
三、运用规律,解决问题
【例题】解:由题意,变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.
由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当x=0,y=0时,z=2x+y=0,即点(0,0)在直线l0:2x+y=0上,作一组平行于l0的直线l:2x+y=t,t∈R,
可知:当l在l0的右上方时,直线l上的点(x,y)满足2x+y>0,
即t>0,而且,直线l往右平移时,t随之增大.
由图象可知,当直线l经过点A(5,2)时,对应的t最大,
当直线l经过点B(1,1)时,对应的t最小,
所以,zmax=2×5+2=12,zmin=2×1+1=3.
问题7:一画(可行域);二移(直线);三求(最优解);四答(最大值).
四、变式训练,深化提高
变式训练1:解:由引例可知:直线l0与AC所在直线平行,则由引例的解题过程知,当l与AC所在直线3x+5y-25=0重合时z最大,此时满足条件的最优解有无数多个,当l经过点B(1,1)时,对应z最小,
将AC所在直线上任意一点,如A(5,2),代入z=6x+10y,得zmax=6×5+2×10=50,zmin=6×1+10×1=16.
变式训练2:分别对应可行域中的点C和点A.
问题8: b的符号,当b>0时,直线l在最上(下)面时z最大(小);当b<0时,直线l在最上(下)面时z最小(大).
问题9:目标函数对应直线的斜率13比可行域中直线x-4y+4=0的斜率14大,但是在平移直线时,所作直线没有与直线x-4y=0保持平行而是发生偏斜,使平行后所得到的直线斜率小于14.
五、反思小结,观点提炼
问题10:两个;数形结合;一画要准;二移直线斜率要相对准确;三求最优解位置要准确.