数学高中人教版A必修5学案：2.2等差数列（第1课时）Word版含解析

第二章　数列
2.2　等差数列
2.2　等差数列(第1课时)
学习目标
掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征;能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题.让学生亲身经历“从特殊入手,研究对象的性质,再逐步扩大到一般”这一研究过程,培养他们观察、分析、归纳、推理的能力.通过对等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真分析、及时总结的好习惯.
合作学习
一、设计问题,创设情境
1.通常情况下,从地面到11km的高空,气温随高度的变化而变化符合一定的规律,请你根据下表估计一下7km高空的温度.
距地面的高度(km)
1
2
3
4
5
6
7
温度(℃)
38
32
26
20
14
8
思考:依据前面的规律,填写2,3题:
2.1,4,7,10,(　　),16,…
3.2,0,-2,-4,-6,(　　),…
它们共同的规律是什么?从第2项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,我们把有这一特点的数列叫做等差数列.
二、信息交流,揭示规律
4.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,　　　　　　　,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.?
思考:(1)定义中的关键词有哪些?
(2)公差d是哪两个数的差?
5.等差数列定义的数学表达式:　　　　　　　?
试一试:它们是等差数列吗?
(1)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,…;
(2)5,5,5,5,5,5,…;
(3)-1,-3,-5,-7,-9,…;
(4)数列{an},an+1-an=3.
6.等差数列的通项公式
探究1:等差数列的通项公式(求法一:不完全归纳法)
如果等差数列{an}的首项是a1,公差是d,那么这个等差数列中的a2,a3,a4如何表示?an呢?
根据等差数列的定义可得:
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,….
所以a2=a1+d,
a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,
…
由此得an=　　　　　　　　　.?
因此等差数列的通项公式就是:an=a1+(n-1)d,n∈N*.
探究2:等差数列的通项公式(求法二:叠加法)
根据等差数列的定义可得:
a2-a1=da3-a2=d…an-1-an-2=dan-an-1=d
将以上n-1个式子相加所得到的等差数列的通项公式为
an=a1+(n-1)d,n∈N*.
三、运用规律,解决问题
7.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.
(2)等差数列-5,-9,-13,…的第几项是-401?
8.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km(不含4km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路通畅,等候时间为0,则需要支付多少车费?
9.在等差数列中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
四、变式训练,深化提高
10.已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,求公差d.
11.在等差数列{an}中,a1=13,a3=12,若an=2,求n.
12.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,求数列{an}的公差.
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
1.2
2.13
3.-8
二、信息交流,揭示规律
4.每一项与它的前一项的差等于同一个常数　思考(答案略)
5.an-an-1=d(d是与n无关的常数,n∈N*)
试一试:(2)(3)(4)是,(1)不是.
6.a1+(n-1)d
三、运用规律,解决问题
7.(1)解:因为a1=8,a2=5,所以d=a2-a1=-3,n=20.
于是a20=a1+(n-1)d=8+(20-1)×(-3)=-49.
(2)解:因为a1=-5,a2=-9,所以d=a2-a1=-4,于是-401=-5+(n-1)×(-4)
解得n=100,所以-401是该数列的第100项.
8.解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2元.所以,可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1=11.2,表示4km处的车费,公差d=1.2.那么,当出租车行至14km处时,
n=11,此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
答:需要支付车费23.2元.
9.解:由an=a1+(n-1)d,得a1+4d=10,a1+11d=31,解得a1=-2,d=3.
四、变式训练,深化提高
10.解:等差数列{an}中,由等差数列的通项公式,可得
a3=a1+2d,a9=a1+8d.
解得,d=-1.
即等差数列的公差d=-1.
11.分析:根据a1=13,a3=12,利用等差数列的通项公式求得d的值,然后根据首项和公差写出数列的通项公式,让其等于2得到关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.
解:由题意得a3=a1+2d=12,把a1=13代入求得d=-12,
则an=13+(n-1)-12=-12n+272,由an=2,得-12n+272=2,解得n=23.
12.分析:设数列{an}的公差为d,则由题意可得2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得d的值.
解:设数列{an}的公差为d,则由a1+a5=10,a4=7,可得2a1+4d=10,a1+3d=7,解得d=2.