数学高中人教版A必修5学案：3.1不等关系与不等式（第2课时）Word版含解析

第三章　不等式
3.1　不等关系与不等式
3.1　不等关系与不等式(第2课时)
/
学习目标
1.掌握常用不等式的基本性质.
2.会将一些基本性质结合起来应用.
3.学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.
问题2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.
二、信息交流,揭示规律
问题3:上面得到的结论是否正确,需要我们给出证明.需要证明的不等式,是描述两个数之间的大小关系,可以用什么方法比较呢?其原理是什么呢?
问题4:请大家用作差法证明性质(4).
问题5:利用上面的性质,证明不等式的下列性质:
性质5　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;
性质6　如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
性质7　如果a>b>0,那么an>bn(n∈N,n≥1);
性质8　如果a>b>0,那么
??
??
>
??
??
(n∈N,n≥2).
三、运用规律,解决问题
【例题】已知a>b>0,c<0,求证
??
??
>
??
??
.
问题6:观察条件和结论中的不等式有什么差异?用不等式的哪些性质可以将条件向结论转化?
问题7:请大家思考还有其他证明方法吗?请大家尝试一下.
问题8:用作差法比较两个数的大小,一般经历哪几个步骤?
四、变式训练,深化提高
变式训练1:下列结论的正误,正确的打“√”,错误的打“×”.
①若b1
??
<
1
??
.(　　)
②若a>b,则
1
??
<
1
??
. (　　)
③若
1
??
<
1
??
,则a>b. (　　)
④若a+c>b+d,则a>b,c>d.(　　)
⑤若a2>b2>0,则a>b>0. (　　)
⑥若
??
>
??
,则a>b. (　　)
变式训练2:设x变式训练3:设α∈
0,
π
2
,β∈
0,
π
2
,那么2α-
??
3
的取值范围是(　　)
A.
0,
5π
6
B.
-
π
6
,
5π
6
C.(0,π) D.
-
π
6
,π
五、反思小结,观点提炼
参考答案/
一、设计问题,创设情境
问题1:①对称性:a=b?b=a;②传递性a=b,b=c?a=c;③加法法则:a=b?a±c=b±c;④乘法法则:a=b,c≠0?ac=bc.
问题2:(1)如果a>b,那么bb.即a>b?b(2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c?a>c.
(3)如果a>b,那么a+c>b+c.
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac二、信息交流,揭示规律
问题3:可以用作差法比较.
a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a问题4:证明:因为a>b,c>0,
所以ac-bc=c(a-b)>0,
所以ac>bc.
同理可证如果a>b,c<0,那么ac问题5:证明:(5)因为a>b,
所以a+c>b+c.　①
因为c>d,
所以b+c>b+d. 　②
由①②得,a+c>b+d.
(6)
??>??,??>0?????>????
??>??,??>0?????>????
?ac>bd;
(7)因为a>b>0,由性质(6)可得an>bn,(n∈N,n≥1);
(8)(反证法)假设
??
??
≤
??
??
,
若
??
??
<
??
??
?a??
??
=
??
??
?a=b,
这都与a>b矛盾,
所以
??
??
>
??
??
.
三、运用规律,解决问题
【例题】证明:因为a>b>0,所以ab>0,
1
????
>0.
于是a×
1
????
>b×
1
????
,即
1
??
<
1
??
.
由c<0,得
??
??
>
??
??
.
问题6:结论中的a,b在分母上,且结论中a,b,c在同一个不等式中;性质(4).
问题7:有,用作差法.
证明:因为
??
??
?
??
??
=
????-????
????
=
??(??-??)
????
,
又因为a>b>0,所以b-a<0,ab>0.
又c<0,所以
??(??-??)
????
>0,所以
??
??
>
??
??
.
问题8:作差—变形—定号—结论,四个步骤.
四、变式训练,深化提高
变式训练1:答案:√、×、×、×、×、√
变式训练2:解:方法一:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y),
∵x0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0,
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
方法二:∵xy2,x+y<0.
∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,
∴0<
(
??
2
+
??
2
)(x-y)
(
??
2
-
??
2
)(x+y)
=
??
2
+
??
2
??
2
+
??
2
+2xy
<1,
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
变式训练3:解析:由题设得0<2α<π,0≤
??
3
≤
π
6
,
-
π
6
≤-
??
3
≤0,所以-
π
6
<2α-
??
3
<π.
答案:D
五、反思小结,观点提炼
略