数学高中人教A版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换（第二课时）Word版含解析

第三章　三角恒等变换
3.2　简单的三角恒等变换
(第二课时)
/
学习目标
进一步掌握三角恒等变换的方法,如何利用正弦、余弦、正切的和差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
1.两角和与差公式
cos(α-β)=　　　　　?
cos(α+β)=　　　　　?
sin(α-β)=　　　　　?
sin(α+β)=　　　　　?
tan(α+β)=　　　　　?
tan(α-β)=　　　　　?
2.二倍角公式
sin 2α=　　　　　?
cos 2α=　　　　　?
=　　　　　?
=　　　　　?
tan 2α=　　　　　?
3.两角和与差公式、二倍角公式的逆用
(1)降幂公式
2cos 2α=　　　　　?
2sin 2α=　　　　　?
(2)辅助角公式
asin x+bcos x=　　　　　?
注:　　　　　?
二、典例分析,性质应用
【例1】如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为
π
3
的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.
/
【例2】利用三角公式化简sin 50°(1+
3
tan 10°).
【例3】已知函数f(x)=cos 4x-2sin xcos x-sin 4x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,
π
2
],求f(x)的最大、最小值.
三、变式演练,深化提高
1.已知函数f(x)=
1
2
sin 2xsin φ+cos2xcos φ-
1
2
sin(
π
2
+φ)(0<φ<π),其图象过点(
π
6
,
1
2
).
(1)求φ的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在[0,
π
4
]上的最大值和最小值.
2.已知向量m=(sin x,1),n=(
3
Acos x,
??
2
cos 2x)(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移
π
12
个单位长度,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象.求g(x)在[0,
5π
24
]上的值域.
四、反思小结,观点提炼
布置作业
课本P147复习参考题A组第10,11,12,13题;B组第6,7,8题.
参考答案/
二、典例分析,性质应用
【例1】解:在Rt△OBC中,OB=cos α,BC=sin α,
在Rt△OAD中,
????
????
=tan 60°=
3
,
所以OA=
3
3
DA=
3
3
BC=
3
3
sin α.
所以AB=OB-OA=cos α-
3
3
sin α.
设矩形ABCD的面积为S,则
S=AB·BC=(cos α-
3
3
sin α)sin α=sin αcos α-
3
3
sin 2α
=
1
2
sin 2α+
3
6
cos 2α-
3
6
=
1
3
(
3
2
sin 2α+
1
2
cos 2α)-
3
6
=
1
3
sin(2α+
π
6
)-
3
6
.
由0<α<
π
3
,得
π
6
<2α+
π
6
<
5π
6
,所以当2α+
π
6
=
π
2
,即α=
π
6
时,S最大=
1
3
?
3
6
=
3
6
.
因此,当α=
π
6
时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为
3
6
.
【例2】解:原式=sin 50°(1+
3
sin10°
cos10°
)=sin 50°·
2(
1
2
cos10°+
3
2
sin10°)
cos10°
=2sin 50°·
sin30°cos10°+cos30°sin10°
cos10°
=2cos 40°·
sin40°
cos10°
=
sin80°
cos10°
=
cos10°
cos10°
=1.
【例3】解:(1)f(x)=cos 4x-2sin xcos x-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin 2x=cos 2x-sin 2x=
2
cos(2x+
π
4
),
所以,f(x)的最小正周期T=
2π
2
=π.
(2)因为x∈[0,
π
2
],所以2x+
π
4
∈[
π
4
,
5π
4
].
当2x+
π
4
=
π
4
时,cos(2x+
π
4
)取得最大值
2
2
,
当2x+
π
4
=π时,cos(2x+
π
4
)取得最小值-1.
所以,f(x)在[0,
π
2
]上的最大值为1,最小值为-
2
.
三、变式演练,深化提高
1.解:(1)因为f(x)=
1
2
sin 2xsin φ+cos2xcos φ-
1
2
sin(
π
2
+φ)(0<φ<π),
所以f(x)=
1
2
sin 2xsin φ+
1+cos2??
2
cos φ-
1
2
cos φ
=
1
2
sin 2xsin φ+
1
2
cos 2xcos φ
=
1
2
(sin 2xsin φ+cos 2xcos φ)
=
1
2
cos(2x-φ),
又函数图象过点(
π
6
,
1
2
),
所以
1
2
=
1
2
cos(2×
π
6
-φ),
即cos(
π
3
-φ)=1,
又0<φ<π
所以φ=
π
3
.
(2)由(1)知f(x)=
1
2
cos(2x-
π
3
),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,可知
g(x)=f(2x)=
1
2
cos(4x-
π
3
),
因为x∈[0,
π
4
],
所以4x∈[0,π],
因此4x-
π
3
∈[-
π
3
,
2π
3
],
故-
1
2
≤cos(4x-
π
3
)≤1.
所以y=g(x)在[0,
π
4
]上的最大值和最小值分别为
1
2
和-
1
4
.
2.解:(1)f(x)=m·n=
3
Acos xsin x+
??
2
cos 2x=
3
2
Asin 2x+
??
2
cos 2x=Asin(2x+
π
6
),
则A=6.
(2)函数y=f(x)的图象向左平移
π
12
个单位长度得到函数y=6sin[2(x+
π
12
)+
π
6
]=6sin(2x+
π
3
)的图象,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍,纵坐标不变,得到函数g(x)=6sin(4x+
π
3
).
当x∈[0,
5π
24
]时,4x+
π
3
∈[
π
3
,
7π
6
],sin(4x+
π
3
)∈[-
1
2
,1],g(x)∈[-3,6].
故函数g(x)在[0,
5π
24
]上的值域为[-3,6].
另解:由g(x)=6sin(4x+
π
3
)可得g'(x)=24cos(4x+
π
3
),令g'(x)=0,
则4x+
π
3
=kπ+
π
2
(k∈Z),而x∈[0,
5π
24
],则x=
π
24
,
于是g(0)=6sin
π
3
=3
3
,g(
π
24
)=6sin
π
2
=6,g(
5π
24
)=6sin
7π
6
=-3,
故-3≤g(x)≤6,即函数g(x)在[0,
5π
24
]上的值域为[-3,6].
四、反思小结,观点提炼
1.本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asin x+bcos x的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现了生活的数学和“活”的数学.
2.在学习中要切实掌握公式之间的内在联系,把握各个公式的结构特征,要善于变通,体现一个活字,明确各个公式的适用范围.
3.在解三角问题时,要确立模型意识,根据具体问题运用函数与方程的思想,构造相关的函数或方程来解题.
4.掌握各个公式的推导过程是理解和运用公式的首要环节,熟练地运用公式进行“升幂”和“降幂”.
5.三角函数的化简与求值的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择.认真分析所求式子的整体结构、分析各个三角函数及角的相互关系式是恰当寻找解题思路起点的关键所在.