数学高中人教A版必修4学案：3.1.1两角差的余弦公式Word版含解析

第三章　三角恒等变换
3.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1　两角差的余弦公式
学习目标
1.引导学生建立两角差的余弦公式,通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和差公式打好基础.
2.通过课题背景的设计,增强学生的应用意识,激发学生的学习积极性.
3.在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
cos 45°=　　　　　　;?
cos 30°=　　　　　　;?
cos 45°-cos 30°=　　　　　　;?
cos 15°=　　　　　　.(可以用计算器算)?
cos(45°-30°)=cos 45°-cos 30°是否成立?
那么,对于任意的角α,β,cos(α-β)等于什么呢?
二、学生探索,揭示规律
两角差的余弦公式:
对于任意角α,β都有
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
常简记为C(α-β).
三、运用规律,解决问题
【例1】利用两角差的余弦公式求cos 15°的值.
【例2】已知sin α=45,α∈(π2,π),cos β=-513,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.
四、变式演练,深化提高
1.不查表求sin 75°,sin 15°的值.
2.不查表求值:cos 110°cos 20°+sin 110°sin 20°.
3.已知sin α=45,α∈(0,π),cos β=-513,β是第三象限角,求cos(α-β)的值.
4.已知锐角α,β满足cos α=45,tan(α-β)=-13,求cos β.
五、反思小结,观点提炼
布置作业
1.课本P127练习第1,2,3,4题.
2.课本P137习题3.1 A组第2,3,4,5题.
参考答案
三、运用规律,解决问题
【例1】解:方法一:cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24.
方法二:cos 15°=cos(60°-45°)=cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°=12×22+22×32=6+24.
【例2】解:由sin α=45,α∈(π2,π),得cos α=-1-sin?2α=-1-(45)2=-35.
又由cos β=-513,β是第三象限角,得sin β=-1-cos?2β=-1-(-513)2=-1213.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-35)×(-513)+45×(-1213)=-3365.
四、变式演练,深化提高
1.解:sin 75°=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=22×32+22×12=6+24.
sin 15°=1-cis215°=1-(6+24)2=8-26×216=6-24.
2.解:原式=cos(110°-20°)=cos 90°=0.
3.解:①当α∈[π2,π)时,且sin α=45,得cos α=-1-sin?2α=-1-(45)2=-35,
又由cos β=-513,β是第三象限角,得sin β=-1-cos?2β=-1-(-513)2=-1213.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=(-35)×(-513)+45×(-1213)=-3365.
②当α∈(0,π2)时,且sin α=45,得cos α=1-sin?2α=1-(45)2=35,
又由cos β=-513,β是第三象限角,得sin β=-1-cos?2β=-1-(-513)2=-1213.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=35×(-513)+45×(-1213)=-6365.
4.解:∵α为锐角,且cos α=45,得sin α=35.
又∵0<α<π2,0<β<π2,
∴-π2<α-β<π2.
又∵tan(α-β)=-13<0,
∴cos(α-β)=310 .
从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=-110 .
∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=45×310+35×(-110) =91050.
五、反思小结,观点提炼
1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用,掌握利用变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究?(2)利用两角差的余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.
2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多做一些一题多解的题目,比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程、规范解题步骤、领悟变换思路、强化数学思想方法的目的.