数学高中人教A版必修4学案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式Word版含解析

第三章　三角恒等变换
3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
/
学习目标
理解以两角差的余弦公式为基础,推导两角和、差正弦和正切公式的方法;体会三角恒等变换特点的过程,理解推导过程,掌握其应用.
合作学习
一、复习回顾,承上启下
复习:
cos(α-β)=　　　　　　.?
猜想:
cos(α+β)=　　　　　　;?
sin(α-β)=　　　　　　;?
sin(α+β)=　　　　　　.?
二、学生探索,揭示规律
1.cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;
2.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;
3.sin(α-β)=　　　　　　;?
4.tan(α+β)=
tan??+tan??
1-tan??tan??
;
5.tan(α-β)=　　　　　　.?
三、运用规律,解决问题
【例1】已知sin α=-
3
5
,α是第四象限角,求sin(
π
4
-α),cos(
π
4
+α),tan(
π
4
-α)的值.
【例2】利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1)sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°;
(2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°;
(3)
1+tan15°
1-tan15°
.
四、变式演练,深化提高
1.化简
2
cos x-
6
sin x.
2.在△ABC中,sin A=
3
5
(0°5
3
(45°3.在△ABC中,已知sin(A-B)cos B+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰非直角三角形
五、反思小结,观点提炼
布置作业
1.课本P131练习第1,2,3,4,5,6,7题.
2.课本P137习题3.1A组第1,6,7,8,13题.
参考答案/
三、运用规律,解决问题
【例1】解:由sin α=-
3
5
,α是第四象限角,得cos α=
1-si
??
2
??
=
1-(-
3
5
)
2
=
4
5
.
∴tan α=
sin??
cos??
=-
3
4
.
于是有sin(
π
4
-α)=sin
π
4
cos α-cos
π
4
sin α=
2
2
×
4
5
?
2
2
×(-
3
5
)=
7
2
10
,
cos(
π
4
+α)=cos
π
4
cos α-sin
π
4
sin α=
2
2
×
4
5
?
2
2
×(-
3
5
)=
7
2
10
,
tan(α-
π
4
)=
tan??-tan
π
4
1+tan??tan
π
4
=
tan??-1
1+tan??
=
-
3
4
-1
1+(-
3
4
)
=-7.
【例2】解:(1)sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42°=sin (72°-42°)=sin 30°=
1
2
.
(2)cos 20°cos 70°-sin 20°sin 70°=cos (20°+70°)=cos 90°=0.
(3)
1+tan15°
1-tan15°
=
tan45°+tan15°
1-tan45°tan15°
=tan (45°+15°)=tan 60°=
3
.
四、变式演练,深化提高
1.解:
2
cos x-
6
sin x=2
2
(
1
2
cos x-
3
2
sin x)=2
2
(sin 30°cos x-cos 30°sin x)=2
2
sin (30°-x).
2.解:∵在△ABC中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B).
又∵sin A=
3
5
且0°4
5
.
又∵cos B=
5
13
且45°12
13
.
∴sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=
3
5
×
5
13
+
4
5
×
12
13
=
63
65
,
cos C=cos[180°-(A+B)]=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=
3
5
×
12
13
?
4
5
×
5
13
=
16
65
.
3.C
五、反思小结,观点提炼
本节我们学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于发现规律,学会灵活运用.