数学高中人教A版必修4学案：3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式Word版含解析

第三章　三角恒等变换
3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角的正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
复习:
cos(α-β)=　　　　　　;?
cos(α+β)=　　　　　　;?
sin(α-β)=　　　　　　;?
sin(α+β)=　　　　　　;?
tan(α+β)=　　　　　　;?
tan(α-β)=　　　　　　.?
练习:
(1)在△ABC中,sin Asin BA.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.等腰三角形
(2)3cosπ12-sinπ12的值为(　　)
A.0 B.2
C.2 D.-2
思考:已知π2<β<α<3π4,cos(α-β)=1213,sin(α+β)=-35.求sin 2α.我们由此能否得到sin 2α,cos 2α,tan 2α的公式呢?
二、学生探索,揭示规律
1.sin 2α=2sin αcos α.
2.cos 2α=cos2α-sin2α=　　　　=　　　　.?
变式:
2cos 2α=1+cos 2α
2sin 2α=　　　?
3.tan 2α=　　　?
三、运用规律,解决问题
【例1】已知sin 2α=513,π4<α<π2,求sin 4α,cos 4α,tan 4α的值.
【例2】在△ABC中,cos A=45,tan B=2,求tan(2A+2B)的值.
四、变式演练,深化提高
1.不查表,求值:sin 15°+cos 15°.
2.求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值.
3.已知cos α=17,cos(α-β)=1314,且0<β<α<π2.
(1)求tan 2α的值;
(2)求β.
五、反思小结,观点提炼
布置作业
1.课本P135练习第1,2,3,4,5题.
2.课本P138习题3.1A组第14,15,16,17,18,19题;B组第1题.
参考答案
三、运用规律,解决问题
【例1】解:由π4<α<π2,得π2<2α<π.
又因为sin 2α=513,
所以cos 2α=-1-sin22α=-1-(513)2=-1213.
于是sin 4α=2sin 2αcos 2α=2×513×(-1213)=-120169;
cos 4α=1-2sin22α=1-2×(513)2=119169;
tan 4α=sin4αcos4α=-120169119169=-120119.
【例2】解:方法一:在△ABC中,由cos A=45,0sin A=1-cos2A=1-(45)2=35,
所以tan A=sinAcosA=35×54=34,
tan 2A=2tanA1-tan?2A=2×341-(34)2=247,
又tan B=2,
所以tan 2B=2tanB1-tan?2B=2×21-22=-43.
于是tan(2A+2B)=tan2A+tan2B1-tan2Atan2B=247-431-247×(-43)=44117.
方法二:在△ABC中,由cos A=45,0sin A=1-cos?2A=1-(45)2=35.
所以tan A=sinAcosA=35×54=34.又tan B=2,
所以tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=34+21-34×2=-112,
于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]=2tan(A+B)1-tan?2(A+B)=2×(-112)1-(-112)2=44117.
四、变式演练,深化提高
1.解:原式=(sin15°+cos15°)2=sin?215°+2sin15°cos15°+cos?215°=62.
2.解:原式=cos 80°cos 60°cos 40°cos 20°=23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°
=sin160°16sin20°=sin20°16sin20°=116.
3.解:(1)由cos α=17,0<α<π2,得sin α=1-cos?2α=1-(17)2=437.
∴tan α=sinαcosα=437×71=43.于是tan 2α=2tanα1-tan?2α=2×431-(43)2=-8347.
(2)由0<β<α<π2,得0<α-β<π2.
又∵cos(α-β)=1314,∴sin(α-β)=1-cos?2(α-β)=1-(1314)2=3314.
由β=α-(α-β),得
cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=17×1314+437×3314=12.
∴β=π3.
五、反思小结,观点提炼
1.先由学生回顾本节课都学到了什么?有哪些收获?对前面学过的两角和与差的公式有什么新的认识?对三角函数式的变化有什么新的认识?怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明?
2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白从一般到特殊的思想,并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能有多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程、规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法的目标.