数学高中人教版A必修5学案：2.3等差数列的前n项和（第2课时）Word版含解析

第二章　数列
2.3　等差数列的前n项和
2.3　等差数列的前n项和(第2课时)
/
学习目标
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题,提高应用意识.
合作学习
一、设计问题,创设情境
复习引入
1.通项公式:?
2.求和公式:?
3.两个公式中含有五个量,分别是　　　　,把公式看成方程,能解决几个量??
4.Sn是关于n的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值?
5.Sn与an的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an,如何求数列{an}的通项公式?
二、信息交流,揭示规律
6.两个公式中含有五个量,分别是Sn,an,n,d,a1,两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二”.
an=a1+(n-1)d,
Sn=
??(
??
1
+
??
??
)
2
=na1+
??(??-1)
2
d.
7.Sn是关于n的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注意自变量n是正整数;还可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和Sn的最值,方法更具有一般性.
Sn=　　　　　　　　,　　　　　　　有最大值;　　　　　　　有最小值.?
8.Sn与an的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an如何求数列{an}的通项公式?
Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2)
只要两式相减就会得到an=Sn-Sn-1(n≥2),只不过这个表达式中不含有a1,需要单独考虑a1是否符合an=Sn-Sn-1.
类似于分段函数.
an=　　　　　　　,最后验证是否可以用一个式子来表示.?
三、运用规律,解决问题
9.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式吗?
10.已知等差数列5,4
2
7
,3
4
7
,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.
11.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+
1
2
n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差数列?
四、变式训练,深化提高
12.已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.
(1)求{an}的通项公式an;
(2)求{an}前n项和Sn的最大值.
13.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+
1
2
n+1,求这个数列的通项公式,这个数列是不是等差数列?
五、反思小结,观点提炼
参考答案/
一、设计问题,创设情境
1.an=a1+(n-1)d
2.Sn=
??(
??
1
+
??
??
)
2
=na1+
??(??-1)
2
d
3.Sn,an,n,d,a1
二、信息交流,揭示规律
7.
??
2
n2+
??
1
-
??
2
n=
??
2
??+
1
??
??
1
-
??
2
2
?
1
2??
??
1
-
??
2
2
??
??
≥0,
??
??+1
≤0
　
??
??
≤0,
??
??+1
≥0
8.an=
??
1
(n=1),
??
??
-
??
??-1
(n≥2)
三、运用规律,解决问题
9.分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个关于a1与d的二元一次方程,然后确定a1与d,从而得到所求前n项和的公式.
解:由题意知S10=310,S20=1220,
将它们代入公式Sn=na1+
??(??-1)
2
d,得到
10
??
1
+45d=310,
20
??
1
+190d=1220.
解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6,
所以Sn=4n+
??(??-1)
2
×6=3n2+n
这就是说,已知S10与S20可以确定这个数列的前n项和的公式,
这个公式是Sn=3n2+n.
10.解:方法一:令公差为d,则
d=a2-a1=a3-a2=3
4
7
-4
2
7
=-
5
7
,
所以Sn=
??
2
2×5+(??-1)
-
5
7
=
75??-5
??
2
14
=-
5
14
??-
15
2
2
+
1125
56
.
又n∈N*,所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值.
方法二:d=a2-a1=a3-a2=3
4
7
-4
2
7
=-
5
7
,
其通项公式为an=5+(n-1)×
-
5
7
=-
5
7
n+
40
7
.
因为a1=5>0,d=-
5
7
<0,所以数列{an}的前n项和有最大值.
即有
??
??
=-
5
7
n+
40
7
≥0,
??
??+1
=-
5
7
(n+1)+
40
7
≤0,
解得
??≤8,
??≥7,
即7≤n≤8,又n∈N*,
所以当n=7或者n=8时,Sn取最大值.
11.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=
3
2
,当n≥2时,Sn=n2+
1
2
n,　①
Sn-1=(n-1)2+
1
2
(n-1),　②
由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-
1
2
,
又当n=1时,2×1-
1
2
=
3
2
=a1,所以当n=1时,a1也满足an=2n-
1
2
,
则数列{an}的通项公式为an=2n-
1
2
(n≥1,n∈N).
这个数列是等差数列,an-an-1=
2??-
1
2
?
2(??-1)-
1
2
=2(这是一个与n无关的常数).
四、变式训练,深化提高
12.解:(1)设{an}的公差为d,由已知条件,
??
1
+d=1,
??
1
+4d=-5,
解出a1=3,d=-2,
所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.
(2)Sn=na1+
??(??-1)
2
d=-n2+4n=4-(n-2)2,
所以当n=2时,Sn取到最大值4.
13.解:由题意知,当n=1时,a1=S1=
5
2
,
当n≥2时,Sn=n2+
1
2
n+1,　①　Sn-1=(n-1)2+
1
2
(n-1)+1,　②
由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-
1
2
,
又当n=1时,2×1-
1
2
=
3
2
≠a1,所以当n=1时,a1不满足an=2n-
1
2
,
则数列{an}的通项公式为an=
5
2
(n=1),
2??-
1
2
(n≥2).
这个数列不是等差数列,a2-a1≠a3-a2=a4-a3=…=2.
五、反思小结,观点提炼
略